上海海事大学08-09数值分析试A卷答案Word文档格式.doc
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连续函数。
3.插值型数值求积公式
的求积系数的表达式为=则 b-a
4.非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根附近具有 2阶的收敛速度。
5.f
(1)=1,f
(2)=4,f(3)=7,则f[1,2]= 3 ,f[1,2,3]= 0
6Jacobi方法是求解 对称矩阵的全部特征值和特征向量的计算方法.
7.用松弛迭代法求解方程组时,松弛因子必须在 [0,2] 范围内.
二.如何对方程组
进行调整,使得用高斯-赛德尔迭代求解时收敛。
又如取初始向量为,用该方法求近似解,使得。
(8分)
解答:
调整第一与第三方程,既可得对角占优系数矩阵
,所以迭代收敛。
得
因为
,所以最后结果:
三.求在[0,1]上的一次最佳一致逼近多项式。
(8分)
解:
在[0,1]上不变号,故:
即故
、
四.设有一个求积公式
求使以上求积公式的代数精度尽可能高,并指出所达到的最高代数精度.
解
(1)当时,;
时,左=右
解得
当时,,
当时,,左右.
所求的具有最高代数精度为3.
五.是任意首项系数为1的n+1次多项式,证明:
1):
2):
1),利用Lagrange插值余项
2)利用两边除
六.给定方程组
①
其中,,,且.证明
(1)①有唯一的.
(2)给定迭代格式
, ②
则有
,
任取,则迭代格式②收敛.(10分)
解
(1)只需证明①的齐次方程组
x=Bx③
只有零解,若③有非零解,则
两边取范数得
因为,得与条件矛盾,因而①有惟一解,即存在惟
一的使得=④(3分)
(2)将②和④相减得
两边取范数得
⑤(4分)
(3)由⑤递推得
对任意固定的有
因而迭代格式②是收敛的(4分)
七.证明:
左矩形求积公式。
设,试以此构造复合求积公式,并说明该复合求积公式是收敛
(10分)
因为:
;
故:
=
又:
分划[a,b]得:
,k=1,2,…n
得复合公式:
所以:
=
其中:
,且
有:
八.试利用四点插值推导数值微分四点公式
,
其中(10分)
解:
==
九.对初值问题写出以梯形公式所得近似解的表达式。
且当步长时,讨论的收敛性。
讨论绝对稳定性对步长的限制(10分)
梯形公式为:
故:
,整理得:
。
设任给,,于是有
所以
所以对一切都成立
所以无限制。
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