重点高中自主招生数学模拟试题含答案1.docx
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重点高中自主招生数学模拟试题含答案1
2012年重点中学自主招生数学模拟试题一
答题时注意:
1、试卷满分150分;考试时间:
120分钟.
2、试卷共三大题,计16道题。
考试结束后,将本卷及演算的草稿纸一并上交。
一、选择题(共5小题,每题6分,共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分)
2
1、如果关于x的方程x
2
axa30至少有一个正根,则实数a的取值范围是(
二、填空题:
(共5小题,每题6分,共30分)
6、已知:
实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式:
⑴asinbcosc0;
数组(p,q,
o
三、解答题
(共6题,共90分)
⑵acosbsind0(其中为任意锐角),则a、b、c、d之间的关系式是:
11、(本题满分12分)
赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯
仲,且在整个年级中都遥遥领先,高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学.后
来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告•报告后三个人还出了一道数学题:
有一种密
码把英文按字母分解,英文中的a,b,c,LL,z26个字母(不论大小写)依次用
1,2,3,L,26这26个自然数表示,并给出如下一个变换公式:
[x]1(其中x是不超过26的正奇数)
y21;已知对于任意的实数x,记号[x]表示
[亍]13(其中x是不超过26的正偶数)
81
不超过x的最大整数;将英文字母转化成密码,如8[]1317,即h变成q,
2
11
再如11[]16,即k变成f。
他们给出下列一组密码:
etwcvcjwejncjw
2
wcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。
现在就请你把它翻译出来,并简单地
写出翻译过程。
12、(本题满分15分)
22
如果有理数m可以表示成2x6xy5y(其中x、y是任意有理数)的形式,我们就称m为“世博数”。
⑴个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗?
为什么?
⑵证明:
两个“世博数”a、b(b0)之商也是“世博数”。
13、(本题满分15分)
如图,在四边形ABCD中,已知△ABC、△BCD>△ACD的面积之比是3:
1:
4,点E在边AD上,CE交BD于G,设-BGk。
GDEA
⑴求37k220的值;
S1、S2、S3、S4、
、Sn。
①当n2010时,求S1S2S3S4S5LS2010的值;
2试探究:
当n取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?
为什么?
15、(本题满分16分)
ABC;
有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计):
①两直角边分别为3、4的直角三角形
2腰长为4、顶角为36的等腰三角形JKL;
3腰长为5、顶角为120的等腰三角形OMN;
4两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS;
5长为4且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。
“不可操
它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环。
我们规定:
如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作”;否则,便称为
作”。
⑴证明:
第④种塑料板“可操作”;
⑵求:
从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
16、(本题满分16分)
定义:
和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示,点D。
已知I是厶ABC的BC边上的旁切圆,E、F分别是切点,AD
IC于
2012年重点中学自主招生数学模拟试题一
参考答案与评分标准
一、选择题(共5小题,每题6分,共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内•不填、多填或错填均不得分)
22
1、如果关于x的方程xaxa30至少有一个正根,贝U实数a的取值范围是(C)
A、2a2B、3a2C、3a2D、3a2
2、如图,已知:
点E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点,BD、DF分别
交CE于点G、H,若正方形ABCD的面积是240,则四边形BFHG的面积等
于(B)
A、26B、28
C、24D、303、设X、y、Z是两两不等的实数,且满足下列等式:
6,x3(yx)36.x3(zx)36yx6xz,则代数式
x3y3z33xyz的值是(A)
4、如图,四边形
BDCE内接于以
BC为直径的OA,已知
BC10,cos
BCD
3
5,
BCE
30,则线段DE的长
疋
-(
D
)
A、、89B、
7、3
C、
4+3.3
D、3+4i3
多一人的规律排列,则当是(
B
C、3D、条件不足,无法计算
5、某学校共有3125名学生,一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵,且这n排学生数按每排都比前一排
n取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数
B)
A、296
二、填空题:
B、221C、225D、641
(共5小题,母题6分,共30分。
不设中间分)
6、已知:
实常数a、b、c、d同时满足下列两个等式:
⑴asinbcosc0;
⑵acosbsind0(其中为任意锐角),则a、b、c、d之间的关系式是:
2.22.2
—abcd_。
7、函数yx12x23x34x4的最小值是8。
8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无
摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图),则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆
1311
xxo
66
10、设p、q、r为素数,则方程p3p2q2r2的所有可能的解p、q、r组成的三元
数组(p,q,r)是(3,3,3)o
三、解答题(共6题,共90分。
学生若有其它解法,也按标准给分)
11、(本题满分12分)
赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是非常要好的朋友,三个人的学习成绩不相伯仲,且在整个年级中都遥遥领先,高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学,后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。
报告后三个人还出了一道数学题:
有一种密码把英文按字母分解,英文中的a,b,c,LL,z26个字母(不论大小写)依次用
1,2,3,L,26这26个自然数表示,并给出如下一个变换公式:
[X]1(其中x是不超过26的正奇数)
y21;已知对于任意的实数x,记号[x]表示
[亍]13(其中x是不超过26的正偶数)
81
不超过x的最大整数。
将英文字母转化成密码,如8[]1317,即h变成q,
2
11
再如11[]16,即k变成f。
他们给出下列一组密码:
etwcvcjwejncjw
2
wcabqcv,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。
现在就请你把它翻译出来,并简单地
写出翻译过程。
略解:
由题意,密码etwcvcjw对应的英语单词是interest,ej对应的英语单词是is,ncjw对
应的英语单词是best,wcabqcv对应的英语单词是teacher.(9分)
所以,翻译出来的一句英语是Interestisbestteacher,意思是"兴趣是最好的老师”。
(3分)
12、(本题满分15分)
如果有理数m可以表示成2x26xy5y2(其中x、y是任意有理数)的形式,我们就称m为“世博数”。
⑴个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗?
为什么?
⑵证明:
两个“世博数”a、b(b0)之商也是“世博数”。
略解:
m2x26xy5y2=(x2y)2(xy)2,其中x、y是有理数,
"世博数”mp2q2(其中
p、q是任意有理数)
只须p
x2y,qx
即可。
(3分)
对于任意的两个两个“世博数”
a、b,不妨设a
k2,b
r2s2
其中
j、
k、r、s为任意给定的有理数,
(3分)
则ab(j2
222
k)(rs)
(jr
ks)2
(jskr)2是
“世博数”
(3分)
■2-2
ajk
22
brs
(j2k2)(r2
(r2s2)2^(3分)
(jrks)2
(jskr)2
22、2
(rs)
=d
rs
jskr_)2也是“世博数”
s
(r2
(3分)
13、(本题满分如图,在四边形
E在边AD上,
15分)
ABCD中,已知△ABC、
BG
CE交BD于G,设-
GD
△BCD、
DE
EA
△ACD的面积之比是3:
占
八、、
⑴求37k220的值;
⑵若点H分线段BE成堂2的两段,且
HE
式表示△ABD三边长的平方和。
AH2BH2DH2p2,试用含
p的代数
略解:
⑴不妨设厶ABC、△BCD、△ACD的面积分别为3、1、4,
BGDE
GDEA
•••△ABD的面积是6,ABDE的面积是
6k
14k6k
△CDG的面积是亠,△CDE的面积为竺,△DEG的面积是6k2
k1k1(k1)2
(3分)由此可得:
丄+坐^=竺,即4k23k10,•••k1(3分)
k1(k1)2k1
•-37k220=3(1分)
BH
⑵由⑴知:
E、G分别为AD、BD的中点,又•••点H分线段BE成空2的两段,
HE
•••点H是厶ABD的重心。
(2分)
而当延长BE到K,使得BEEK,连结AK、DK后便得到平行四边形ABDK,再利用“平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和”就可得:
2222
2(ABBD)AD4BE,类似地有
2(BD2AD2)AB24DM2
n等分,分点从左到右依次为
A.
A6、
An1,分别过这n1个点作
A2、
A5、
2(AB2AD2)BD24AG2
其中点M为边AB的中点。
•3(AB2BD2AD2)4(BE2DM2AG2)。
(3分)•••AH
22
•-BEDM
2AG,BH
2BE,DH
—DM,AH
3
BD2AD2
2222
BHDHp,
2
3po(3分)
3
AG2
9
;P
3
2.
AB2
14、(本题满分16分)
观察下列各个等式:
12
1,12
22
5,12
22
3214,1222
324230,o
⑴你能从中推导出计算
1222
32
42
n2的公式吗?
请写出你的推导过程;
⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题:
已知:
如图,抛物线yx22x3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B,将线段OA
x轴的垂线依次交抛物线于点
B1、B?
、B3、B4、B5、Be、、Bn1,设△OBA1、
△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、•••、△An1Bn1A的面积依次为
1当n2010时,求SS2S3S4S5LS2010的值;
2试探究:
当n取到无穷无尽时,题中所有三角形的面积和将是什么值?
为什么?
略解:
⑴n3(n1)33n23n1,二当式中的n从1、2、3、…依次取到n时,就
可得下列
n个等式:
(2分)
13
03
331,2313
322
321,33
233
32331,,
3
(n
1)33n23n
1,将这
.人冷J、厶Jf匚一
n
n个寺式的左右两边分别相加得:
3n
3
(122232
n2)
3(123
n)
n(2分)
即1
22
23242
3
2nn=
3(123
n)
nn(n1)(2n1)。
(3分)
36
⑵先求得A、B两点的坐标分别为(3,0)、(0,3),二点A|、A2、A3'A4、A5、A6、、An1
的横坐标分别为
369
—、—、—、
3(n
1)
,点B[、B2、B3、B4、B5、B6^、Bn1的纵坐
nnn
n
3
标分别为
(一)2
3
2(—)3、
62(—)
2&3、、円咛23(n1)3。
n
n
n
nnn
(3分)•••
9(2n2n1)999
2—2
4n24n4n
99
•••当n取到无穷无尽时,上式的值等于9,即所有三角形的面积和等于-。
(3分)
22
15、(本题满分16分)
有如图所示的五种塑料薄板(厚度不计):
①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC;
2腰长为4、顶角为36的等腰三角形JKL;
3腰长为5、顶角为120的等腰三角形OMN;
4两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS;
5长为4且宽(小于长)与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。
它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为2.4、2.7的铁圆环。
我们规定:
如果塑料板能穿过铁环内圈,则称为此板“可操作”;否则,便称为“不可操
作”。
⑴证明:
第④种塑料板“可操作”;
⑵求:
从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。
(4分)
“不可操作”。
的概率P—。
(3分)
10
而黄金矩形WXYZ的宽等于4上工」252>2.4,
2
•第①②④三种塑料板“可操作”;而第③⑤两种塑料板
•从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”
16、(本题满分16分)
定义:
和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。
如图所示,已知:
OI是厶ABC的BC边上的旁切圆,E、F分别是切点,ADIC于点D。
⑴试探究:
D、E、F三点是否同在一条直线上?
证明你的结论。
⑵设ABAC5,BC6,如果△DIE和厶AEF的面积之比等于m,匹n,试作
EF
出分别以m、丄为两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。
nm
略解:
⑴结论:
D、E、F三点是同在一条直线上。
(1分)证明:
分别延长AD、BC交于点K,由旁切圆的定义及题中已知条件得:
ADDK,ACCK,再由切线长定理得:
ACCEAF,BEBF,(3分)
KDafBE
•••KEAF。
二仝匕比竺1,由梅涅劳斯定理的逆定理可证D、E、F三点共
DAFBEK
线。
(3分)
⑵•••ABAC5,BC6,•A、E、I三点共线,CEBE3,AE4,连结IF,
则厶ABEAIF,△ADICEI,A、F、I、D四点共圆。
(2分)
设OI
的半径为
3r,则:
3
4
r
6,•
•-AI10,
AD
3
即AD
25,ID
4,5,
r
8
ID
6
•由
△AEF
s△DEI
得:
m
i
/452
()
5
DE
45
VDE
25,
8
4'
AE
8
2
IE
5
EF
12.5,•
n
5
。
(4分)
EF
2
5
6
mn13
6的一
•••nm6,因此,由韦达定理可知:
分别以m、丄为两根且二次项系数为
m_ninm
nm
个一元二次方程是6x213x60。
(3分)
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