蔡高厅蔡高厅课程目录(上册、下册)Word文档格式.doc
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1、limf(x)+limg(x)=A+B
2、lim[f(x)g(x)]=AB
3、lim[f(x)\g(x)]=A\B
4、f(x)>
(x),A>
B
第14课
第四节极限存在准则,两个重要极限16:
00
一、准则1夹挤准则
例1
第15课
例2重要极限之一
二、准则2单调有界准则25:
30
例1重要极限之二
第16课
第五节无穷小量的比较39:
第17课
第五节无穷小量的比较
等价无穷小代换定理
注意:
加减不可替换,乘除可替换
第六节连续函数34:
一、函数连续性的定义
第18课
左连续,右连续
二、函数的间断点24:
第19课
三、初等函数的连续性
1、连续函数的和、积、商的连续性
2、反函数与复合函数的连续性
1)反函数的连续性:
单调且连续
2)复合函数的极限
第20课
3)复合函数的连续性
3、初等函数的连续性13:
初等函数在定义域内连续。
第21课
四、连续函数在闭区间上的性质
1、最大、最小值定理06:
06
2、有界性定理
3、零值点定理
4、介值定理
fenderdj写道:
问下零值定理为什么要求是闭区间
要f(a),f(b)存在且异号,方便描述。
若是开区间,就要说明f(x)在a的右极限和b的左极限存在且异号。
第22课
第3章、导数与微分
第一节 导数概念
一、两个实例
二、导数定义
第23课
三、导数的几何意义11:
48
(求曲线上某点的切线方程和法线方程)
四、函数的可导性与连续性关系32:
49
第24课
证明可导与连续性关系的逆命题不成立
五、几个基本初等函数的导数公式14:
45
1、常数
2、幂函数
3、正弦、余弦函数
4、对数函数
第25课
第二节 函数的微分法
一、函数的和、差、积、商的求导法则
(只讲到和、差、积)
第26课
续上
(函数商的求导法则)
推导出tanx,cotx,secx,cscx的导数公式
二、反函数的导数23:
推导出反三角函数的导数公式
arcsinx,arccosx,
arctanx,arccotx,
第27课
求指数函数的导数
三、复合函数的导数5:
33
复合函数的求导法则
第28课
四、高阶导数(7'
)
多做练习
第29课
第三节、隐函数、参量函数的导数
一、隐函数的导数
隐函数的求导,包括幂指函数的求导
第30课
取对数微分法例2
二、参量函数的导数05:
10
三、*极坐标系下曲线的切线的斜率(38'
第31课
例1:
求心形线......某一点处切线的斜率
四、相关变化率(5'
50)
两个例子
第四节、函数的微分(24'
一、微分的概念
第32课
二、可微与可导的关系(互为充要条件)
微分的几何意义
三、微分公式
1、基本初等函数的微分公式
2、函数的和、差、积、商的微分公式
四、复合函数的微分公式
微分形式不变性
第33课
第四章、微分中值定理导数的应用
第一节、微分中值定理
一、Rolle定理(罗尔定理)6
二、Lagrange定理(拉格朗日定理)
分析
第34课
Lagrange定理的证明
利用它做证明题。
第35课
三、Cauchy定理(柯西定理)
四、Taylor定理(泰勒定理)(23'
30"
其证明(未证完)
第36课
Taylor定理继续证明
f(x)的n阶Maclaurin公式-麦克劳林公式
Peano型余项
第37课
第二节、罗必塔法则
一、0/0型不定式
法则I
推论I
第38课
二、8/8型(7'
法则II(不证,超出范围)
推论II
三、其它类型未定式(24'
0.8型、8-8型、0^0型,1^8型,8^0型
解决方法:
化为0/0或8/8型
第39课
第三节、函数的增减性与极值
1、函数单调增、减的必要条件
2、函数单调增、减的充分条件
第40课
例2、3
二、函数的极值、及求法(21'
一、函数单调增、减的必要充分条件
二、函数的极值及求法
1、极值的必要条件
第41课
极值存在的充分条件
第一充分条件
第二充分条件(37'
第42课
例3
第四节、函数的最大、小值(11'
例(未完)
第43课
例(续)
利用函数的最值可以证明不等式
第五节、函数的凹凸性、拐点
函数的凹凸性的定义
函数的凹凸性的判别
第44课
判定拐点的方法
第六节、函数图形的描绘(42'
第45课
一、曲线的渐近线
二、函数图形的描绘(34'
第46课
例子:
作图(续)
第七节、曲率(14'
一、弧的微分
光滑曲线
有向光滑曲线弧长的度量
一、弧微分
第47课
二、曲率及其计算公式(3'
直线的曲率为0
圆的曲率为1/R
第48课
例2
第五章、不定积分(21'
第一节、不定积分概念25
一、原函数与不定积分
第49课
二、不定积分的几何意义(9'
三、不定积分性质
四、不定积分的基本公式-基本积分表
第50课
几个例子
第二节、换元积分法(20'
一、第一换元法
第51课
第一换元积分法的几个例子
第52课
二、第二换元法(0'
第53课
第二换元法的例子(5'
第三节、分部积分法(42'
第54课
分部积分法的证明
分部积分法的几个例子
第55课
第四节、几类函数的积分法
一、有理函数的积分
第56课
部分分式(和)的积分
第57课
二、三角函数有理式的积分
举例
三、两种无理函数的积分
第一类
第58课
第二类
第六章、定积分(16'
第一节、定积分概念
一、实例
1、曲边梯形的面积
分割
作积
求和
取极限
第59课
估计是
二、定积分的定义
上册59讲asf音频:
第60课
三、定积分的几何意义
例1、利用定积分的几何意义来求定积分值
例2、应用定积分的定义来求定积分值
第二节、定积分性质、定积分中值定理
一、定积分性质(24'
1、
2、
3、
第61课
定积分性质
4
5
6
二、定积分中值定理(38'
1、定积分第一中值定理
第62课
2、定积分第二中值定理
第三节、定积分与原函数的关系(35'
一、变上限的定积分
第63课
(继)
<
定理>
二、牛顿-莱布尼兹公式(Newton-Leibniz)
定理2>
第64课
第四节、定积分计算法(32'
一、定积分的换元积分法
第65课
证明(定积分的换元积分法)
第66课
例
二、定积分的分部积分法(13'
第67课
第六节、广义积分、T-函数(咖玛函数)(0'
一、无穷限的广义积分(4'
40"
二、无界函数的广义积分(41'
第68课
三、T-函数(咖玛函数)(21'
20"
第69课
第七节、定积分在几何上的应用(6'
一、定积分元素法
二、平面图形面积(29'
1、直角坐标情形
第70课
例子
2、极坐标的情况(15'
三、求立体的体积(34'
1、平行截面面积为已知的立体的体积
第71课
2、旋转体的体积(12'
第72课
四、平面曲线的弧长
1、直角坐标的情形
2、极坐标的情形(25'
第73课
五、旋转体的侧面积
第八节、定积分在物理上的应用(30'
一、变力做功
第74课
电荷做功
抽水做功
弹簧弹性力做功(19'
二、引力(35'
第75课
续例
三、液体的侧力(29'
20)
推出公式
第76课
四、函数值的平均值(22'
算术平均值
例子(37'
33"
=====定积分全部结束=====
第77课
第七章、空间解析几何 矢量代数
1.空间直角坐标系
一、空间点的直角坐标
第78课
二、空间中两点间的距离
2.矢量代数(24'
一、矢量概念
二、矢量运算
1.矢量加法
第79课
2.矢量减法(10'
3.矢量与数的乘法
第80课
三、矢量的坐标表达法
1.矢量在轴上的投影(6'
投影定理(32'
第81课
2.矢量的坐标表达式
第82课
3.矢量的模和方向余弦(9'
四、二阶及三阶行列式基本知识(30'
1.二阶行列式
2.三阶行列式
第83课
五、数量积,矢量积(19'
1.两矢量的数量积
第84课
2.两个矢量的矢量积(15'
第85课
例2(35'
第86课
3.平面及其方程
一、曲面方程的概念
二、平面的点法式方程(26'
第87课
三、平面的一般式方程
四、平面的截距式方程(44'
第88课
五、两平面夹角(2'
六、平面外一点到平面的距离
4.空间直线及其方程
一、空间曲线及其方程
第89课
二、直线的对称式和参量式方程
三、直线的一般式方程
四、直线的相互关系
五、直线与平面的夹角
第90课
例4
习题:
7-41,3,4,5,6,7,8,11,13
5.曲面与方程
一、柱面(36'
第91课
二、旋转曲面
7-51,3,4,6,8
第92课
6.二次曲面
一、椭球面
二、抛曲面
第93课
三、双曲面(12'
1.单叶双曲面
2.双叶双曲面
7-61,2,3
第94课
7.空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参量方程
第95课
三、空间曲线在坐标面上的投影曲线
=====高数上册完=====================
第96课 (下册第1课)
第8章、多元函数微积分
1.多元函数概念
一、平面点集的基本知识
1.邻域
2.区域
3.聚点
第97课 (下册第2课)
4.n维空间(5'
二、多元函数的概念
第98课 (下册第3课)
二元函数的几何意义
8-11,2,4,7,8
(1)(4)(6)
三、二元函数的极限
第99课 (下册第4课)
二元函数极限的四则运算(15'
四、二元函数的连续性
第100课 (下册第5课)
在有界闭区域上连续的多元函数性质
1.最大、最小值存在性定理
2.介值定理
2.偏导数
一、偏导数概念(25'
第101课 (下册第6课)
二元函数偏导数的几何意义
二、高阶偏导数(42'
第102课 (下册第7课)
例5
例6
8-21
(1)(4)(5)(8)(9),2(4)(5)(7),9,11,12,13,15
3.全微分
一、全微分概念(28'
第103课 (下册第8课)
全微分定义
定理1可微的必要条件(38'
)可微->
偏导存在
8-31
(1)(5)(7)(9)(10)
第104课 (下册第9课)
二、可微的充要条件
定理2可微的充分条件(26'
证明
第105课 (下册第10课)
(续证)
总结
4.多元复合函数微分法
一、多元复合函数微分法(21'
定理
第106课 (下册第11课)
复合函数结构示意图
第107课 (下册第12课)
一、多元复合函数微分法(续)
二、全微分形式不变性(4'
15"
三、多元复合函数的高阶偏导数(本节核心、重点内容)
例2(40'
8-417,18,19,20,22,23
第108课 (下册第13课)
例3
5.隐函数的微分法(21'
隐函数:
(定义)
一、一个方程所确定的隐函数
隐函数存在定理1
第109课 (下册第14课)
一、一个方程所确定的隐函数(续)
隐函数存在定理2(15'
例1(30'
第110课 (下册第15课)
二、方程组所确定的隐函数
隐函数存在定理3
例1(22'
例2(34'
8-51,2,3,6,7,8,9,10,14,15,18,20,21
第111课 (下册第16课)
6.方向导数,梯度
一、方向导数
证
第112课 (下册第17课)
二、梯度
<梯度定义>
例2(32'
7.偏导数在几何上的应用
一、空间曲线的切线和法平面(43'
第113课 (下册第18课)
(续前节)
例2(22'
8-62,3,4,5,7,9
8-72,3,4,6,8
二、曲面的切平面和法线(35'
第114课 (下册第19课)
结论
<定义>切平面
曲面的法线
法线的方程
第115课 (下册第20课)
例3(1'
)证明:
8.多元函数的极值和求法(15'
一、二元函数的极值和求法
<二元函数极值定义>
1、<极值存在的必要条件>
2、<极值存在的充分条件>(39'
第116课 (下册第21课)
求二元函数极值的步骤
例1(8'
二、求二元函数的最大值、最小值(19'
例2(26'
8-711,13,14,18,20,22,23
第117课 (下册第22课)
8.多元函数的极值和求法(续)
三、条件极值(22'
)----Lagrange系数法
解决条件极值的方法,有两种:
第118课 (下册第23课)
解决条件极值的方法(续)
例1(20'
8-81
(2)(4),2,4,5,9,10,15,16,18
第9章、重积分(37'
1、二重积分的概念、性质
1、曲顶柱体体积
第119课 (下册第24课)
1.二重积分的概念、性质(续)
2、平面薄板质量
二、二重积分定义(29'
第120课 (下册第25课)
三、二重积分性质(3'
4、
5、估值定理(介值定理)(14'
6、中值定理
2.二重积分的计算(22'
)--化为两次单积分的计算
一、在直角坐标系下
第121课 (下册第26课)
(续)
计算二重积分步骤
第122课 (下册第27课)
例5(36'
9-12
(1)(4),3
(2)(3)
9-21(3)(4)(5),2
(2)(3),3
(1)(3)(4)(6)(8)(9),4(3)(4)
第123课 (下册第28课)
二、在极坐标下
1、二重积分由直角坐标变换为极坐标的变换公式
2、极坐标下的累次积分(34'
第124课 (下册第29课)
例1(4'
例3(25'
18"
例4(40'
9-25
(1)
(2)(4),6
(2)(3),7
(1)
(2)(3)(5)(7)
第125课 (下册第30课)
例5(2'
3.三重积分(20'
一、三重积分定义
二、三重积分性质(38'
第126课 (下册第31课)
4、(4'
5、
6、
4.三重积分的计算(21'
一、直角坐标系下(23'
第127课 (下册第32课)
例3(36'
习题9-41
(1)
(2)(4)2
(1)
(2)(3)(4)
第128课 (下册第33课)
二、在柱面坐标系下
例1(27'
11"
)
第129课 (下册第34课)
续例2
三、球面坐标系下
例142'
9-43
(1)
(2)(3)(5)
第130课 (下册第35课)
在球面坐标系下,三重积分化为三次积分
例14'
例220'
9-44
(1)
(2)(3)(5)5(3)(5)
第131课 (下册第36课)
第五节重积分的应用
一、重积分在几何上的应用
1、封闭曲面所围立体的体积
2、曲面的面积(34'
31"
第132课 (下册第37课)
例104'
14'
'
例213'
08'
二、重积分在物理上的应用(29'
1、物体的质量
2、物体的重心(35'
习题9-51
(1)
(2)(3)2
(1)
(2)(5)
第133课 (下册第38课)
1平面薄板的重心
2空间立体的重心
例128'
26'
第134课 (下册第39课)
续例1
例23'
20'
3物体的转动惯量25'
第135课 (下册第40课)
例217'
习题9-56,7,8,10,12,14
第十章曲线积分与曲面积分(27'
第一节第一类曲线积分
第136课 (下册第41课)
一、第一类曲线积分的概念和性质
二、第一类曲线积分的计算(13'
1、设空间曲线L由参量方程给出
第137课 (下册第42课)
例28'
30'
例318'
50'
习题10-12,3,5,7,10,11,15
第二节第二类曲线积分24'
一、矢量场的概念
矢量场、曲线方向的规定
性质(43'
第138课 (下册第43课)
概念19'
56'
性质1,2,3
第139课 (下册第44课)
三、第二类曲线积分的计算9'
第140课 (下册第45课)
例211'
例328'
24'
第141课 (下册第46课)
四、两类曲线积分的关系
两类曲线积分可以互相转化
第三节格林(Green)公式(19'
一、格林公式
证明(36'
第142课 (下册第47课)
证明续
例1(37'
第143课 (下册第48课)
例3(21'
二、平面曲线积分与路径无关的条件(44'
第144课 (下册第49课)
第145课 (下册第50课)
注意(20'
例1(28'
第146课 (下册第51课)
例3(30'
第四节第一类曲面积分(41'
一、第一类曲面积分的概念、性质
第147课 (下册第52课)
性质1、2、3
二、第一类曲面积分计算(本节重点问题)(20'
例1(38'
第148课 (下册第53课)
第五节第二类曲面积分(21'
(和曲面的方向有关)
一、有向曲面的概念
第149课 (下册第54课)
二、第二类曲面积分的定义
两类曲面积分的关系(38'
第150课 (下册第55课)
三、第二类曲面积分计算法
第151课 (下册第56课)
第六节高斯公式曲面积分与曲面积分无关的条件(33'
一、高斯公式
第152课 (下册第57课)
例1(20'
例2(29'
第153课 (下册第58课)
二、曲面积分与路径无关的条件(不考)
定理:
证明(略)
第七节斯托克斯公式、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式(9'
例1(21'
二、空间曲线积分与路径无关的条件(40'
)(不考)
第154课 (下册第59课)
第11章级数
第一节常数项级数
一、级数基本概念
级数、级数的部分和、级数收敛
例1、讨论几何级数的敛散性(21'
例2、(32'
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