直观理解欧拉公式Word文档格式.docx
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更新:
在写作时,我认为可能有助于更清楚地解释这些想法:
理解cos(x)+i*sin(x)
等号过载。
有时我们的意思是“将一件事设置为另一件事”(例如x=3),而其他人的意思是“这两件事描述相同的概念”(例如
=i)。
欧拉公式是后者:
它给出了两个公式来解释如何做圆周运动。
如果我们使用三角函数检查圆周运动,并以x弧度移动:
●cos(x)是x坐标(水平距离)
●sin(x)是y坐标(垂直距离)
该声明
cos(x)+isin(x)
是一种将x和y坐标粉碎成单个数字的巧妙方法。
类比“复数是二维的”帮助我们将单个复数解释为圆上的位置。
当我们将x设置为π,我们在旅行π单位圆外的单位。
因为总周长是2π,老样子π已经过了一半,让我们处于-1。
Neato:
欧拉公式的右边(cos(x)+isin(x))用虚数描述圆周运动。
现在让我们弄清楚等式的e边是如何完成它的。
什么是想象增长?
将x和y坐标组合成一个复数很棘手,但很容易管理。
但是虚指数是什么意思呢?
让我们退后一步。
当我看见,我是这样想的:
●3是以ln(3)的速率即时增长(使用e)的最终结果。
换句话说
:
●
与增长到3相同,但随后增长了4倍。
所以
=
您可以将数字视为必须“成长”的东西,而不是单独看到数字。
实数,如3,给出的利率为ln(3)=1.1,这就是e在它进行时“收集”的,并且不断增长。
定期增长很简单:
它不断“推动”一个数字朝着它原来的方向前进。
3×
3向原始方向推动,使其大3倍(9)。
想象的增长不一样:
我们赚的“利息”方向不同!
它就像一个被绑在侧面的喷气发动机——我们不是向前推进,而是开始以90度角推进。
恒定正交(垂直)推动的巧妙之处在于它不会使您加速或减慢您的速度——它会旋转您!
取任何数字并乘以i不会改变它的大小,只会改变它指向的方向。
直觉上,我是这样看待连续的假想增长率的:
“当我成长时,不要在我已经前进的方向上推动我前进或后退。
而是旋转我。
”
但是我们不应该越来越快地旋转吗?
我也想知道。
常规增长复合我们原来的方向,所以我们去1、2、4、8、16,每次乘以2倍并保持实数。
我们可以考虑这个
,这意味着在“x”秒内以ln
(2)的速度立即增长。
嘿——如果我们的增长率是两倍快,2ln
(2)vsln
(2),它看起来就像增长了两倍(2xvsx)。
e的魔力让我们交换速率和时间;
ln
(2)处的2秒与2ln
(2)处的1秒增长相同。
现在,假设我们有一些纯虚构的增长率(Ri),它会旋转我们直到达到i,或向上90度。
如果我们将这个比率加倍到2Ri会发生什么,我们会脱离这个圆圈吗?
不!
具有2Ri的速率意味着我们只是以两倍的速度旋转,或者以R的速率旋转两倍的时间,但我们仍停留在圆圈上。
旋转两倍的时间意味着我们现在面对180度。
一旦我们意识到某种指数增长率可以将我们从1带到i,那么增加该增长率只会使我们旋转得更多。
我们永远也逃不出这个圈子。
然而,如果我们的增长率是复数(a+bivsRi),那么实部(a)会像往常一样增长,而虚部(bi)会旋转我们。
但我们不要幻想:
欧拉公式,
是关于让我们留在圈子里的纯粹想象的增长(稍后会详细介绍)。
快速健全性检查
在写作的过程中,我不得不为自己澄清几个问题:
为什么使用
,我们不是在旋转数字1吗?
e表示从1开始并在1个单位时间内以100%的利率持续增长的过程。
当我们写e时,我们用一个数字来捕捉整个过程——e代表了持续增长的所有完整细节。
所以真的,
是说“从1开始,并在x秒内以100%的速度持续增长”,然后像我们想要的那样从1开始。
但是作为指数的i是做什么的?
对于像这样的常规指数
我们问:
●什么是隐含增长率?
我们从1增长到3(指数的底数)。
●我们如何改变这种增长率?
我们将其缩放4倍(指数的幂)。
我们可以将我们的增长转换为“e”格式:
我们的瞬时增长率是ln(3),我们将其增加到ln(3)*4。
同样,指数(4)的幂只是缩放了我们的增长率。
当最高指数为i时(如
),我们只需将隐含增长率乘以i。
因此,我们不是以普通的ln(3)增长,而是以ln(3)*i增长。
指数的顶部修改了底部的隐含增长率。
详细信息
让我们仔细看看。
记住e的这个定义:
那代表我们在每个微观时期赚取的部分利息。
我们假设实际维度上的利率是100%——但是如果它在虚方向上是100%呢?
现在,我们新形成的兴趣增加了我们在90度方向上的兴趣。
令人惊讶的是,这并没有改变我们的长度——这是一个棘手的概念,因为它似乎构成了一个斜边必须更大的三角形。
我们正在处理一个限制,额外的距离在我们指定的误差范围内。
这是我想改天解决的问题,但请相信我的话:
持续的垂直增长会让你旋转。
这是正弦和余弦的核心,你的变化垂直于你当前的位置,你在一个圆圈中移动。
我们以无限小的增量应用i个增长单位,每个单位都以90度角推动我们。
没有“越来越快”的旋转——相反,我们沿着圆周爬行了|i|的距离。
=1(i的大小)。
嘿-绕圆爬行的距离是以弧度为单位的角度!
我们找到了另一种描述圆周运动的方法!
获得圆周运动:
通过以90度角(又名假想增长率)旋转来不断变化。
所以,欧拉的公式是说“指数的,想象的增长描绘出一个圆圈”。
这条路径与在虚平面中使用正弦和余弦在圆中移动是一样的。
在这种情况下,“指数”这个词令人困惑,因为我们以恒定的速度绕圆运动。
在大多数讨论中,假设指数增长具有累积的复合效应。
一些例子
你不会真的相信我吧?
这里有几个例子,以及如何直观地思考它们。
例子:
x在哪里?
啊,它只是1。
直观地,不用计算器,我们知道这意味着“沿单位圆走1弧度”。
在我的脑海中,我看到“e”试图在同一个方向上以100%的速度增长1,但我一直在移动球并迫使“1”沿着圆的边缘增长:
=cos
(1)+isin
(1)=.5403+.8415i
不是最漂亮的数字,但确实如此。
请记住在输入时将计算器置于弧度模式。
这很棘手——它不是我们的标准格式。
但要记住,
我们希望在周期结束时初始增长3倍,或ln(3)的瞬时速率。
但是,i出现并将ln(3)的比率更改为"
i*ln(3)"
我们认为我们将以ln(3)的常规速率进行转换,比100%连续增长快一点,因为e约为2.718。
但是哦,不,我让我们转了一圈:
现在我们正在以想象的速度转变,这意味着我们只是在旋转。
如果我是一个像4这样的普通数字,它会让我们的增长速度提高4倍。
现在我们以ln(3)的速度增长,但横向增长。
我们应该期待单位圆上的复数——增长率不会增加我们的规模。
求解方程:
=
=cos(ln(3))+isin(ln(3))=.4548+.8906i
所以,而不是在圆圈周围结束“1”个单位(比如)我们最终得到ln(3)个单位。
几个月前,这会让我泪流满面。
今天不行!
让我们分解一下转换:
=1
我们从1开始,想改变它。
喜欢解决
,以i为基数表示的瞬时增长率是多少?
嗯。
通常我们会做ln(x)来获得在1个单位时间结束时达到x所需的增长率。
但是对于虚率?
我们需要解决这个问题。
为了从1开始并增长到i,我们需要从一开始就开始旋转。
多快?
好吧,我们需要在1个单位时间内获得90度(pi/2弧度)。
所以我们的汇率是.请记住,我们的速率必须是虚构的,因为我们是在旋转,而不是在增长!
朴素的老pi/2约为1.57并导致正常增长。
这应该是有道理的:
要在1个单位结束时将1.0变为i,我们应该旋转pi/2在那段时间内的弧度(90度)。
所以,为了得到“i”,我们可以使用
.
呼。
这将i描述为基础。
指数呢?
好吧,另一个我告诉我们改变我们的费率——是的,我们花了很长时间才弄清楚这个费率!
所以,而不是以速度旋转,这就是i的基数的意思,我们将比率转换为:
i取消并再次使增长率变为真实!
我们轮换了利率并将自己推向负数。
负增长率意味着我们正在萎缩——我们应该期待使事情变小。
它确实:
多田!
(在XX上搜索“i^i”以使用其计算器)
喘口气:
您可以直观地弄清楚虚底和虚指数应该如何表现。
哇。
作为奖励,你想出了ln(i)--使
变成i,让e旋转
弧度。
(i^i)^i
双虚指数?
如果你坚持。
首先,我们知道括号内的增长率是多少:
我们得到-pi/2的负(收缩)增长率。
现在我们再次通过i修改该速率:
现在我们有了一个负轮换!
我们以1倍的速度绕圈
每单位时间。
我们去多久?
嗯,在这个指数链的最顶端有一个隐含的“1”时间单位;
隐含的默认值是使用1个时间单位(就像
)。
1个时间单位给我们一个旋转-π/2弧度(-90度)或-i!
而且,只是为了踢球,如果我们把这个疯狂的结果平方:
它“只是”旋转了两倍:
2是一个常规数字,因此在单位时间内将我们的旋转速率翻倍至-180度。
或者,您可以将其视为连续两次应用-90度旋转。
乍一看,这些是非常奇怪的指数。
但是通过我们的类比,我们可以从容应对。
复杂的增长
我们可以同时拥有实数和虚数的增长:
实数部分让我们放大,而虚数部分让我们旋转:
像(a+bi)这样的复杂增长率是真实增长率和虚构增长率的混合。
实部a表示“以100%的速度增长a秒”,虚部b表示“旋转b秒”。
请记住,旋转不会获得复合的好处,因为您一直在不同的方向“推动”——旋转会线性增加。
考虑到这一点,我们可以使用(a+bi)表示任何大小圆上的任何点!
半径为角度由下式确定
.这就像将数字放入expand-o-tron两个循环:
一次将其增长到正确的大小(a秒),另一次将其旋转到正确的角度(b秒)。
或者,您可以先旋转它,然后再成长!
假设我们想知道达到6+8i的增长量。
这实际上是在求一个虚数的自然对数:
我们如何增加e以获得(6+8i)?
●半径:
我们需要多大的圆?
嗯,幅度是
.这意味着我们需要增长ln(10)=2.3秒才能达到这个数量。
●旋转量:
那个点的角度是多少?
我们可以使用arctan来计算:
atan(8/6)=53度=.93弧度。
●合并结果:
ln(6+8i)=2.3+.93i
也就是说,如果我们使用,我们可以到达随机点(6+8i)
.
为什么这很有用?
欧拉公式为我们提供了另一种描述圆周运动的方法。
但是我们已经可以用正弦和余弦来做到这一点——有什么特别的?
这都是关于视角的。
正弦和余弦根据网格描述运动,绘制出水平和垂直坐标。
欧拉公式使用极坐标——你的角度和距离是多少?
同样,它有两种描述运动的方式:
●网格系统:
向东走3个单位,向北走4个单位
●极坐标:
以53.13度的角度走5个单位
根据问题,极坐标或直角坐标更有用。
欧拉公式让我们可以在两者之间进行转换,以使用最适合这项工作的工具。
还有,因为可以转换为正弦和余弦,我们可以将trig中的公式重写为e的变体,这非常方便(无需记住sin(a+b),您可以推导出它-改天再说)。
每个数字,无论是实数还是复数,都是e的变体,这很美妙。
但是实用性,灵活性:
最重要的结果是认识到,通过正确的类比,令人困惑的方程可以变得直观。
不要让像欧拉公式这样美丽的方程仍然是一个魔法——建立在你知道的类比的基础上,看看方程中的洞察力。
快乐数学。
附录
截屏很有趣,绝对欢迎反馈。
我认为它有助于想法流行,浏览这篇文章帮助我找到直觉中的差距。
参考:
●布赖恩·
斯莱辛斯基(BrianSlesinsky)对欧拉公式进行了简洁的介绍
●VisualComplexAnalysis对Euler公式进行了很好的讨论——请参见第10页。
●我做了一个关于数学和类比的演讲,它更直观地解释了欧拉的恒等式:
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