广西科技大学时间序列分析计算题复习题Word文档格式.doc
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2.某国1961年1月—2002年8月的16~19岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳(N=500),经过计算样本其样本自相关系数及样本偏相关系数的前10个数值如下表
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.47
0.06
-0.07
0.04
0.00
-0.04
-0.05
0.01
-0.21
-0.18
-0.10
0.02
-0.01
-0.06
(1)利用所学知识,对所属的模型进行初步的模型识别。
(2)对所识别的模型参数和白噪声方差给出其矩估计。
解答:
(1)样本自相关系数1阶截尾,样本偏相关系数拖尾,
(2)由于模型有,
。
3.设是二阶滑动平均模型,即满足,其中是白噪声序列,并且,
(1)求的自协方差函数和自相关函数。
(2)当时,计算样本均值的方差。
(1)
(2)
4.设是正态白噪声序列,并且,时间序列来自,问模型是否平稳?
为什么?
该模型是平稳的,因为其AR特征方程的根为1.25,大于1。
5.假定Acme公司的年销售额(单位:
百万美元)符合AR
(2)模型:
其中。
(a)如果说2005年、2006年和2007年的销售额分别是900万美元,1100万美元和1000万美元,预测2008年和2009年的销售额。
(b)证明模型里的。
(c)计算问题(a)中2008年预测的95%预测极限。
(d)如果2008年的销售额结果为1200万美元,更新对2009年的预测。
解答:
(a)应用P142公式(9.3.28)得
5+1.1(10)–0.5(11)=10.5(百万美元)
5+1.1(10.5)–0.5(10)=11.55(百万美元)
(b)由课本54页公式(4.3.21),,。
(c)由课本第140页公式(9.3.15)知道:
,2008年预测的95%预测极限为,这里
,故,代入后简单计算得2008年预测的95%预测极限为(7.67,13.33)。
(d)由148页更新方程(9.6.1)知,所以
(百万美元)
6.设的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.92,0.78,0.86,0.72,0.84,试求
(1)样本均值;
(2)样本的自协方差函数和自相关函数;
(3)对模型参数给出其矩估计,并写出模型的表达式。
(1)样本均值。
0.758
(2)样本的自协方差函数值和自相关函数值。
注意,而(这里,具体计算略过)
(3)对AR
(2)模型参数给出其矩估计,并且写出模型的表达式。
由Yule-Walker方程
,
7.设服从模型:
,其中。
(1)给出未来3期的预测值;
(2)给出未来3期的预测值的的预测区间()?
(2)应用延迟算子B表达式,我们有。
由(P143公式(9.3.38))知道,。
因为故有
,,。
所以未来期的预测值的的预测区间为:
。
故未来3期的预测值的的预测区间为:
101
101(0.136,0.332)
102(0.087,0.287)
103(-0.049,0.251)。
8.设平稳时间序列服从模型:
,其中是白噪声序列,并且,证明:
证明:
由题意,两边求方差得
(因为与相互独立)
(因为平稳)
整理即得。
9.设平稳时间序列服从模型:
,其中是白噪声序列,并且,证明其偏自相关系数满足:
因为模型偏自相关系数2阶截尾,即当时,。
(其一般证明见课本P80页)这里仅证明。
事实上,满足如下Yule-Walker方程:
(见课本P81公式(6.2.8)),其中分别为该模型前2阶自相关系数。
由课本P52页的公式(4.3.14)和P53页的公式(4.3.15)知:
于是,解Yule-Walker方程得。
10.设时间序列服从模型:
,其中是白噪声序列,并且,证明其自相关系数满足:
解:
方程两边乘以再取数学期望得,整理得
(1)
方程两边求方差得
整理得
(2)
将
(2)代入到
(1)可得:
,所以。
注意到,而当时,方程两边乘以再取数学期望可得
整理得(3)
在(3)式两边同除,即得,。
证毕!
11.设时间序列服从AR
(1)模型:
,其中是白噪声序列,
为来自上述模型的样本观测值,试求模型参数的极大似然估计。
依题意,故无条件平方和函数为
易见(见p113式(7.3.6))其对数似然函数为
所以对数似然方程组为,即。
解之得。
12.对下列每个ARIMA模型,求和。
(a)
(b)
(a)原模型可变形为,注意到为零均值方差为的白噪声序列。
所以有
(b)原模型可变形为,因此为一个平稳可逆的模型。
同时注意到为零均值方差为的白噪声序列,所以我们有
(平稳性)
另一方面,
所以有。
13.若一时间序列长度为35,现对该时间序列拟合模型得其残差的前6个样本自相关系数如下:
计算统计量并由此对残差的自相关性进行检验(显著性水平)。
易见,(见课本P132)故检验统计量等于
此时服从一个自由度为的卡方分布,因为,所以没有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。
14.若一时间序列长度为100,现对该时间序列拟合模型得其残差的前8个样本自相关系数如下:
3.6512
此时服从一个自由度为的卡方分布,因为所以没有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。
第5页(共6页)
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