数学奥赛--高斯函数Word文档格式.doc
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(3)对任意实数,都有.
(4)是不减函数,即若则,其图像如图I-4-5-1;
是以1为周期的周期函数,如图I-4-5-2.
图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2
(5).其中.
(6);
特别地,
(7),其中;
一般有;
.
(8),其中.
【证明】
(1)—(7)略.
(8)令,则,因此,.由于,
,则由(3)知,于是,
证毕.
取整函数或高斯函数在初等数论中的应用是基于下面两个结论.
定理一:
,且1至x之间的整数中,有个是的倍数.
【证明】因,此式说明:
不大于x而是n的倍数的正整数只有这个:
定理二:
在!
中,质数的最高方次数是
【证明】由于是质数,因此含的方次数一定是1,2,…,各数中所含的方次数的总和.由定理一知,1,2,…,n中有个的倍数,有个2的倍数,…,所以
此定理说明:
,其中M不含的因数.例如,由于
+…=285+40+5=330,则2000!
=7330·
M,其中7M.
定理三:
(厄米特恒等式)
【证法1】引入辅助函数
因…
对一切成立,所以是一个以为周期的周期函数,而当时,直接计算知,故任意,厄米特恒等式成立.
【证法2】等式等价于消去后得到与原等式一样的等式,只不过是对,则一定存在一个使得,即,故原式右端另一方面,由知,在这批不等式的右端总有一个等于1,设.这时,
,而,因此原式的左端是个1之和,即左端故左=右.
【评述】证法2的方法既适用于证明等式,也适用于证明不等式.,这个方法是:
第一步“弃整”,把对任意实数的问题转化为的问题;
第二步对分段讨论.
高斯函数在格点(又叫整点)问题研究中有重要应用.下面给出一个定理.
定理四:
设函数上连续而且非负,那么和式内的整数)表示平面区域内的格点个数.特别地,有
(1)位于三角形:
内的格点个数等于为整数);
(2),矩形域内的格点数等于
(3),圆域内的格点个数等于
(4),区域:
内的格点个数等于
这些结论通过画图即可得到.
赛题精讲
例1:
求证:
其中k为某一自然数.
(1985年第17届加拿大数学竞赛试题)
[证明]2为质数,n!
中含2的方次数为
若
故
反之,若n不等于2的某个非负整数次幕,可设n=2sp,其中p>
1为奇数,这时总可以找出整数t,使
由于n!
.这与已知矛盾,故必要性得证.
例2:
对任意的(第10届IMO试题)
【解】因对一切k=0,1,…成立,因此,
又因为n为固定数,当k适当大时,
例3:
计算和式(1986年东北三省数学竞赛试题)
【解】显然有:
503是一个质数,因此,对n=1,2,…,502,都不会是整数,但+
可见此式左端的两数的小数部分之和等于1,于是,[]+故
例4:
设M为一正整数,问方程,在[1,M]中有多少个解?
(1982年瑞典数学竞赛试题)
【解】显然x=M是一个解,下面考察在[1,M]中有少个解.
设x是方程的解.将代入原方程,化简得
所以上式成立的充要条件是2[x]{x}为一个整数.
例5:
求方程(第36届美国数学竞赛题)
【解】
经检验知,这四个值都是原方程的解.
例6:
(第10届美国数学竞赛试题)
这道题的原解答要极为复杂,现用数学归纳法证明如下.
由于
例7:
对自然数n及一切自然数x,求证:
例8:
求出的个位数字.(第47届美国普特南数学竞赛试题)
【解】先找出的整数部分与分数部分.
=
其中分母的个位数字为3,分子的个位数字为9,故商的个位数字为3.
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