李正元高等数学强化讲义文档格式.doc
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只要设存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞”,“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形.这是因为仅在这三个情况下是“0·
∞”型未定式.
1°
设=0(0<|x-|<δ时f(x)>0),,则
2°
设=A>0,A≠1,=+∞,则
设=+∞,,则
【例1】设
【分析】
【例2】设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且则必有
(A)an<bn对任意n成立.(B)bn<cn对任意n成立.
(C)极限不存在.(D)不存在.
用相消法求或型极限
【例1】求
【解】作恒等变形,分子、分母同乘
.
【例2】求
【解】作恒等变形,分子、分母同除得
利用洛必达法则求极限
【例1】设f(x)在x=0有连续导数,又
求.
【例2】求.
【例3】求.
【例4】求.
【例5】若,则.
【例6】求.
【例7】设a>0,b≠0为常数且,则(a,b)=__________.
【分析】∞-∞型极限.
因此(a,b)=.
分别求左、右极限的情形,分别求的情形
【例1】设,求.【例2】求
利用函数极限求数列极限
【例1】求.【例2】求.
【解1】
转化为求
【解2】用求指数型极限的一般方法.
转化为求
(等价无穷小因子替换),余下同前.
3无穷小和它的阶
1.无穷小、极限、无穷大及其联系
(1)无穷小与无穷大的定义
(2)极限与无穷小,无穷小与无穷大的关系
其中
o
(1)表示无穷小量.
在同一个极限过程中,u是无穷小量(u≠0)Þ
是无穷大量.反之若u是无穷大量,则是无穷小量.
2.无穷小阶的概念
(1)定义同一极限过程中,a(x),b(x)为无穷小,
设
定义设在同一极限过程中a(x),b(x)均为无穷小,a(x)为基本无穷小,若存在正数k与常数使得称b(x)是a(x)的k阶无穷小,特别有,称x→x0时b(x)是(x-x0)的k阶无穷小.
(2)重要的等价无穷小
x→0时sinx~x,tanx~x,㏑(1+x)~x,ex-1~x;
ax-1~xlna,arcsinx~x,
arctanx~x;
(1+x)a―1~ax,1―cosx~.
(3)等价无穷小的重要性质
在同一个极限过程中
若a~b,b~gÞ
a~g.
a~bÛ
a=b+o(b)
在求“”型与“0·
∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换
【例1】求.
【例2】设.
【分析】由已知条件及
.又在x=0某空心邻域f(x)≠0Þ
,又3x-1~xln3.于是
.
【例3】设x→a时a(x),b(x)分别是x-a的n阶与m阶无穷小,又,则x→a时
(1)a(x)h(x)是x-a的__________阶无穷小.
(2)a(x)b(x)是x-a的__________阶无穷小.
(3)n<m时,a(x)±
b(x)是x-a的__________阶无穷小.
(4)n>m时是x-a的__________阶无穷小.
(5)k是正整数时,ak是x-a的__________阶无穷小.
以上结论容易按定义证明。
例如,已知,Þ
f(x)g(x)是x-a的n+m阶无穷小.
【例4】设f(x)连续,x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小,求证:
是x-a的n+1阶无穷小.
【例5】x→0时,是x的________阶无穷小;
是x的_________阶无穷小;
是x的_________阶无穷小,是x的_________阶无穷小.
【例6】x→0时,下列无穷小中()比其他三个的阶高,
(A)x2(B)1-cosx(C)(D)x-tanx
【例7】当x→0时,与比较是()的无穷小.
(A)等价(B)同阶非等价
(C)高阶(D)低阶
4连续性及其判断
1.连续性概念
(1)连续的定义:
函数f(x)满足,则称f(x)在点x=x0处连续;
f(x)满足(或,则称f(x)在x=x0处右(或左)连续.
若f(x)在(a,b)内每一点连续,则称f(x)在(a,b)内连续;
若f(x)在(a,b)内连续,且在x=a处右连续,在点x=b处左连续,则称f(x)在[a,b]上连续.
(2)单双侧连续性
f(x)在x=x0处连续Û
f(x)在x=x0处既左连续,又右连续.
(3)间断点的分类:
设f(x)在点x=x0的某一空心邻域内有定义,且x0是f(x)的间断点.
若f(x)在点x=x0处的左、右极限f(x0-0)与f(x0+0)存在并相等,但不等于函数值f(x0)或f(x)在x0无定义,则称点x0是可去间断点;
若f(x)在点x=x0处的左、右极限f(x0-0)与f(x0+0)存在但不等,则称点x0是跳跃间断点:
它们统称为第一类间断点.
若f(x)在点x=x0处的左、右极限f(x0-0)与f(x0+0)至少有一个不存在,则称点x0为第二类间断点.
2.函数连续性与间断点类型的判断:
若f(x)为初等函数,则f(x)在其定义域区间D上连续,即当开区间(a,b)Ì
D,则f(x)在(a,b)内连续;
当闭区间[c,d]Ì
D,则f(x)在[c,d]上连续.若f(x)是非初等函数或不清楚它是否为初等函数,则用连续的定义和连续性运算法则(四则运算,反函数运算与复合运算)来判断.当f(x)为分段函数时,在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性.
判断f(x)的间断点的类型,就是求极限.
3.有界闭区间[a,b]上连续函数的性质:
最大值和最小值定理:
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则存在ξ和ηÎ
[a,b],使得
f(ξ)≤f(x)≤f(η),(a≤x≤b)
有界性定理:
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,则存在M>0,使得
|f(x)|≤M,(a≤x≤b)
介值定理:
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),则对f(a)与f(b)之间的任意一个数c,在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=c
推论1(零值定理):
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=0
推论2:
设f(x)在闭区间[a,b]上连续,且m和M分别是f(x)在[a,b]上最小值和最大值,若m<M,则f(x)在[a,b]上的值域为[m,M].
【例1】函数在下列哪个区间内有界.
(A)(-1,0).(B)(0,1).(C)(1,2).(D)(2,3).
【分析一】这里有界.只须考察,g(x)是初等函数,它在定义域(x≠1,x≠2)上连续,有界闭区间上连续函数有界,[-1,0]Ì
定义域,g(x)在[-1,0]有界,选(A).
【分析二】设h(x)定义在(a,b)上,若或,则h(x)在(a,b)无界.因,Þ
在(0,1),(1,2),(2,3)均无界.选(A).
【例2】设,
讨论y=f(g(x))的连续性,若有间断点并指出类型.
【分析与解法1】先求f(g(x))的表达式.
Þ
在(-∞,1),(1,2),(2,5),(5,+∞),f(g(x))分别与初等函数相同,故连续.x=2或5时可添加等号,左、右连接起来,即左连续又右连续Þ
f(g(x))在x=2或5连续.x=1时
Þ
x=1是f(g(x))的第一类间断点(跳跃间断点).
【分析与解法2】不必求出f(g(x))的表达式.
g(x)的表达式中,x=2或5处可添加等号,左、右连接起来Þ
g(x)在(-∞,+∞)处处连续.
,u≠1时连续.
u=g(x)=1Û
x=1
因此,x≠1时由连续函数的复合函数是连续的Þ
f(g(x))连续.x=1时
x=1是f(g(x))的第一类间断点.
第二讲一元函数微分学的概念、计算及简单应用
二、重点考核点
这部分的重点是
①导数与微分的定义、几何意义,讨论函数的可导性及导函数的连续性,特别是分段函数,可导与连续的关系.
②按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分(包括:
初等函数,幂指数函数,反函数,隐函数,变限积分函数,参数式,分段函数及带抽象函数记号的复合函数),求n阶导数表达式.
③求平面曲线的切线与法线,描述某些物理量的变化率.
④导数在经济领域的应用如“弹性”,“边际”等(只对数三,数四).
1一元函数微分学中的基本概念及其联系
1.可导与可微的定义及其联系
2.几何意义与力学意义
是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率.
是相应于Dx该切线上纵坐标的增量.
质点作直线运动,t时刻质点的坐标为x=x(t),是t=t0时刻的速度.
3.单侧导数与双侧导数
f(x)在x=x0可导均存在且相等.
此时
【例1】说明下列事实的几何意义
(1)
(2)f(x),g(x)在x=x0处有连续二阶导数,,
(3)f(x)在x=x0处存在,但.
(4)y=f(x)在x=x0处连续且
【例2】,d>0为某常数.设均存在且.求证:
.
【例3】请回答下列问题:
(1)设y=f(x)在x=x0可导,相应于Dx有
Dy=f(x0+Dx)-f(x0),
Dx→0时它们均是无穷小.试比较下列无穷小:
Dy是Dx的__________无穷小;
Dy-dy是Dx的________无穷小;
时Dy与dy是________无穷小.
(2)du与Du是否相等?
【例4】设f(x)连续,试讨论的存在性与的存在性之间的关系.
(1)考察下列两个函数图形,由导数的几何意义来分析存在与存在之间的关系.
(2)f(x0)≠0时,求证:
存在Û
存在.
【证明】因≠0,由连续性,Þ
$d>0,使得当|x-x0|<d时有f(x)>0或f(x)<0,于是在x0该邻域内必有|f(x)|=f(x)或|f(x)|=-f(x)之一成立,故在点x=x0处两个函数的可导性是等价的.
(3)f(x0)=0时,求证:
【证明】设f(x0)=0.
存在
综合可得,题目中结论
(2)和(3)成立.也可以概括为:
点x=x0是可导函数的绝对值函数||的不可导点的充分必要条件是它使得f(x0)=0但.
【评注】论证中用到显然的事实:
【例5】设函数f(x)连续,且,则存在d>0,使得
(A)在(0,d)内单调增加.(B)在(-d,0)内单调减少.
(C)对任意的xÎ
(0,d)有>f(0).(D)对任意的xÎ
(-d,0)有>f(0).
2一元函数求导法
反函数求导法:
设f(x)在区间Ix可导,,值域区间为Iy,则它的反函数x=j(y)在Iy可导且
【例】设y=y(x)满足,求它的反函数的二阶导数.
【解】
变限积分求导法:
设函数f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上可导,且
,(a≤x≤b)
设在[c,d]上连续,当xÎ
[a,b]时函数u(x),v(x)可导,且的值域不超出[c,d],则在[a,b]上可导,且
,(a≤x≤b)
【例1】设f(x)在(-∞,+∞)连续且,求.
【例2】设f(x)在(-∞,+∞)连续,又,求.
【例3】设,求.
【例4】设f(x)为连续函数,,则等于
(A)2f
(2).(B)f
(2).(C)-f
(2).(D)0.
【分析一】先用分部积分法将F(t)化为定积分.
选(B).
【分析二】转化为可以用变限积分求导公式的情形.
.选(B).
【分析三】交换积分顺序化为定积分.
【分析四】特殊选取法.取f(x)=1(满足条件)
隐函数求导法:
【例1】y=y(x)由所确定,则
【例2】y=y(x)由下列方程确定,求
(1)x+arctany=y;
【解】对x求导,
解出.再对x求导得.
(2),其中.
【解】对x求导得
利用方程化简得
再将的方程对x求导得
解出,并代入表达式Þ
若先取对数得lnx+f(y)=y然后再求导,可简化计算.
【例3】设y=y(x)由方程y-xey=1确定,求的值.
【解】原方程中令x=0Þ
y(0)=1.将方程对x求导得
令.将上述方程两边再对x求导得
分段函数求导法:
【例1】设f(x)=x2|x|,则使处处存在的最高阶数n为________.
【例2】设
(A)不连续(B)连续,但不可导(C)可导但导函数不连续(D)可导且导函数连续
【分析】先按定义讨论f(x)在x=0的可导性问题.
.
进一步考察在x=0的连续性.
当x>0时,
由此可知,在x=0不连续.因此,选(C).
【例3】求常数a,b使函数处处可导,并求出导数.
【分析与求解】对常数a,b,x≠3时f(x)均可导.现要确定a,b使存在.f(x)在x=3必须连续且,由这两个条件求出a与b.
由
f(x)在x=3连续,a,b满足f(3+0)=f(3-0)=f(3)即3a+b=9
在此条件下,
即a=6代入3a+b=9Þ
b=-9.
因此,仅当a=6,b=-9时f(x)处处可导且
【评注】求解此类问题常犯以下错误
没说明对常数a,b,x≠3时f(x)均可导.
先由x=3处可导求出a值,再由连续性求出b值.请看以下错误表达:
“因
由得a=6.再由连续性f(3+0)=f(3-0)
即9=3a+b,b=-9”
错误在于①当3a+b≠9时不存在,也不可能有.
②f(3+0)=f(3-0)不能保证f(x)在x=3连续.仅当f(3+0)=f(3-0)=f(3)时才能保证x=3连续.
必须先由连续性定出3a+b=9,在此条件下就可得
高阶导数与n阶导数的求法
常见的五个函数的n阶导数公式:
3一元函数导数(微分)概念的简单应用
【例1】设,在点处的切线与轴的交点为,则
【例2】若周期为4的函数f(x)可导且
则曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率k=________.
【例3】设y=f(x)由方程e2x+y-cos(xy)=e-1所确定,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的法线方程为________.
【例4】已知曲线Γ的极坐标方程为ρ=2sinθ,点M0的极坐标为(1,),则点M0处Γ的切线的直角坐标方程为________.
【分析一】
(数学一,二)点M0在Γ上,直角坐标为:
Γ的参数方程为,
Γ在M0点处的切线的斜率:
Γ在M0处的切线方程.
【分析二】Γ的方程可化为r2=,于是Γ的隐式方程为x2+y2=2y.由隐函数求导法,得.
,于是切线方程为
第三讲一元函数积分学
①不定积分、原函数及定积分概念,特别是定积分的主要性质.
②两个基本公式:
牛顿—莱布尼兹公式,变限积分及其导数公式.
③熟记基本积分表,掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分.
④反常积分敛散性概念与计算.
⑤定积分的应用.
1一元函数积分学的基本概念与基本定理
1.原函数与不定积分的概念及性质:
(1)定义.
若F(x)的导函数在某区间上成立,则称F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数:
f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分,记为.
(2)原函数与不定积分的关系.
若已知F(x)是f(x)的一个原函数,则其中C是任意常数.
(3)求不定积分与求导是互为逆运算的关系,即
其中C也是任意常数.
(4)不定积分的基本性质:
2.定积分的概念与性质:
设,若对任何
存在,则称f(x)在[a,b]上可积,并称此极限值为f(x)在
[a,b]上的定积分,记为
定积分的值与积分变量的名称无关,即把积分变量x换为t或u等其他字母时,有
另外,约定.
(2)可积性条件.
可积的必要条件:
若f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.
可积函数类(可积的充分但非必要的条件):
f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积;
f(x)在[a,b]上有界且仅有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.
(3)定积分的几何意义:
设f(x)在[a,b]上连续,则表示界于x轴、曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的平面图形面积的代数和,其中在x轴上方部分取正号,在x轴下方部分取负号.
特别,若f(x)在[a,b]上连续且非负,则表示x轴,曲线y=f(x)以及直线x=a,x=b围成的曲边梯形的面积.
(4)定积分有以下性质:
线性性质:
若f(x),g(x)在[a,b]上可积,且A、B为两个常数,则Af(x)+Bg(x)也在[a,b]上可积,且
对积分区间的可加性:
若f(x)在由a、b、c三数构成的最大区间上可积,则
改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值.
比较性质:
若f(x),g(x)在[a,b]上可积,且f(x)≤g(x)在[a,b]上成立,则
进一步又有:
若f(x),g(x)在[a,b]上连续,且f(x)≤g(x),f(x)g(x)在[a,b]上成立,则
若f(x)在[a,b]可积,则|f(x)|在[a,b]可积且
5°
积分中值定理:
若f(x)在[a,b]上连续,则存在ξ∈(a,b),使得
3.变限积分,原函数存在定理,牛顿—莱布尼兹公式
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