学年新教材人教A版数学必修第1册讲义131第1课时 并集与交集.docx
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学年新教材人教A版数学必修第1册讲义131第1课时并集与交集
1.3 集合的基本运算
第1课时 并集与交集
1.理解并集、交集的概念.
2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集.
3.会求简单集合的并集和交集.
1.并集的概念及表示
2.交集的概念及表示
温馨提示:
(1)两个集合的并集、交集还是一个集合.
(2)对于A∪B,不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合.因为A与B可能有公共元素,每一个公共元素只能算一个元素.
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成,而非部分元素组成.
3.并集、交集的运算性质
并集的运算性质
交集的运算性质
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
A∪A=A
A∩A=A
A∪∅=A
A∩∅=∅
1.已知下列集合:
A={x|x2-1=0},B={x∈N|1≤x≤4},C={-1,1,2,3,4}.
(1)集合A与集合B各有几个元素?
(2)若将集合A与集合B的元素放在一起,构成一个新的集合是什么?
(3)集合C中的元素与集合A,B有什么关系?
[答案]
(1)A有2个元素,B有4个元素
(2){-1,1,2,3,4}
(3)集合A、B中的元素属于集合C
2.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成的集合.( )
(2)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合.( )
(3)并集定义中的“或”就是“和”.( )
(4)若A∩B=C∩B,则A=C.( )
[答案]
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
题型一并集的运算
【典例1】
(1)若集合A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合A∪B等于( )
A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}
C.{1,2}D.{0}
(2)已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q等于( )
A.{x|-1≤x<3}B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4}D.{x|x≥-1}
[思路导引] 由并集的定义,结合数轴求解.
[详细分析]
(1)A∪B={0,1,2,3,4},选A.
(2)在数轴上表示两个集合,如图.
∴P∪Q={x|x≤4}.选C.
[答案]
(1)A
(2)C
求集合并集的2种方法
(1)定义法:
若是用列举法表示的数集,可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果.
(2)数形结合法:
若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示.
[针对训练]
1.已知集合A={x|(x-1)(x+2)=0},B={x|(x+2)(x-3)=0},则集合A∪B是( )
A.{-1,2,3}B.{-1,-2,3}
C.{1,-2,3}D.{1,-2,-3}
[详细分析] ∵A={1,-2},B={-2,3},
∴A∪B={1,-2,3}.
[答案] C
2.若集合M={x|-3
[详细分析] 将-3
则M∪N={x|x<-5或x>-3}.
[答案] {x|x<-5或x>-3}
题型二交集的运算
【典例2】
(1)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B等于( )
A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x≤2}
C.{x|0≤x≤4}D.{x|1≤x≤4}
(2)设A={x∈N|1≤x≤5},B={x∈R|x2+x-6=0},则如图中阴影部分表示的集合为( )
A.{2}B.{3}
C.{-3,2}D.{-2,3}
[思路导引] 既属于集合A,又属于集合B的所有元素组成的集合,借助图示方法求解.
[详细分析]
(1)在数轴上表示出集合A与B,如下图.
则由交集的定义可得A∩B={x|0≤x≤2}.选A.
(2)A={x∈N|1≤x≤5}={1,2,3,4,5},B={x∈R|x2+x-6=0}={-3,2},图中阴影部分表示的是A∩B,
∴A∩B={2}.选A.
[答案]
(1)A
(2)A
求集合交集的2个注意点
(1)求两集合的交集时,首先要化简集合,使集合的元素特征尽量明朗化,然后根据交集的含义写出结果.
(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中,应重点考虑数轴分析法,直观清晰.
[针对训练]
3.若A={0,1,2,3},B={x|x=3a,a∈A},则A∩B=( )
A.{1,2}B.{0,1}
C.{0,3}D.{3}
[详细分析] ∵A={0,1,2,3},
B={x|x=3a,a∈A},∴B={0,3,6,9},
∴A∩B={0,3}.
[答案] C
4.设A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=4},则A∩B=________.
[详细分析] A∩B={(x,y)|x+y=0且x-y=4}
=
,
解方程组
得
∴A∩B={(2,-2)}.
[答案] {(2,-2)}
题型三由集合的并集、交集求参数
【典例3】
(1)设集合A={x|-1 (2)已知集合A={x|-3 [思路导引] (1)画出数轴求解. (2)若A∪B=A,则B⊆A;若A∩B=A,则A⊆B. [解] (1)如下图所示, 由A∪B={x|-1 (2)∵A∪B=A,∴B⊆A. 若B=∅,则2-k>2k-1,得k<1; 若B≠∅,则 解得1≤k≤ . 综上所述,k≤ . [变式] 本例 (2)若将“A∪B=A”改为“A∩B=A”,其他条件不变,求k的取值范围. [解] ∵A∩B=A,∴A⊆B. ∴ 解得k≥5. 由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点 (1)策略: 当题目中含有条件A∩B=A或A∪B=B,解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析,将A∩B=A转化为A⊆B,A∪B=B转化为A⊆B. (2)方法: 借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组),求解即可,特别要注意端点值的取舍. (3)注意点: 当题目条件中出现B⊆A时,若集合B不确定,解答时要注意讨论B=∅的情况. [针对训练] 5.已知M={1,2,a2-3a-1},N={-1,a,3},M∩N={3},求实数a的值. [解] ∵M∩N={3},∴3∈M,3∈N. ∴a2-3a-1=3,即a2-3a-4=0,解得a=-1或a=4, 当a=-1时,N={-1,-1,3},与元素的互异性矛盾.所以a≠-1. 当a=4时,N={-1,4,3},适合题意. 综上,a=4. 6.设集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|x2-4x+a=0,a为常数},若A∪B=A,求实数a的取值范围. [解] 由已知得A={1,2},∵A∪B=A,∴B⊆A, ∴集合B有两种情况: B=∅或B≠∅. ①当B=∅时,方程x2-4x+a=0无实根.∴Δ=16-4a<0,∴a>4. ②当B≠∅时,若Δ=0,则有a=4,此时B={2}⊆A满足条件;若Δ>0,则1,2是方程x2-4x+a=0的两根,但由根与系数的关系知矛盾,∴Δ>0不成立,∴当B≠∅时,a=4. 综上可知,a的取值范围是{a|a≥4}. 课堂归纳小结 1.对并集、交集概念的理解 (1)对于并集,要注意其中“或”的意义,“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别,它们是“可兼”的.“x∈A,或x∈B”这一条件,包括下列三种情况: x∈A但x∉B;x∈B但x∉A;x∈A且x∈B.因此,A∪B是由两个集合A,B的所有元素组成的集合. (2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素,而不是部分,特别地,当集合A和集合B没有 公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B=∅. 2.集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”、“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性. (2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值能否取到. 1.设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( ) A.{2}B.{2,3} C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4} [详细分析] 因为A∩C={1,2},所以(A∩C)∪B={1,2,3,4},选D. [答案] D 2.集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈R|x2≤9},则P∩M等于( ) A.{1,2}B.{0,1,2} C.{x|0≤x≤3}D.{x|0≤x<3} [详细分析] 由已知得P={0,1,2},M={x|-3≤x≤3}, 故P∩M={0,1,2}. [答案] B 3.已知集合A={x|x>2或x<0},B={x|- },则( ) A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆AD.A⊆B [详细分析] ∵A={x|x>2或x<0},B={x|- },∴A∩B={x|- },A∪B=R.故选B. [答案] B 4.设集合M={x|-3≤x<7},N={x|2x+k≤0},若M∩N≠∅,则实数k的取值范围为________. [详细分析] 因为N={x|2x+k≤0}= , 且M∩N≠∅,所以- ≥-3⇒k≤6. [答案] k≤6 5.已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0}, (1)当m=2时,求M∩N,M∪N. (2)当M∩N=M时,求实数m的值. [解] (1)由题意得M={2}.当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2}, 则M∩N={2},M∪N={1,2}. (2)∵M∩N=M,∴M⊆N.∵M={2},∴2∈N. ∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解, 即4-6+m=0,解得m=2. 由 (1)知,M∩N={2}=M, 适合题意,故m=2. 课后作业(四) 复习巩固 一、选择题 1.已知集合A={x|x>0},B={x|-1≤x≤2},则A∪B=( ) A.{x|x≥-1}B.{x|x≤2} C.{x|0 [详细分析] 借助数轴易得A∪B={x|x≥-1}. [答案] A 2.若集合A={x|-5 A.{x|-3 C.{x|-3 [详细分析] 由交集的定义知A∩B={x|-5 [答案] A 3.A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则右图中阴影部分表示的集合为( ) A.{2}B.{3} C.{-3,2}D.{-2,3} [详细分析] 注意到集合A中的元素为自然数,因此A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而B={-3,2},因此阴影部分表示的是A∩B={2},故选A. [答案] A 4.设集合A={a,b},B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B等于( ) A.{1,2}B.{1,5} C.{2,5}D.{1,2,5} [详细分析] ∵A∩B={2},∴2∈A,2∈B, ∴a+1=2,∴a=1,b=2,即A={1,2},B={2,5}, ∴A∪B={1,2,5},故选D. [答案] D 5.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x A.a<2B.a>-2 C.a>-1D.-1 [详细分析] ∵A={x|-1≤x<2},B={x|x 可知a>-1. [答案] C 二、填空题 6.满足{0,1}∪A={0,1,2}的所有集合A的个数为________. [详细分析] 由{0,1}∪A={0,1,2}可知A={2}或A={0,2}或A={1,2}或A={0,1,2},共4个. [答案] 4 7.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为________. [详细分析] 集合A的含义是被3除余2的正整数组成的集合,在集合B中,8,14被3除余2,故A∩B={8,14},其中有2个元素. [答案] 2 8.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1 [详细分析] 由A∩B=B得B⊆A. ①当B=∅时,即m+1≥2m-1,解得m≤2. ②当B≠∅时, 解得2 综上可知,m的取值范围是m≤4. [答案] m≤4 三、解答题 9.已知集合A={x|-2 (1)若A∩B=∅,求实数m的取值范围; (2)若A∩B=A,求实数m的取值范围. [解] (1)∵A={x|-2 又A∩B=∅,∴m≤-2. (2)∵A={x|-2 由A∩B=A,得A⊆B,∴m≥4. 10.设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若A∪B=A,求a的值. [解] ∵A∪B=A,∴B⊆A. ∵A={-2}≠∅,∴B=∅或B≠∅. 当B=∅时,方程ax+1=0无解,此时a=0. 当B≠∅时,此时a≠0,则B= , ∴- ∈A,即有- =-2,得a= . 综上,a=0或a= . 综合运用 11.设S={x|x<-1或x>5},T={x|a A.-3 C.a≤-3或a>-1D.a<-3或a>-1 [详细分析] 在数轴上表示集合S,T如图所示.因为S∪T=R,由数轴可得
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