裂项相消法讲义提高篇Word格式.docx
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∵a3-a2=8,则a2=8,∴q=2.∴an=2n+1.
(2)∵bn=log42n+1=,
∴Sn=b1+b2+…+bn=.
∵==,
∴+++…+
=(-+-+-+…+-)
=(1++---)<
<
,
∴存在正整数k的最小值为3.
2.已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn=-an.
(2)设f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an),Tn=++…+,求T2012;
[解析]
(1)当n=1时,a1=,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,又Sn=-an,
所以an=an-1,
即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,
故an=n.
(2)由已知可得f(an)=log3n=-n,
则bn=-1-2-3-…-n=-,故=-2,
又Tn=-2
=-2,
所以T2012=-.
变式1.在等差数列
中,
,其前
项和为
,等比数列
的各项均为正数,
,公比为
,且
.
(1)求
与
;
(2)设数列
满足
,求
的前
项和
[解析]
(1)设
的公差为
因为
所以
解得
或
(舍),
故
,
.
(2)由
(1)可知,
,所以
变式2.(2013·
江西高考)正项数列{an}满足:
a-(2n-1)an-2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]
(1)由a-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)·
(an+1)=0.由于{an}是正项数列,所以an=2n.
(2)由an=2n,bn=,得bn==.
Tn===.
变式3.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=,n∈N*.
(1)求证:
数列{an}是等差数列;
(2)设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.
[解析]
(1)证明 ∵Sn=,n∈N*,
∴当n=1时,a1=S1=(an>
0),∴a1=1.
当n≥2时,由
得2an=a+an-a-an-1.
即(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
∵an+an-1>
0,∴an-an-1=1(n≥2).
所以数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2) 由
(1)可得an=n,Sn=,
bn===-.
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=1-+-+…+-
=1-=.
变式4.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).
(2)当bn=
时,求证:
数列的前n项和Tn=.
[解析]
(1)由已知得(n≥2),得到an+1=an(n≥2).
∴数列{an}是以a2为首项,以为公比的等比数列.
又a2=S1=a1=,
∴an=a2×
n-2=n-2(n≥2).∴an=
(2)证明 bn=log(3an+1)=log=n.
∴==-.
∴Tn=+++…+
=+++…+
变式5.已知正项数列{an},{bn}满足a1=3,a2=6,{bn}是等差数列,且对任意正整数n,都有bn,,bn+1成等比数列.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)设Sn=++…+,试比较2Sn与2-的大小.
[解析]
(1)∵对任意正整数n,都有bn,,bn+1成等比数列,且{an},{bn}都为正项数列,
∴an=bnbn+1(n∈N*).可得a1=b1b2=3,a2=b2b3=6,又{bn}是等差数列,∴b1+b3=2b2,
解得b1=,b2=.∴bn=(n+1).
(2)由
(1)可得an=bnbn+1=,则==2,
∴Sn=2=1-,
∴2Sn=2-,又2-=2-,∴2Sn-=-=.
∴当n=1,2时,2Sn<
2-;
当n≥3时,2Sn>
2-.
角度2 形如an=型
【例2】已知函数f(x)=xa的图像过点(4,2),令an=,n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn,则S2013=________.
[解析]由f(4)=2可得4a=2,解得a=,则f(x)=x.
∴an===-,
S2013=a1+a2+a3+…+a2013=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-1.
角度3 形如an=型;
【例3】(2013·
新课标卷Ⅰ)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
[解析]
(1)设{an}的公差为d,则Sn=na1+d.
由已知可得解得
故{an}的通项公式为an=2-n.
(2)由
(1)知
==,
从而数列的前n项和为
=.
变式1.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=nan-n(n-1)(n∈N*).
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析]
(1)∵Sn=nan-n(n-1),当n≥2时,
Sn-1=(n-1)·
an-1-(n-1)(n-2),
∴an=Sn-Sn-1=nan-n(n-1)-(n-1)an-1+(n-1)·
(n-2),
即an-an-1=2.
∴数列{an}是首项a1=1,公差d=2的等差数列,
故an=1+(n-1)·
2=2n-1,n∈N*.
(2)由
(1)知bn===-,
故Tn=b1+b2+…+bn=
+
+…+
变式2.在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足S=an.
(1)求Sn的表达式;
(2)设bn=,求{bn}的前n项和Tn.
[解析]
(1)∵S=an,
an=Sn-Sn-1(n≥2),
∴S=(Sn-Sn-1),
即2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,①
由题意Sn-1·
Sn≠0,
①式两边同除以Sn-1·
Sn,得-=2,
∴数列是首项为==1,公差为2的等差数列.
∴=1+2(n-1)=2n-1,∴Sn=.
(2)又bn==
=,
∴Tn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)]
==.
变式3.已知数列{an}前n项和为Sn,首项为a1,且,an,Sn成等差数列.
(2)数列{bn}满足bn=(log2a2n+1)×
(log2a2n+3),求证:
+++…+<
(1)解 ∵,an,Sn成等差数列,∴2an=Sn+,
当n=1时,2a1=S1+,∴a1=,
当n≥2时,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-,
两式相减得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,
∴=2,
∴数列{an}是首项为,公比为2的等比数列,
∴an=×
2n-1=2n-2.
(2)证明 bn=(log2a2n+1)×
(log2a2n+3)=log222n+1-2×
log222n+3-2=(2n-1)(2n+1),
=×
=(-),
+++…+=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)<
(n∈N*).
即+++…+<
变式4.(2014·
浙江协作体三模)在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…,对一切正整数n,点Pn在函数y=3x+的图像上,且Pn的横坐标构成以-为首项,-1为公差的等差数列{xn}.
(1)求点Pn的坐标;
(2)设抛物线列C1,C2,C3,…,Cn,…中的每一条的对称轴都垂直于x轴,抛物线Cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1).记与抛物线Cn相切于点Dn的直线的斜率为kn,求++…+.
[解析]
(1)∵xn=-+(n-1)×
(-1)=-n-,∴yn=3xn+=-3n-.∴Pn.
(2)∵Cn的对称轴垂直于x轴,且顶点为Pn,∴设Cn的方程为y=ax+2-.
把Dn(0,n2+1)代入上式,得a=1,∴Cn的方程为y=x2+(2n+3)x+n2+1.
∴kn=y′|x=0=2n+3,
∴==,
∴++…+==
=-.
角度4 形如an=型;
【例4】(2013·
江西高考)正项数列{an}的前n项和Sn满足:
S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.
(2)令bn=,数列{bn}的前n项和为Tn.证明:
对于任意的n∈N*,都有Tn<
[解析]
(1)由S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0,
得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0.
由于数列{an}是正项数列,所以Sn>
0,Sn=n2+n.
于是a1=S1=2,n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.
综上可知,数列{an}的通项公式an=2n.
(2)证明:
由于an=2n,
bn=,则bn==.
Tn=
=
【例4】已知等比数列
的前n项和为
,公比
成等差数列
的通项公式
(2)设
,求数列
的前n项和
。
解析:
(1)因为
成等差数列,所以
.化简得
.所以
.因为
.故
(2)
角度5 形如an=型
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3,若数列{Sn+1}是公比为4的等比数列.
(2)设bn=,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)由题意知Sn+1=(S1+1)·
4n-1=4n,
所以Sn=4n-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3·
4n-1,且a1=3满足上式,
所以数列{an}的通项公式为an=3·
4n-1.
(2)bn===
Tn=b1+b2+…+bn=
+·
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- 裂项相 消法 讲义 提高