第十章排列组合和概率(第15课)二项式定理(4)--2004-12-14Word文档格式.doc
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新授课
课时安排:
1课时
教具:
多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.二项式定理及其特例:
(1),
(2).
2.二项展开式的通项公式:
3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对的限制;
求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4 二项式系数表(杨辉三角)
展开式的二项式系数,当依次取…时,二项式系数表,表中每行两端都是,除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
5.二项式系数的性质:
展开式的二项式系数是,,,…,.可以看成以为自变量的函数,定义域是,例当时,其图象是个孤立的点(如图)
(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵).
直线是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值:
当是偶数时,中间一项取得最大值;
当是奇数时,中间两项,取得最大值.
(3)各二项式系数和:
∵,
令,则
二、讲解范例:
例1.设,
当时,求的值
解:
令得:
,
∴,
点评:
对于,令即可得各项系数的和的值;
令即,可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例2.求证:
.
证(法一)倒序相加:
设①
又∵ ②
∵,∴,
由①+②得:
∴,即.
(法二):
左边各组合数的通项为
∴.
例3.已知:
的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项
令,则展开式中各项系数和为,
又展开式中二项式系数和为,
∴,.
(1)∵,展开式共项,二项式系数最大的项为第三、四两项,
∴,,
(2)设展开式中第项系数最大,则,
∴,∴,
即展开式中第项系数最大,.
例4.已知,
求证:
当为偶数时,能被整除
分析:
由二项式定理的逆用化简,再把变形,化为含有因数的多项式
∵,
∴,∵为偶数,∴设(),
∴
(),
当=时,显然能被整除,
当时,()式能被整除,
所以,当为偶数时,能被整除
三、课堂练习:
1.展开式中的系数为,各项系数之和为.
2.多项式()的展开式中,的系数为
3.若二项式()的展开式中含有常数项,则的最小值为()
A.4B.5C.6D.8
4.某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标,那么该企业年产值的年平均增长率最低应()
A.低于5%B.在5%~6%之间
C.在6%~8%之间D.在8%以上
5.在的展开式中,奇数项之和为,偶数项之和为,则等于()
A.0B.C.D.
6.求和:
7.求证:
当且时,.
8.求的展开式中系数最大的项
答案:
1.45,02.0.提示:
3.B4.C5.D6.
7.(略)8.
四、小结:
二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系,涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题,只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破,对于与组合数有关的和的问题,赋值法是常用且重要的方法,同时注意二项式定理的逆用
五、课后作业:
1.已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项,而展开式的系数的最大的项等于,求的值
2.设
求:
①②.
①;
②
3.求值:
4.设,试求的展开式中:
(1)所有项的系数和;
(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
(1);
(2)所有偶次项的系数和为;
所有奇次项的系数和为
六、板书设计(略)
七、课后记:
新疆奎屯市第一高级中学第5页(共5页)
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- 第十 排列组合 概率 15 二项式 定理 2004 12 14