2 第2节 振动的描述Word格式文档下载.docx
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(3)简谐运动图象的特点:
一条正弦(或余弦)曲线,如图所示.
2.简谐运动的公式
(1)表达式:
x=Asinωt=Asin
t或x=Asin(ωt+φ0).
(2)公式中各符号的含义
(3)圆频率ω与周期(或频率)的关系:
ω=
=2πf.
2.
(1)弹簧振子的x-t图象的曲线就是它的运动轨迹.( )
(2)弹簧振子的位移是总以平衡位置为起点的位移.( )
(3)图象中弹簧振子的位移-5cm小于1cm.( )
(4)简谐运动的表达式不能用余弦函数表示.( )
(2)√ (3)×
(4)×
对振动的理解
1.全振动的判断方法
(1)振动特征:
一个完整的振动过程.
(2)物理量特征:
位移(x)、加速度(a)、速度(v)第一次同时与初始状态相同.
(3)时间特征:
历时一个周期.
(4)路程特征:
振幅的4倍.
(5)相位特征:
增加2π.
2.振幅与振动中几个常见量的关系
(1)振幅与位移的关系:
振动中的位移是矢量,振幅是标量,在数值上,振幅与某一时刻位移的大小可能相等,但同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化.
(2)振幅与路程的关系
振动中的路程是标量,是随时间不断增大的.其中常用的定量关系是:
①一个周期内的路程为振幅的4倍;
②半个周期内的路程为振幅的2倍;
③若从特殊位置开始计时,如平衡位置、最大位移处,
周期内的路程等于振幅;
④若从一般位置开始计时,
周期内路程与振幅之间没有确定关系,路程可能大于、等于或小于振幅.
(3)振幅与周期(或频率)的关系:
在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关.
(4)振幅和振动系统的能量关系:
对一个确定的振动系统来说,系统的能量仅由振幅决定,振幅越大,振动系统的能量就越大.
(1)振子以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,也是一次全振动.
(2)振动物体的周期(或频率)是固有的,而振幅不是固有的,因为振幅的大小,除跟弹簧振子有关外还跟使它起振时外力对振子做功的多少有关.
弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动,B、C相距20cm,某时刻振子处于B点,经过0.5s,振子首次到达C点,求:
(1)振子的振幅;
(2)振子的周期和频率;
(3)振子在5s内通过的路程及5s末位移的大小.
[思路点拨] 对弹簧振子做简谐运动而言,离平衡位置最远的两个点关于平衡位置对称,其距离为2A.一个全振动的时间叫做周期,周期和频率互为倒数关系.简谐运动的位移是振子离开平衡位置的距离.要注意各物理量之间的区别与联系.
[解析]
(1)振幅设为A,则有2A=BC=20cm,所以A=10cm.
(2)从B首次到C的时间为周期的一半,
因此T=2t1=1s;
再根据周期和频率的关系可得f=
=1Hz.
(3)振子一个周期通过的路程为4A=40cm,即一个周期运动的路程为40cm,故振子在5s内通过的路程为
s=
×
4A=5×
40cm=200cm,
5s的时间为5个周期,又回到原始点B,故5s末位移的大小为10cm.
[答案]
(1)10cm
(2)1s 1Hz (3)200cm 10cm
振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅;
在半个周期内的路程一定为两个振幅;
在
个周期内的路程可能等于一个振幅,可能大于一个振幅,还可能小于一个振幅.只有当振动物体的初始位置在平衡位置或最大位移处时,
个周期内的路程才等于一个振幅.
如图所示,弹簧振子在BC间做简谐运动,O点为平衡位置,BO=OC=5cm,若振子从B到C的运动时间是1s,则下列说法正确的是( )
A.振子从B经O到C完成一次全振动
B.振动周期是1s,振幅是10cm
C.经过两次全振动,振子通过的路程是20cm
D.从B开始经过3s,振子通过的路程是30cm
解析:
选D.振子从B→O→C仅完成了半次全振动,所以周期T=2×
1s=2s,振幅A=BO=5cm.振子在一次全振动中通过的路程为4A=20cm,所以两次全振动中通过的路程为40cm,3s的时间为1.5T,所以振子通过的路程为30cm.
简谐运动的理解与应用
1.图象的建立:
用横坐标表示振动物体运动的时间t,纵坐标表示振动物体运动过程中相对平衡位置的位移x,建立坐标系,如图甲所示.
甲
2.图象意义:
反映了振动物体相对平衡位置的位移x随时间t变化的规律.
3.位移:
通常以平衡位置为位移起点.所以位移的方向总是背离平衡位置.如图甲所示,在x-t图象中,某时刻质点位置在t轴上方,表示位移为正(如图中t1、t2时刻),某时刻质点位置在t轴下方,表示位移为负(如图中t3、t4时刻).
4.图象的用途
(1)确定振动物体在任一时刻的位移.如图乙中,对应t1、t2时刻的位移分别为x1=+7cm,x2=-5cm.
(2)确定振动的振幅.图中最大位移的值就是振幅,如图乙表示振动的振幅是10cm.
(3)确定振动的周期和频率.振动图象上一个完整的正弦(或余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期.
乙
由图乙可知,OD、AE、BF的间隔都等于振动周期,T=0.2s,频率f=
=5Hz.
两个相邻的最大值之间是一个周期,如A、E之间的时间是一个周期.
(4)确定各时刻质点的振动方向,例如在图乙中的t1时刻,质点正远离平衡位置向位移的正方向运动;
在t3时刻,质点正向着平衡位置运动.
(5)比较不同时刻质点加速度的大小和方向.例如在图乙中t1时刻质点的位移x1为正,则加速度a1为负,t2时刻x2为负,则加速度a2为正,又因为|x1|>
|x2|,所以|a1|>
|a2|.
(多选)弹簧振子做简谐运动的图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.在第5秒末,振子的速度最大且沿+x方向
B.在第5秒末,振子的位移最大且沿+x方向
C.在第5秒末,振子的加速度最大且沿-x方向
D.在0到5秒内,振子通过的路程为8cm
[解析] 由题图可知第5秒末时,振子处于正的最大位移处,此时有负方向的最大加速度,速度为零,故B、C正确,A错误;
在0到5s内,振子先从平衡位置到正的最大位移,再经平衡位置到负的最大位移,最后从负的最大位移经平衡位置到正的最大位移整个过程路程为10cm,故D错误.
[答案] BC
典型问题——简谐运动的多解性
1.周期性造成的多解问题:
简谐运动是一种周期性的运动,其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化.因此,物体经过同一位置可以对应不同的时刻,物体的位移、加速度相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这样就形成简谐运动的多解问题.
2.对称性造成的多解问题:
由于简谐运动具有对称性,因此当物体通过两个对称位置时,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这种也形成多解问题.
(多选)一弹簧振子做简谐运动,O为平衡位置,当它经过O点时开始计时,经过0.3s,第一次到达M点,再经过0.2s第二次到达M点,则弹簧振子的周期为( )
A.0.53s B.0.14s
C.1.6sD.3s
[思路点拨] 振子通过O点的速度方向有两种可能,一种是从O指向M,另一种是背离M.再利用简谐运动的对称性找出周期与运动时间的关系.
[解析] 如图甲所示,O为平衡位置,OB(OC)代表振幅,振子从O→C所需时间为
.因为简谐运动具有对称性,所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等,故
=0.3s+
=0.4s,解得T=1.6s.
如图乙所示,若振子一开始从平衡位置向B运动,设M′与M关于O点对称,则振子从M′经B到M′所用的时间与振子从M经C到M所需时间相等,即0.2s.振子从O到M′和从M′到O及从O到M所需时间相等,为
=
s,故周期为T=
s=
s≈0.53s.
[答案] AC
求解这类问题,要认真分析题意,画出振子运动的过程示意图,防止漏解.也可画出物体的x-t图象,根据图象分析求解.
一水平弹簧振子做简谐运动,周期为T,则( )
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相等、方向相反,则Δt一定等于
的整数倍
C.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子振动的加速度一定相等
D.若Δt=
,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等
选C.本题可以结合弹簧振子的运动示意图和振动图象进行分析.如图所示,图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同,显然Δt不等于T的整数倍,故选项A是错误的;
图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反,Δt<
,故选项B是错误的;
在相隔一个周期T的两个时刻,振子只能位于同一位置,其位移相同,合外力相同,加速度必相等,选项C是正确的;
相隔
的两个时刻,振子的位移大小相等,方向相反,其位置关于平衡位置对称,弹簧分别处于压缩和拉伸状态,弹簧的长度并不相等,选项D是错误的.
[随堂检测]
1.如图所示,弹簧振子以O为平衡位置在B、C间做简谐运动,则( )
A.从B→O→C为一次全振动
B.从O→B→O→C为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.从D→C→O→B→O为一次全振动
选C.由全振动的定义可得,选项C正确.
2.某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=10sin
cm,则下列关于质点运动的说法中正确的是( )
A.质点做简谐运动的振幅为5cm
B.质点做简谐运动的周期为4s
C.在t=4s时质点的速度最大
D.在t=4s时质点的位移最大
选C.由x=10sin
cm可知,A=10cm,ω=
rad/s,得T=8s.t=4s时,x=0,说明质点在平衡位置,此时质点的速度最大、位移为0,所以只有选项C正确.
3.弹簧振子在AOB之间做简谐运动,O为平衡位置,测得A、B之间的距离为8cm,完成30次全振动所用时间为60s,则( )
A.振子的振动周期是2s,振幅是8cm
B.振子的振动频率是2Hz
C.振子完成一次全振动通过的路程是16cm
D.从振子通过O点时开始计时,3s内通过的路程为36cm
选C.由题意知,振子做简谐运动的振幅A=
cm=4cm,周期T=
s=2s,选项A错误;
振动的频率f=
Hz=0.5Hz,选项B错误;
完成一次全振动通过的路程s=4A=4×
4cm=16cm,选项C正确;
3s内通过的路程s′=6A=6×
4cm=24cm,选项D错误.
4.(多选)如图所示是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象(x-t图).由图对该振动系统推断正确的是( )
A.在t1和t3时刻具有相同的速度
B.在t3和t4时刻具有相同的速度
C.在t4和t6时刻具有相同的位移
D.在t1和t6时刻具有相同的速度
选BCD.t1与t3两时刻振子经同一位置向相反方向运动,速度不相同,A错误;
t3与t4两时刻振子经过关于平衡位置的对称点,速度大小相等、方向相同,B正确;
t4与t6两时刻振子的位移都是-2cm,C正确;
t1和t6两时刻振子经过对称点向正方向运动,速度相同,D正确.
[课时作业]
一、单项选择题
1.质点做简谐运动,从质点经过某一位置时开始计时,下列说法正确的是( )
A.当质点再次经过此位置时,经过的时间为一个周期
B.当质点的速度再次与零时刻的速度相同时,经过的时间为一个周期
C.当质点的加速度再次与零时刻的加速度相同时,经过的时间为一个周期
D.当质点经过的路程为振幅的2倍时,经过的时间为半个周期
选D.质点连续两次经过同一位置经过的时间一般不是一个周期,选项A错误;
质点同向经过关于平衡位置对称的两点速度相同,但经过的时间不为一个周期,选项B错误;
质点连续两次经过同一位置时,加速度相同,但经历的时间一般不等于一个周期,选项C错误;
质点在任何半周期内通过的路程一定是振幅的2倍,选项D正确.
2.一个物体做简谐运动时,周期是T,振幅是A,那么物体( )
A.在任意
内通过的路程一定等于A
B.在任意
内通过的路程一定等于2A
C.在任意
内通过的路程一定等于3A
D.在任意T内通过的路程一定等于2A
选B.物体做简谐运动,是变加速直线运动,在任意
内通过的路程不一定等于A,故A错误;
物体做简谐运动,在任意
内通过的路程一定等于2A,故B正确;
内通过的路程不一定等于3A,故C错误;
物体做简谐运动,在一个周期内完成一次全振动,位移为零,路程为4A,故D错误.
3.一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10cm的A、B两点,历时0.5s(如图所示).过B点后再经过t=0.5s,质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,则质点振动的周期是( )
A.0.5s B.1.0s
C.2.0sD.4.0s
选C.根据题意,由振动的对称性可知:
A、B的中点(设为O)为平衡位置,A、B两点对称分布于O点两侧,如图所示.质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB=
0.5s=0.25s.质点从B向右到达右方最大位移处(设为D)的时间tBD=
0.5s=0.25s.所以,质点从O到D的时间tOD=
T=0.25s+0.25s=0.5s.所以T=2.0s.
4.如图所示,将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx,释放后振子在A、B间振动,且AB=20cm,振子由A到B的时间为0.1s,则下列说法中正确的是( )
A.振子在A、B两点时,弹簧弹力大小相等
B.振子由A到O的时间比振子由O到B的时间短
C.振子完成一次全振动通过的路程为20cm
D.若使振子在AB=10cm间振动,则振子由A到B的时间仍为0.1s
选D.在A、B两点,弹力大小并不相等,但回复力相等,故A错.据对称性,振子从A到O和从O到B时间相同,B错.一次全振动的路程为4A=40cm,C错.D选项中振幅、周期不变,仍为0.2s,A到B仍用时0.1s,D对.
5.如图甲所示,水平的光滑杆上有一弹簧振子,振子以O点为平衡位置,在a、b两点之间做简谐运动,其振动图象如图乙所示.由振动图象可以得知( )
A.振子的振动周期等于t1
B.在t=0时刻,振子的位置在a点
C.在t=t1时刻,振子的速度为零
D.从t1到t2,振子正从O点向b点运动
选D.由题图可直接读出其周期T=2t1,选项A错误;
t=0时刻振子在O点,选项B错误;
在t=t1时刻,振子的速度最大,选项C错误.从t1到t2,振子正从平衡位置向正最大位移处运动,即从O点向b点运动,选项D正确.
6.某质点做简谐运动,其位移随时间变化的关系式为x=8·
sin
(cm),则( )
A.质点的振幅为16cm
B.质点的振动周期为2s
C.在0~1s内,质点的速度逐渐减小
D.在1~2s内,质点的动能逐渐减小
选C.根据简谐运动的表达式x=Asin
可知振幅A=8cm,周期T=
=4s,选项A、B错误;
根据简谐运动的表达式可画出质点的振动图象,如图所示,由图可知,在0~1s内,质点由平衡位置向正的最大位移处运动,速度逐渐减小,在1~2s内,质点由正的最大位移向平衡位置运动,速度逐渐增大,动能逐渐增大,选项C正确,D错误.
二、多项选择题
7.下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是( )
A.振幅是矢量,方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加,周期必然增加,而频率减小
D.做简谐运动的物体,其频率固定,与振幅无关
选BD.振幅A是标量,A错误;
周期与频率互为倒数,即T·
f=1,B正确;
简谐运动的周期与振幅没有关系,振子周期的长短由系统本身决定,这就是固有周期,C错误,D正确.
8.有两个振动,其表达式分别是:
x1=3sin
cm,x2=6sin
cm,下列说法正确的是( )
A.它们的振幅相同B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定D.它们的振动步调一致
选BC.由两振动的表达式可知,它们的振幅分别为3cm和6cm,振幅不同,A错误;
它们的周期T1=
s=0.02s=T2,B正确;
它们的相位差Δφ=φ2-φ1=
-
=-
为一常数,故C正确;
振动步调不一致,D错误.
9.一质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系图象如图所示,由图可知( )
A.质点振动的频率是4Hz
B.质点振动的振幅是2cm
C.t=3s时,质点的速度最大
D.t=3s时,质点的振幅为零
选BC.由题图可以直接看出振幅为2cm,周期为4s,所以频率为0.25Hz,所以选项A错误,B正确.t=3s时,质点经过平衡位置,速度最大,所以选项C正确.振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移大小,与质点的位移有着本质的区别,t=3s时,质点的位移为零,但振幅仍为2cm,所以选项D错误.
10.如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5πt)m.t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;
t=0.6s时,小球恰好与物块处于同一高度.取重力加速度的大小g=10m/s2.以下判断正确的是( )
A.h=1.7m
B.简谐运动的周期是0.8s
C.0.6s内物块运动的路程为0.2m
D.t=0.4s时,物块与小球运动方向相反
选AB.由物块简谐运动的表达式y=0.1·
sin(2.5πt)m知,ω=2.5πrad/s,T=
s=0.8s,选项B正确;
t=0.6s时,y=-0.1m,对小球:
h+|y|=
gt2,解得h=1.7m,选项A正确;
物块0.6s内路程为0.3m,t=0.4s时,物块经过平衡位置向下运动,与小球运动方向相同.故选项C、D错误.
三、非选择题
11.如图所示是弹簧振子的振动图象,请回答下列问题.
(1)振子的振幅、周期、频率分别为多少;
(2)振子在5s内通过的路程;
(3)根据振动图象写出该简谐运动的表达式.
(1)由图象可知,振幅A=2cm;
周期T=0.8s;
频率f=
=1.25Hz.
(2)在5s内通过的路程
4A=
4×
2cm=50cm.
(3)由图象可知,振子的初相为0,ω=2πf=2.5πrad/s,表达式为x=2sin(2.5πt)cm.
答案:
见解析
12.A、B两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况.
(1)A开始观察时,振子正好在平衡位置并向下运动,试在图甲中画出A观察到的弹簧振子的振动图象.已知经过1s后,振子第一次回到平衡位置,振子振幅为5cm(设平衡位置上方为正方向,时间轴上每格代表0.5s).
(2)B在A观察3.5s后,开始观察并记录时间,试在图乙中画出B观察到的弹簧振子的振动图象.
(1)由题意知,振子的振动周期T=2s,振幅A=5cm.根据正方向的规定,A观察时,振子从平衡位置向-x方向运动,经t=0.5s,达到负向最大位移.画出的A观察到的振子的振动图象如图A所示.
(2)因为t=3.5s=1
T,根据振动的重复性,这时振子的状态跟经过时间t′=
T的状态相同,所以B开始观察时,振子正好处于正向最大位移处.画出的B观察到的振子的振动图象如图B所示.
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