中考数学几何折叠问题文档格式.docx
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根据轴对称的性质可以得到:
折叠重合部分一定全等,折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;
互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;
对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等;
对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等.在解题过程中要充分运用以上结论,借助辅助线构造直角三角形,结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题,可以使得解题思路更加清晰,解题步骤更加简洁.
1、利用点的对称
例1.(2006年南京市)已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1,将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合.
(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于F、G(如图①),AF=,求DE的长;
(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于F、G(如图②),△AED的外接圆与直线BC相切,求折痕FG的长.
图①中FG是折痕,点A与点E重合,根据折叠的对称性,已知线段AF的长,可得到线段EF的长,从而将求线段的长转化到求Rt△DEF的一条直角边DE.图②中,连结对应点A、E,则折痕FG垂直平分AE,取AD的中点M,连结MO,则MO=DE,且MO∥CD,又AE为Rt△AED的外接圆的直径,则O为圆心,延长MO交BC于N,则ON⊥BC,MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切,所以ON是Rt△AED的外接圆的半径,即ON=AE,根据勾股定理可求出DE=,OE=.通过Rt△FEO∽Rt△AED,求得FO=,从而求出EF的长.
对称点的连线被对称轴垂直平分,连结两对称点既可以得到相等的线段,也可以构造直角三角形,本题把折叠问题转化为轴对称问题,利用勾股定理和相似求出未知线段,最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.
二、利用线段的对称性质
例2.(新课标人教版数学八年级下学期P126)数学活动1:
折纸做300、600、150的角
对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平,再次折叠纸片,使A点落在折痕EF上的N点处,并使折痕经过点B得到折痕BM,同时得到线段BN,观察所得到的∠ABM、∠MBN和∠NBC,这三个角有什么关系?
(教师用书中给出了这样的提示:
△ABM≌△NBC,作NG⊥BC,则直角三角形中NG=BN,从而可得∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.)
若这样证明则要用到:
在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于300.这个定理现行教材中没有涉及到,在这儿用不太合适.如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了:
连结AN,则AN=BN,又AB=BN,所以三角形ABN为等边三角形,所以∠ABM=∠MBN=∠NBC=300.
利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.
三、利用面对称的性质
例3.(2006年临安)如图,△OAB是边长为2的等边三角形,其中O是坐标原点,顶点B在y轴的正方向上,将△OAB折叠,使点A落在OB上,记为A`点,折痕为EF.此题中第③问是:
当A`点在OB上运动,但不与O、B重合时,能否使△A`EF为直角三角形?
这一问题需通过分类讨论,先确定直角顶点不可能在A`处.当△A`EF为直角三角形,且直角顶点在F处时,根据轴对称性质我们可以得到∠AFE=∠A`FE=900,此时A`点与B点重合,与题目中已知相矛盾,所以直角顶点在点F处不成立.同理可证,直角顶点亦不可能在点E处.故当A`点在OB上运动,若不与O、B重合,则不存在这样的A`点使△A`EF为直角三角形.
在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.
解决折叠问题时,首先要对图形折叠有一准确定位,把握折叠的实质,抓住图形之间最本质的位置关系,从点、线、面三个方面入手,发现其中变化的和不变的量.进一步发现图形中的数量关系;
其次要把握折叠的变化规律,充分挖掘图形的几何性质,将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来,运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.
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- 中考 数学 几何 折叠 问题