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仿真课程设计
课
程
设
计
题目控制系统设计与仿真
学生姓名侯彩蓉学号1118053003
所在院(系)电气工程学院
专业班级计算机控制技术
指导教师黄金峰
完成地点学校
2013年11月12日
第1章绪论…………………………………………………………1
1.1根轨迹基本概念………………………………………………
1.2根轨迹的作用………………………………………………….
第2章
1.3根轨迹的基本规律
第3章
1.4根轨迹的应用…………………………………………………
1.5用matlab绘制根轨迹的图
第一章
一前言
线性时不变系统的稳定性取决于闭环系统特征方程的跟,即闭环传递函数的极点在根的平面上的位置,系统的动态性能也与闭环极点的位置有关,而闭环极点的位置与系统开环传递函数的参数密切相关,所以在控制系统的时域分析和设计中,弄清楚闭环传递函数的极点位置与系统开环传递函数参数之间的关系是一个非常要的问题,根轨迹很好的解决了这个问题。
根轨迹是线性系统时域分析和设计的,一种重要的辅助手段,由伊凡思(W.R.Evans)于1948年提出。
利用这种手段,可以很方便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系,可以很直观的看出增加开环零,极点对系统闭环特性的影响,可以通过增加开环零,极点重新配置闭环主导极点,在控制系统时域分析和设计中起着重要的作用。
二.什么是根轨迹
所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时,闭环特征根在复平面上的运动轨迹。
如果这个参数是开环增益,在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根,也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益。
例1负反馈控制系统如图1所示,设其开环传递函数为
G(s)H(s)=
R(s)C(S)
图1负反馈控制系统
当开环增益K从0趋向于无穷大变化时,观察闭环系统的特征根如何变化?
解:
系统的闭环特征方程为
S
+3S
+2S+K=0
当K从0到无穷大连续变化时,闭环特征根在复平面上的变化轨迹如图2所示,
图2例1的根轨迹图
这就是系统以K为参变量的根轨迹。
从根轨迹图可以看出:
系统有3条根轨迹,当K取一定值时,每条根轨迹上对应一个点,根平面上这3个点就是系统的3个闭环极点,比如取3,3支根轨迹上的3个特定点就是系统的3个闭环极点。
根轨迹与虚轴的交点为临界稳定点,该处的K值称为临界增益,本例中,临界增益为K=6,当K>6时,根轨迹跑到右半平面,系统不稳定;当0 根轨迹离开实轴的点称为分离点,它对应于二阶系统L=1的两个重极点,本例中,分离点对应的增益为K=0.384,当0 可见,根轨迹清晰地描绘了闭环极点与开环增益K的关系。 通过此例可以看到,根轨迹图上清楚地反映了如下信息: (1)临界稳定时的开环增益。 (2)闭环特征根进入复平面时的临界增益。 (3)选定开环增益后,系统闭环特征根在根平面上的分布。 (4)参数变化时,系统闭环特征根在根平面上的变化趋势。 这些信息给系统的分析和设计带来了极大的方便。 三根轨迹满足的基本条件 考察图1所示的系统,其闭环传递函数为 = (1.1) 闭环特征方程为 1+G(s)H(s)=0(1.2) 根轨迹上的任意一点s是可变参数(比如开环增益)取某一确定值时,闭环特征方程的根,所以,根轨迹上的任何一点都满足: G(s)H(s)=-1(1.3) 上式可分解为幅值条件: ∣G(s)H(s)∣=1(1.4) 和相角条件: ∠G(s)H(s)=+(2k+1)180°k=0,1,2,…(1.5) 这里讨论的是以开环增益K为参变量的根轨迹,它是最基本,最常用的根轨迹,我们称之为“典型根轨迹”。 设系统开环传递函数可以表示为: G(s)H(s)= (1.6) (请注意,这里用的是系统传递函数的零、极点形式)。 则幅值条件具体化为 K= = (1.7) 相角条件具体化为 °k=1,2,…(1.8) 显然,K的变化只影响幅值条件而不影响相角条件。 对于复平面上的一个动点s,(s-zl)表示从零点zl指向动点s的向量,称为零点向量,(s-pi)表示从极点pi指向动点s的向量,称为极点向量,如图3: sjw 2 45p21 P4z5p10x 3 P3 图3零点向量和极点向量 于是如果动点s是根轨迹上一点,开环传递函数所含零点向量和极点向量的幅值应满足幅值条件式(1.7),这些向量的相角应满足相角条件(1.8),由此可以判断动点s是不是根轨迹上的点。 知道了根轨迹上的点满足的基本条件,仍不能绘制出根轨迹,因为我们不可能逐个地去根平面上寻找满足基本条件的点,为了找到一种快捷的绘制方法,需要找出根轨迹的一些基本规律,就是说,要依据根轨迹的基本规律来绘制根轨迹。 第二章 一根轨迹的基本规律 根轨迹的基本规律是根据根轨迹满足的基本条件导出来的一些重要规律,他们也就成为绘制根轨迹的基本规则。 (1)起点和终点 根轨迹起始于开环极点或无穷远处,终止于开环零点或无穷远处。 由幅值条件可知,由于根轨迹起始于K=0的闭环极点,因此该极点必在s=pi处。 同样道理,根轨迹终止于K=无穷大的闭环极点,因此。 该极点必在s=zj处。 当n=m时,起始于n个开环极点的n支根轨迹,正好终止于n个开环零点。 当n>m时,起始于n个开环极点的n支根轨迹,有m支终止于开环零点,有n-m支终止于无穷远处,因为终点就是K→无穷远处的点,当n>m时。 要使K→无穷远处只有两种情况,一是s=zj二是s→无穷远处,此时可认为无穷远处有n-m个开环零点。 当n 要使K=0只有两种情况,一是s=pi二是s→无穷远处,此时可认为无穷远处有m-n个开环极点。 (2)根轨迹的支数和对称性 根轨迹有max(n,m)支,并且对称于实轴。 由于根轨迹的起点和终点可知,根轨迹的支数(也就是闭环极点数)为max(n,m). 由于特征方程的系数都是实数,故特征方程的根要么是实根(在实轴上),要么是共轭复根(对称于实轴),所以根轨迹对称于实轴。 (3)实轴上的根轨迹 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分若干段,对于其中任一段,如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数,那么该段就一定是根轨迹的一部分。 这个规则用相角条件可以证明,如图4所示 i2jw P2 L3=0i4=0L2=∏i1=∏L1=∏ Z3P4S0Z20P1Z1x i3 P3 图4实轴上根轨迹规律的证明 考虑实轴上的某一试验点S0,任一对共轭复数零点或共轭复数极点(如P2,P3)到S0的向量角(如i2,i3)之和均为360°,也就是说任一对共轭复数开环零、极点不影响实轴上实验点S0的相角。 再看实轴上的开环零、极点,对于实验点S0,其左边实轴上任一开环零点,极点到S0的向量角(i4,L3)均为0,因此,它们也不影响实轴上实验点S0的相角。 实验点S0右边实轴上任一开环零、极点到S0的向量角(如i1,L1,L2)均为180°,所以要满足相角条件,S0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。 (4)根轨迹的分离点 当K从零点到无穷大时,根轨迹可能出现先会合后分离的点,如图2中K=0.384的点,这样的点称为分离点,分离点对应于重闭环极点。 显然。 如果实轴上的两个相邻的开环极点之间存在根轨迹,它一定有分离点,因为任何一条根轨迹不可能开始于开环极点终止于另一个开环极点,同理,如果实轴上的两个相邻的开环零点之间存在根轨迹,它也一定是分离点,当然,分离点也可以是负数。 基于分离点是重闭环极点的事实可以证明,分离点的坐标R是下列代数方程的解: (2.1) 必须说明的是,式(2.1)只是必要条件而非充分条件,也就是说它的解不一定是分离点,是否是分离点还要看其他规则。 一个特例,对于有两个实数开环极点P1、P2,而无零点的系统,求分离点的代数方程为 (2.2) 解得 (2.3) 即分离点位于两个开环极点的坐标中点,典型二阶系统有一个开环极点位于原点(P1=0),因此,分离点位于 处。 (5)渐近线 当n>m时,根轨迹一定有n-m支终止于无穷远处;当n 当n≠m时,根轨迹的∣n-m∣支渐近线与实轴的夹角为 k=0,1,2,…,∣n-m∣-1(2.4) 所有渐近线交于实轴上的一点,其坐标为 (2.5) 由式(2.4)可推知。 ∣n-m∣支渐近线平分圆周角,即它们在根平面上均匀分布。 渐近线与实轴的尖角为 (2.6) 第一项为第一条渐近线与正实轴的夹角(k=0),第二项为每增加一条渐近线所增加的角度,这个角度为360°/∣n-m∣,即每两条渐近线的夹角都为360°/∣n-m∣。 k=∣n-m∣时,正好增加了360°,与第一条渐近线重合。 所以,∣n-m∣支渐近线平分圆周角。 另外,由于根轨迹对称于实轴,因此,它们的渐近线也对称于实轴。 由于渐近线平分于圆周角,又对称与实轴,因此,知道了根轨迹有几条渐近线只需求出它们交于实轴上一点的坐标,就知道了它们在根平面上的分布。 (6)根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点,该点的坐标s=jw0和增益K0是很重要的。 将s=jw0代入闭环特征方程,令特征方程的实部和虚部分别等于0,可以解出w0和k0.用劳斯判据也可以求得w0和k0. (7)根轨迹的出射角和入射角 根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角称为出射角根轨迹进入某个开环零点时的切线与实轴的夹角称为入射角,用向量条件不难证明,根轨迹从开环极点Pi出发时的出射角为 (2.7) 根轨迹进入某个开环零点z1时的入射角为 (2.8) 证明略。 注意: 由第三条规律已经可以绘出实轴上的根轨迹,因此,实轴上的出射角和入射角是不用求得的,式(2.7)和式(2.8)求得的是复数极点和复数零点的出射角和入射角。 掌握根轨迹的基本规律后,就可以将这些规律作为根轨迹的基本规律绘出根轨迹的图只有规则能绘出或计算出的部分是精确地,其它部分都不精确,因此,这种根轨迹只能是概略图。 需要指出。 MATLAB的出现使绘制精确地根轨迹成为一件非常容易的事,手工方法绘制根轨迹只是急用是临时作为定性分析,但是,传统方法开发出来的根轨迹的基本规律对分析系统和设计系统来说都是很有用的。 二根轨迹绘图示例 例2设开环传递函数如下,按基本规律绘制根轨迹图。 解: (1)系统有3个开环极点: P1=0,P2=-2,P3=-5,将它们表在复平面上,开环极点的位置用“×”表示,根据规则1和2,根轨迹有3支,分别起始于3个开环极点,由于开环系统没有开环零点,这3支根轨迹都终止于无穷远。 (2)实轴上的根轨迹,根据规则3,实轴上的[-2,0]段是根轨迹的一部分,实轴上的[-无穷,-5]段也是根轨迹的一部分。 (3)实轴上的分离点根据规则4根轨迹在实轴上的[-2,0]段一定有而一个分离点 整理得 解得R1=-0.88,R2=-3.79,显然只有-0.88在根轨迹上,所以分离点为-0.88. (4)渐近线,根据规则5根轨迹有3根渐近线,它们和正实轴的夹角为 k=0,1,2,… L0=60°,L1=180°,L2=300° 其实渐近线的角度一目了然不用计算,由于渐近线平分圆周角,并且有一支就是[-无穷大,-5]的负实轴,因此,另外两支与实轴的夹角就是60°和300°.所有渐近线交与实轴的一点,其坐标为 (5)与虚轴的交点。 根据规则6可以确定根轨迹与虚轴的交点。 先用劳斯判据,系数特征方程为 根据特征方程系数列出劳斯表为 110 7K K 令第一列中的 项等于0(临界稳定),即 =0,可以求得K=70通过求解由 行得出的辅助方程7 +K=0,可以求得根轨迹与虚轴的交点为s=±j√10. 另一种根据确定根轨迹与虚轴交点的方法是令特征方程中的s=jw0得 令上式中的实数和虚部分别等于0,可得w=0,K=0和w=√10,K=70.因此根轨迹在w=±√10处与虚轴相交,并且在交点处K=70。 (6)出射角。 由于3个开环极点都在实轴上,出射角不用计算。 以上根据基本规律画出的根轨迹是概略图,它在实轴上的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确地,其它部分就不准确了。 用MATLAB绘制出的根轨迹如图5所示,它证实了上述的计算结果 图5例2的根轨迹图 例3系统开环传递函数如下,按基本规律绘制根轨迹图。 解: (1)系统有2个开环极点: P1=0,P2=-1,P3=-5,一个开环零点: z1=-2将它们表在复平面上,开环极点的位置用“×”表示. 根据规则1和2,根轨迹有2支,分别起始于这2个开环极点,由于n-m=1因此,一支根轨迹终止于开环零点z1=-2,另一支终止于无穷远。 (2)实轴上的根轨迹,根据规则3,实轴上的[-1,0]段是根轨迹的一部分,实轴上的[-无穷,-2]段也是根轨迹的一部分。 (3)实轴上的分离点根据规则4根轨迹在实轴上的[-1,0]段一定有一个分离点在实轴上的[-无穷,-2]段也有一个分离点,因此-无穷处有一个开环零点。 由方程 整理得 解得R1=-3.41,R2=-0.586,两个分离点分别位于[-无穷,-2]段和[-1,0]段。 (4)渐近线,根据规则5根轨迹有1根渐近线,这条渐近线就是负实轴。 (5)与虚轴的交点。 由前四步已将知道,根轨迹不会穿越虚轴跑到右半平面,因此,不需要求根轨迹与虚轴的交点根据规则6可以确定根轨迹与虚轴的交点。 (6)出射角。 由于开环零、极点都在实轴上,出射角不用计算。 以上根据基本规律画出的根轨迹是概略图,它在实轴上的根轨迹、渐近线、与虚轴的交点是准确地,其它部分就不准确了。 用MATLAB绘制出的根轨迹如图6所示,它证实了上述的计算结果 图6例3的根轨迹图 考虑到两个相似的系统 (a) (b) 用MATLAB绘制出的根轨迹如图7、图8所示如下 图7(a)的根轨迹图 图8(b)的根轨迹图 如果按基本规则,很难判断两种系统根轨迹的区别,即很难判断离开环极点后的运行路径,这反映了手工绘图的弱点,就是说基本规律所包含的根轨迹信息是不全面的,再看一个例子。 如下: 例4系统的开环传递函数为 按基本规律绘制,与MATTLAB绘制的图是不一样的下边是MATLAB绘制的 图我们绘制的图有3个开环极点分别为p1=0.5,p2= p3= 根据根轨迹图,在开环极点出现了两个分离点 这说明,满足规律4一定有分离点,不满足规律4的不一定没有分离点,没有零点它们在复平面上。 实轴上相邻的开环极点和开环零点之间的根轨迹上有可能有两个分离点,这进一步说明,基本规则所包含的根轨迹信息是不全面的。 第三章特殊根轨迹 前面讨论的是典型根轨迹,他是以增益K为参量的根轨迹,如果以其他参量为参变量,这些根轨迹不同于典型根轨迹称之为特殊根轨迹。 一以时间常数为参变量的根轨迹 有时候需要调整的不是开环增益K,而是其他参数,比如惯性环节或比例微分环节的时间常数,在这种情况下,可变参量不是开环传递函数的独立因子,无论用手工绘制还是用MATLAB绘制都无法进行,然而我们可以将闭环传递函数变形,得到一个有效地系统,等效系统的开环传递函数与典型根轨迹的开环传递函数具有相同的形式,即可变参量是开环传递函数的独立因子,这样就可以套用典型根轨迹的方法(或MATLAB)来绘制根轨迹的根轨迹图了。 以时间常数为参变量的根轨迹有 以比例微分环节的时间常数为参变量 以惯性环节的时间常数为参变量这里具体以惯性环节的时间常数为参变量进行探讨并举例说明举例如下 例5系统如下图所示,为了确定惯性环节的时间常数,绘出以时间常数T为参变量的根轨迹。 R(s)C(s) 图11例5图 解: 系统的开环传递函数为 它不具有典型开环传递函数的形式,因此,不能用典型开环传递函数的规则绘制根轨迹路径,系统的闭环传递函数为如下 分子分母同乘以s(s+1)+5,得 可以看出,这是一个与原系统具有相同闭环传递函数的系统,如图12所示,等效系统的开环传递函数为 R(s)C(s) 图12图11的等效系统 它具有典型根轨迹开环传递函数的形式,可以用典型根轨迹的绘制方法绘制根轨迹如图13 图13例5题的根轨迹 需要注意的是,等效系统的开环传递函数分母的阶数小于分子的阶数,即n 此时,可以绘制开环传递函数为1/G(s)H(s)的根轨迹。 这样处理并不该并根轨迹的形状,因为系统的特征多项式F(s)=num(s)+den(s),num(s)和den(s)分别是G(s)H(s)得分子多项式的和分母多项式,因此开环传递函数为G(s)H(s)或1/G(s)H(s)时,系统特征多项式是一样的,做出的根轨迹是同一个特征方程的根随同一个参数变化的轨迹,因此根轨迹的形状是一样的,不同的是,开环传递函数为1/G(s)H(s)的根轨迹是参数1/T从0到无穷远变化时的根轨迹,(即T从无穷远处到0变化时的根轨迹),由根轨迹图读取参数时一定要注意,图13就是开环传递函数 1/ 的根轨迹,临界增益为4即1/T=4,则时间常数T的临界值为T=0.25,(图上为T=0.249).1/T>4时系统稳定,则T应小于0.25. 可用劳斯判据验证此结论。 系统的特征方程为 F(s)=Ts +(T+1)s +s+5 劳斯表如下: T1 T+15 5当0 二零度根轨迹 如果负反馈系统开环传递函数的分子、分母中s最高次幂不同号,或者,正反馈系统开环传递函数的分子、分母中s最高次幂同号,则闭环传递函数变成 这时特征方程变成: 可知,根轨迹幅值条件不变,而相角条件变成: ,k=0,1,2,… 由于相角条件变为k×360°,故称之为零度根轨迹,这一改变导致基本规则3、5和7必须修改为一下 、 和 的情况 对于实轴上的某一段,如果其右边实轴上的开环零点,极点点总数是偶数,那么该段就一定是根轨迹的一部分, 渐近线与实轴的夹角为 ,k=0,1,2,…,∣n-m∣-1 根轨迹的出射角和入射角公式中(2k+1) 均改为2k 。 例6系统开环传递函数为 绘出系统的根轨迹。 解: 用MATLAB绘制的根轨迹如图14,它验证了上述3点改动 图14例6的根轨迹 第四章根轨迹的系统稳定性和系统的动态特性 一对系统稳定性的分析 根轨迹是系统的某一参数(比如增益K)变化时系统特征根的变化轨迹,而特征根决定系统的稳定性,因此,从根轨迹上可以看出系统参数变化对稳定性的影响。 (1)根轨迹全部位于虚轴的左边,就意味着不管K取何值,闭环系统都是稳定的,称为结构稳定系统。 (2)根轨迹只要有一支全部位于虚轴的右边,就意味着不管K取何值,闭环系统都不可能稳定,称为结构不稳定系统。 (3)如果系统没有一支根轨迹全部位于右半平面,那么,根轨迹只要有一支穿越虚轴,就说明闭环系统的稳定性是有条件的,称为条件稳定系统。 知道了根轨迹与虚轴交点的K值,就可以确定稳定条件,进而确定合适的K值。 对于条件稳定系统,只要选择适当的K值,就可以使闭环系统稳定,而对于结构不稳定系统,不可能靠改变K值使系统稳定,这种情况下,如果系统的其它参数是不可改变的,那么要使系统稳定就必须人为增加开环零、极点。 这称之为改变系统结构。 二根轨迹与系统的动态特性的分析 根轨迹与系统稳定性的关系是很直观的,而与系统动态特性的关系就不那么直观,这时由于系统的动态特性不仅与系统的闭环有关,还与系统的闭环零点有关,而根轨迹显然不出闭环零点。 另一方面,高阶系统的动态特性本来就很复杂,只有当主导极点满足二阶近似条件时,才能进行二阶分析。 因此,通过根轨迹分析系统的动态性能,也就体现在: 1根据开环增益或系统动态指标要求,在根轨迹上确定闭环主导极点,并确定主导极点对应的典型二二阶系统的动态性能指标,2在根轨迹上找到其它非主导极点,并考虑闭环零点,来判断主导极点是否满足二阶近似条件。 三对系统稳定性的影响 有以下几种情况 (1)实轴上零点、极点对根轨迹的影响 (2)小惯性环节对根轨迹的影响 (3)偶极子效。 (4)开环零、极点抵消对系统稳定性的影响 着重对小惯性环节对根轨迹的影响。 负实轴上距虚轴比较远的极点相当于小惯性环节,在根轨迹上,它的影响表现为使原系统的根轨迹向右偏转,因此,原来稳定的系统可能变得不稳定,下面看一个例子。 例6系统的开环传递函数为 ,讨论忽略小惯性环节的影响。 解: 这是一个稳定的二阶系统,如果系统建模时忽略了一个小惯性环节 ,则系统实际的传递函数应该是 。 两个系统的根轨迹如图15,图16 图15例6建模系统的根轨迹 图16例6实际系统的根轨迹 可见,由于小惯性环节的存在,实际系统与建模系统的根轨迹很不一样,K=128时,建模系统的闭环极点在左半平面,而实际的闭环极点在右半平面,因此,实际系统是不稳定的,同时我们注意到,K值小的工作点(比如K=1.8)变化不大,这个现象提示我们: 1在系统建模时,不要轻易忽略那些看上去无关紧要的小惯性环节。 2有时系统的参数不可能全部考虑到,这就要求系统设计时一定要留足够的稳定裕量。 四根轨迹与系统的动态特性的两种情况 (1)等阻尼线和等角频率线 (2)利用根轨迹估计系统的动态特性。 下面说明根轨迹在系统动态分析和设计时的作用: (1)由根轨迹可判断改变某系统参数,能否得到满足要求的闭环主导极点以及参数变化时闭环主导极点的变化趋势。 (2)由根轨迹与满足要求的等阻尼线的交点可确定系统的闭环主导极点。 (3)MATLAB绘图给出了所选主导极点对应典型二阶系统的动态指标,如果其它闭环零极点满足二阶近似的条件,这些指标可用来近似估计高阶系统的指标。 (4)由MATLAB绘制的根轨迹图很容易得到非主导极点的位置,根据他们与主导极点的距离以及闭环零点与主导极点的距离来判断二阶近似指标的准确性。 (5)如果改变系统参数不能得到希望的闭环极点,可给系统增加零点,极点(改变系统的结构),来改变根轨迹的走向。 从而得到希望的闭环极点。 第五章用MATLAB绘制根轨迹图 用MATLAB绘制根轨迹准确,快捷,并提供了许多有用的功能。 一绘制根轨迹图 Rlocus(num.den)num和den分别是系统的开环传递函数的分子多项式和分母多项式。 (该函数不适用于有延时的连续函数系统) 例7系统开环传递函数为
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