固体物理测试卷合集Word下载.doc
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!
注意:
从第三.1题和第三.2题中选做其中一个题
三、1(10分)原子是具有自旋1/2的费米子。
在绝对零度附件,液体的密度为。
计算费米能量和费米温度。
原子的质量为。
的自旋为1/2,是费米子,其质量。
在密度的液体中,单位体积中的数目为:
其费米能为:
将n,m值带入;
得到:
其费米温度为:
三.2(10分)求出bccBravais格子(110)晶面族的晶面上的格点数密度和面距离。
【解答】
晶面
格点数面密度
面距离
bcc
{100}
四、(15分)考虑晶格常数为a和c的三维简单六角晶体的第一布里渊区。
令为平行于晶格c轴的最短倒格矢。
(1)证明对于六角密堆积结构,晶体势场的傅里叶分量为零。
(2) 是否也为零?
(3)为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体?
(4)为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体?
(1)证:
由教材p61(3.2.30)和(3.2.31)两式,对于基元中原子数p>
1的复式晶格,且由同种原子组成的基元,有:
①
②
Hcp结构初基矢量的一种取法
其中:
是复式晶格的某一倒格矢的傅里叶分量。
是同种原子组成的基元的几何结构因子。
由②式可知,对于复式晶格的某一倒格矢,如结构因子为零,则周期势相应的傅里叶分量也为零。
因此,来计算对于六角密堆积结构:
六角密堆积结构的布喇菲点阵是简单六角,相应的基元包括两个同种原子,它们的坐标是,,如图所示:
将以上关系代入结构因子的表达式①中,得:
③
据题意,本题中
代入③得:
故对于六角密堆积结构,晶体势场的傅里叶分量为零。
(2)解:
代入
(1)问③式中,得:
故:
不为零。
(3)对处于简单六角点阵阵点上的二价原子构成的晶体,每个单胞有两个价电子,N个单胞有2N个价电子,刚好可以填满第一布里渊区(一个能带),故原则上可以形成绝缘体(如果没有能带交迭)。
(4)对于单价原子的六角密堆积结构,虽然每个单胞也有两个价电子,N个单胞有2N个价电子,但由于第一布里渊区一个边界面上能隙消失,和第二布里渊区连通,形成一个复合区,可以容纳4N个电子,2N个电子只能填充这个复合区的一半,于是,在外加电场下可以导电。
因而单价原子的六角密堆积原则上不可能形成绝缘体。
五、(15分)用紧束缚近似求出面心立方金属和体心立方金属中与s态原子能级对应的能带的函数。
(1)面心立方结构晶体具有12个第一近邻,它们的格矢如下
个,个,个
于是
同理可得:
由教材(3.3.10)式及(3.3.13)式可知,
S态能带为:
(2)
体心立方结构晶体具有8个第一近邻,它们的格矢如下
仿照面心立方结构的情形有:
从第六.1题和第六.2题中选做其中一个题
六、1(15分)计算一维单原子链的动量。
应用周期性边界条件,证明波矢时,,即声子不携带动量。
证明:
对于波矢为q,频率为的一维单原子链的格波:
⑴
原子链上第n个原子的动量为:
⑵
原子链的总动量为:
⑶
式中N是原子链上的原子数。
由周期性边界条件:
式⑶化为:
⑷
利用公式:
式⑷化为:
⑸
当时(即)时,式⑸中的,因而有
的模式是描写晶体中所有原子的相对运动的,由于每个原子有一定位相差,原子链的总动量为零,这表明声子是不携带物理动量的。
六、2(15分)对于原子间距为a,由N个原子组成的一维单原子链,在德拜近似下
(1)计算晶格振动频谱;
(2)证明低温极限下,比热正比于温度T
图5.4一维单原子链德拜模型色散关系
(1)按照德拜模型,格波的色散关系,即振动频谱为 ⑴
对于原子间距a为一维单原子链色散曲线如图示:
由色散曲线的对称性可以看出,区间对应两个同样大小的波矢区间,区间对应N个振动模式,单位波矢区间对应有个振动模式。
范围则包含:
⑵
个振动模式
则有 ⑶
其中是单位频率区间包含的振动模式数目,即模式密度。
由⑵式有
由⑴式有
上两式联合得出 ⑷
将⑷式代入⑶,得
(2)证明:
N个原子构成的一维单原子链,晶格振动总的热振动能为
其中叫做模式密度,
热容量
作变量代换
得
其中
在低温极限下,中的被积函数按二项式定理展开成级数
则积分
由此有
固体物理测试卷(4)
一、简要回答下列问题:
(56=30)
1.晶体膨胀时,费米能级如何变化?
解答:
费米能级=,
其中n是单位体积内的价电子数目。
晶体膨胀时,体积变大,电子数目不变,n变小,费米能级降低。
2.某种晶体的倒格子为体心立方结构,该晶体的正格子是什么结构?
面心立方
3.简述近自由电子近似模型,方法和所得到的主要结论。
考虑金属中电子受到粒子周期性势场的作用,假定周期性势场的起伏较小。
作为零级近似,可以用势场的平均值代替离子产生的势场·
:
=v().周期性势场的起伏量v()-=作为微扰来处理。
当两个由相互自由的矩阵元状态和=的零级近似能量相等时,一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大。
即,或者,在布里渊区的边界处,能量发生突变,形成一系列的能带。
4.试用能带论简述导体,绝缘体,半导体中电子在能带中填充的特点。
金属或导体中的价电子没有把价带(最高填充带)填满,此为倒带;
绝缘体中的价电子正好把价带填满,且更高的许可带(空带)与价带间相隔较宽的禁带;
半导体和绝缘体相似,但禁带较窄。
5.简要阐述固体物理中的Born-Oppenheimer近似(或绝热近似)的内容及物理依据。
原子核(或原子实)质量比电子大上千倍,电子的运动比核快得多,因而可认为电子是在准静态的核构形的势场中运动。
从而可把电子与核的运动分开来讨论。
即固体的运动简化成相对较简单的电子运动和核的运动。
6.什么是声子?
解答:
晶格振动的能量量子。
在晶体中存在不同振动频率的模式,称为晶格振动,晶格振动能量可以用声子来描述,把声子看作具有能量(),动量的玻色子,但声子并不是真正的粒子,声子可以被激发,也可以湮灭,有相互作用时声子数不守恒。
图B4-1
二.(15‘)图B4—1表示一个由同种元素的原子所形成的二维层状晶体,其中正六边形的边长为a,请分析并找出其基元,画出其Brawais格子,初基元胞和W-S元胞,并写出基失在适当直角坐标系中的表达式。
基元
Bravais格子:
初基原胞:
Y
2a
2a
X
W-S原胞:
基失:
三,(10‘)求出bccBravais格子(110)晶面族的晶面上的格点数和面间距。
晶面
格点数面密度
面间距
四(15’)设一维晶体中的单电子势(即晶体势能场)为
na-b
0,
其中,a=4b,w为常数。
(1)画出此势能曲线,计算势能的平均值;
(2)根据近自由电子近似方法,求出晶体中第一个以及第二个禁带的宽度。
势能曲线:
V(x)
0ba2ax
由于势能具有周期性,因此只在一个周期内求平均值即可:
=
=
⑵禁带宽度的表示为:
=2
其中是周期势场傅立叶级数的系数:
第一禁带宽度为:
=2
=
第二禁带宽度为:
=2
=
五.(15分)设电子等能面为椭球
外加磁场相对于椭球主轴方向余弦为α,β,γ
(1)写出电子的准经典运动方程:
(1)恒定磁场中电子运动的基本方程:
电子的速度:
电子的能量:
磁感应强度:
代入电子运动方程:
应用关系
故电子运动方程:
六(15‘)考虑一个同原子组成的平面方格子,用记第L列,第m行的原子垂直于格平面的位移,每个原子质量为M,最近邻原子的力常数为
1。
证明运动方程为
M=【()】
2.设解的形式为:
这里a是最近邻原子的间距,证明运动方程式可以满足的,如果
M=2)这就是问题的色散关系
3.证明独立解存在的q空间区域是一个变成为2π|a的正方形,这是平面方格子的第布里渊区,画出q=,而=0和时的)图。
解答
证明:
如图所示:
L,m+1
YL-1,mL,mL+1,m
L,m-1
X
只考虑最近邻原子的作用,第l,m原子受到(l+1,m),(l-1,m),(l,m+1)(l,m-1)四个原子的作用力为:
(l+1,m)对它的作用力=(
(l-1,m)对它的作用力=(
(l,m+1)对它的作用力=(
(l,m-1)对它的作用力=(
由于(l+1,m)和(l-1,m)对它的作用力以及(l,m+1)和(l,m-1)对它的作用力的方向都是相反的,于是运动方程式可写为
(1)
设解得形式为
(2)
代入运动方程
(1)后,得到色散关系
(3)
从
(2)(3)两式可以看出,均为的周期函数,周期为,所以的取值可以限制在的区域内,也就是说,全部独立的解都落在q空间中一个边长为的正方形区域内,这就是平面方格子的第一布里渊区。
对于布里渊区中q=,=0以及两个特殊方向上的色散关系容易从(3)式求出:
,;
(4)
,
=(5)
固体物理测试卷(五)
一、(6题,每题5分,共30分)简要回答下列问题:
1.为什么价电子的浓度越高,电导率越高?
电导σ是金属导电能力的量度。
导电能力取决于单位时间内通过的切面积的电子数。
但并不是所有的价电子对导电都有贡献,对导电有贡献的是费米面附近的电子。
可见电子浓度n越高,费米球越大,对导电有贡献的电子数目就越多,
该金属的电导率就越高。
2.晶态,非晶态,准晶态在原子排列上各有什么特点?
晶态:
原子做周期排列,长程有序。
非晶态:
原子排列短程有序,长程无序。
准晶态:
原子排列位置有序,但无周期性。
3.简单解释布洛赫定理(Blochtheorem)
当势场具有晶格周期性时,即
,为晶格矢量
单电子薛定谔的波函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波,即
且
波函数也具有如下性质:
4.简述紧束缚近似模型的思想和主要结论。
紧束缚近似模型方法的思想:
电子在一个原子(格点)附近时,主要受到该电子势场的作用,而将其它原子或格点的势场作用看作是微扰,将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合,这样可以得到原子能级和晶体中能带之间的关系。
一个原子能级对应一个能带,不同的原子能级对应不同的能带,当原子形成固体后,形成了一系列的能带。
能量较低的能级对应内层电子,其轨道较小,原子之间内层电子的波函数相互重叠较少,所以对应的能带较窄。
能量较高的能级对应外层电子,其轨道较大,原子之间外层电子的波函数
相互重叠较多,所以对应的能带较宽。
5.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?
按照爱因斯坦温度的定义,爱因斯坦模型的格波的频率大约是HZ,
属于光学支频率。
但光学格波在低温时对热容的贡献非常小,低温下对热容贡献大的主要是长声学格波。
也就是说爱因斯坦没有考虑声学波对热容的贡献,即爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。
6.晶体的结合能,晶体的内能,原子间的相互作用势能有何区别?
自由粒子结合成晶体的过程中释放能量,或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量,称为晶体的结合能。
原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。
在0K时原子还存在零点振动能,但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多。
所以在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。
二、(15分)图B5-1表示的一个由两种不同
元素的原子所形成的二维层状晶体,
其中正三边形的边长为a。
请分
析并找出其基元,并画出其
Brawais格子、初基元胞和W-S元胞,
并写出基矢在适当的直角坐标系中的表达式。
【解答
从第三1题和第三。
2题中选做其中一题。
三.1(10分)对一双原子线,设AB键长为a/2,取ABAB……AB排列,原子A,B的形状因子分别为、,入射X射线束垂直于原子线。
(1)证明干涉条件为,其中为衍射束与原子线间的交角。
(2)倒格矢G=hb,h为整数。
证明h为基数时衍射束的强度正比于,
h为偶数时正比于。
(3)说明时会发生什么现象。
(1)如图所示:
a B A
设原子是等间距的,衍射光束与原子链的夹角为,当入射X光垂直于原子链时,A原子散射波的光程差为,当时,各A(B)原子的散射波的相位差为0,散射波相互加强形成很强的衍射光。
(2)一个原胞基矢包含A、B两个原子,位置分别为
;
另知一维等距离的倒格矢
,h为整数
若
故h为奇数时,衍射束的强度正比于
故h为偶数时,衍射束的强度正比于
(3)若,当h为奇数时衍射光的强度为零,只是A原子与B原子的散射波的相位差为,相位相反,相互抵消,即对应消光现象。
当h为偶数时,衍射光的强度最强。
三.2(10分)考虑一双原子链的晶格振动,链上最邻近原子间的力常数交替地等于C和10C。
令原子质量相同,且最邻近的距为,试求在q=0和处的,并大致的画出色散关系。
如图所示的双原子链
按题设条件,运动方程为
设解为,
(2)
将
(2)式代入
(1)式中,得
是u,V的线性齐次方程组,存在非零解的条件是
解出
所以
当时
与q的关系如图所示
0
这是模拟一个双原子分子晶体的例子,分子内原子间的力常数要比分子间的力常数大的多。
反映分子整体振动的声学波频率决定于分子间比较弱的相互作用,频率较低。
而反映分子内原子的相对振动的光学波,决定于分子内原子比较强的相互作用,其振动频率要比声学波高的多。
从第四1题和第三。
四.1(15分)设有二维正方晶格,其晶格势场
按弱周期场处理,求出布里渊区角处的能隙。
周期性势能可改写成:
由上式给出的周期性势能只有下面四个傅氏分量不为零:
而点正好处于的垂直平分线上,即处在第一布里渊区边界线上,故电子能量在那里发生分裂,其能隙大小为
四.2(15)分相同原子组成的一维单原子链,原子间距a,
(1)根据紧束缚近似,只计入近邻相互作用,写出原子S态对应的晶体波函数的形式。
(2)求出相应能带的函数。
(1)紧束缚近似下,以晶体中电子的院子轨道波函数的布洛赫和晶体的波函数,设S态波函数为,则晶体波函数为:
为晶格波矢
(2)紧束缚近似下,只计入最近邻格点原子的相互作用。
则:
能带:
(任选一个格点为原点)
其中:
为S态原子能级
S原子波函数具有球对称性:
所以,
有两个最近邻的格点,其坐标为:
a和-a
代入上式得:
五.(15分)对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆积结构,
(1)画出前3个布里渊区;
(2)求出每个原子有一个自由电子时的费米波矢;
(3)给出第一个布里渊区内接圆的半径;
(4)求出内接圆为费米圆时每个原子的平均自由电子数;
(5)平均每原子有俩个自由电子时,在简约布里渊区中画出费米圆的图形。
对原子间距为a的由同种原子构成的二维密堆积晶格如下:
a X
y
(1)该晶格是一个简单格子,即每个原胞包含有一个原子。
取一格点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,原胞也如图所示。
基矢()()可由下式给出:
在二维晶格下,取,可得倒格子基矢:
所以:
根据倒格子基矢、就可画出各倒格点,易知倒格子也是二维密堆积格子。
取其中任一倒格子为原点,由近到远作出各倒格失(包括倒格子基失),然后作这些倒格失的垂直平分线。
这些垂直平分线把倒格子平面分成各个区域。
从原点出发不需要经过任何垂直平分线的区域为第一布里渊区,从原点出发需要经过1个(2个)垂直平分线的区域即为第二(第三)布里渊区。
如图:
DE
B
B1 C
A1E1
F
C
二维密堆塔积格子的布里渊区及费米圆
(2)二维晶格的原胞面积:
而每个原胞含有1个原子,每个原子有一个电子,则此二维晶格的电子面密度为:
费米圆半径为:
(3)从图可看到
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