年秋八年级数学上册一次函数教学案 新版北师大版Word格式文档下载.docx
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1.初步理解函数的概念.
2.画一次函数的图象.
3.通过一次函数图象解决生活中的简单问题.
【难点】
1.一次函数图象的特点.
2.一次函数y=kx+b中k与b的实际意义.
1.加强与已有知识的联系.
在代数式、方程、不等式等内容的学习、探索中都已经渗透了转化的思想,要注意引导学生在原有知识基础上理解变量和函数的概念.
2.创设丰富的现实情境,重视直观感知的作用.
3.注重学生对必要的数学语言和符号的理解与准确应用,运用数学语言和符号去理解、描述现实世界中问题的变化规律,是本章学习的主要目的之一.要在现实情境中鼓励学生运用自己的语言进行描述和交流,进而逐步学习和掌握规范的数学语言,增强符号感.
1 函 数
1课时
2 一次函数与正比例函数
3 一次函数的图象
2课时
4 一次函数的应用
3课时
回顾与思考
了解函数产生的背景和函数的概念,能判断两个变量间的关系是否属于函数关系.
通过对函数概念的探索,初步培养学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
1.经历函数概念的抽象概括过程,体会函数的模型思想.
2.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
1.掌握函数的概念.
2.会判断两个变量之间的关系是否属于函数关系.
3.能把实际问题抽象概括为函数问题.
1.理解函数的概念.
2.能把实际问题抽象概括为函数问题.
【教师准备】 教材图4-1投影图片.
【学生准备】 预习教材75~76页内容.
导入一:
长春市某天的气温随时间变化的曲线如图所示.
这条曲线反映了气温与时间之间怎样的关系?
从这条曲线中又能获得哪些信息呢?
导入二:
我们生活在一个变化的世界中,时间、温度,还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化.从数学的角度研究变化的量,讨论它们之间的关系,将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.
观察下图,你能大致地描述男孩和女孩平均身高的变化情况吗?
你的身高在平均身高之上还是之下?
你能估计自己18岁时的身高吗?
在现实生活中一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.函数就是研究一些量之间确定性依赖关系的数学模型.
一、感知函数
出示教材图4-1及相关问题,并由学生讨论完成题目.
(1)根据上图填表:
t/min
1
2
3
4
5
…
h/m
(2)对于给定的时间t,相应的高度h确定吗?
[设计意图] 由于我们已初步接触过这方面知识,所以答案较易得出.在这里要注意时间和高度这两个变量之间的关系.
二、做一做
1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加,物体的总数是如何变化的?
填写下表:
层数n
物体总数y
【思考】 层数n和物体总数y之间是什么关系?
2.一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到-273℃,则气体的压强为零.因此,物理学中把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系:
T=t+273,T≥0.
(1)当t分别为-43℃,-27℃,0℃,18℃时,相应的热力学温度T是多少?
(2)给定一个大于-273℃的t值,你都能求出相应的T值吗?
【思考】 在关系式T=t+273中,两个变量中若知道其中一个,是否可以确定另外一个?
三、函数的相关概念
一般地,如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的值与它对应,那么我们称y是x的函数(function),其中x是自变量.
表示函数的方法一般有:
列表法、关系式法和图象法.
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于a时的函数值.
[知识拓展] 理解函数概念时应注意:
(1)在某一变化过程中有两个变量x与y.
(2)这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y的值就随之确定.
(3)对于变量x的每一个值,变量y都有唯一的一个值与它对应,如在关系式y2=x(x>
0)中,当x=9时,y对应的值为3或-3,不唯一,则y不是x的函数.
1.
(1)汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时30千米,则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)之间的关系式为 .
(2)圆的面积S与半径R的关系式为 .
答案:
(1)s=30t
(2)S=πR2
2.一般地,在某个变化过程中,有 个变量x,y.如果给定一个x值,相应地就 了一个y值,那么我们称y是x的函数.其中 是自变量, 是因变量.
两 确定 x y
3.对于两个变量之间的函数关系,可以采用不同的表达方式:
, , .
列表法 关系式法 图象法
4.圆的周长公式C=2πR中,有 个变量,是 .
两 R,C
5.某30层的大厦底层高4米,以上每层高3米,从底层数起,则前n层的高度h(米)与n的函数关系式为 .
h=3n+1
1.感知函数.
2.做一做.
3.函数的相关概念.
一、教材作业
【必做题】
教材第77页习题4.1第1,2题.
【选做题】
教材第78页习题4.1第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列变量间的关系不是函数关系的是( )
A.长方形的宽一定,其长与面积
B.正方形的周长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积
D.圆的周长与半径
2.下列是关于变量x和y的四个关系式:
①y=x;
②y2=x;
③2x2=y;
④y2=2x.其中y是x的函数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.弹簧挂上物体后伸长,已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表:
物体的质量/kg
弹簧的长度/cm
10
12.5
15
17.5
20
22.5
下列说法错误的是( )
A.没挂物体时,弹簧的长度为10cm
B.弹簧的长度随所挂物体的质量的变化而变化,物体的质量是因变量,弹簧的长度是自变量
C.在弹簧的弹性限度内,如果物体的质量为mkg,那么弹簧的长度ycm可以表示为y=2.5m+10
D.当物体的质量为4kg时,弹簧的长度为20cm
4.下列各题中,哪些是函数关系?
哪些不是函数关系?
(1)匀速运动所走的路程和速度;
(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长与半径;
(3)x+3与x;
(4)正方形的面积和梯形的面积;
(5)水管中水流的速度和水管的长度.
【能力提升】
5.如图
(1)所示,在长方形ABCD中,动点E从点B出发,沿BADC方向运动至点C处停止.设点E运动的路程为x,ΔBCE的面积为y,如果y关于x的函数图象如图
(2)所示,则当x=7时,点E应运动到( )
A.点C处B.点D处
C.点B处D.点A处
6.如下图所示的是桂林冬季某一天的气温随时间的变化图象,请根据图填空:
时气温最低,最低气温为 ℃,当天最高气温为 ℃,这一天的温差为 ℃.(所有的结果都取整数)
【拓展探究】
7.如图所示,正方形ABCD的边长为1,E是CD的中点,P为正方形ABCD边上一个动点,动点P从点A出发,沿A→B→C→E运动.若点P经过的路程为x,ΔAPE的面积为y,则当y=时,求x的值.
【答案与解析】
1.C(解析:
A.长=;
B.面积=;
C.高不能确定,共有三个变量;
D.周长=2π·
半径.故选C.)
2.B(解析:
①③是y关于x的函数.)
3.B(解析:
因为表中的数据主要涉及弹簧的长度和所挂物体的质量,所以反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系,所挂物体的质量是自变量,弹簧的长度是因变量,故选项B错误,符合题意.故选B.)
4.解:
(1)匀速运动所走的路程和速度符合s=vt,是函数关系.
(2)在平静的湖面上投入一粒石子,泛起的波纹的周长L与半径r符合L=2πr,是函数关系. (3)x+3与x,设y=x+3,即可得出是函数关系. (4)正方形的面积和梯形的面积没有关系,所以不是函数关系. (5)水管中水流的速度和水管的长度没有关系,所以不是函数关系.所以
(1)
(2)(3)是函数关系,(4)(5)不是.
5.B(解析:
当E在AB上运动时,ΔBCE的面积不断增大,当E在AD上运动时,面积不变,当E在DC上运动时,ΔBCE的面积不断减小,所以当x=7时,点E应运动到点D处.故选B.)
6.4 -2 10 12
7.解:
①当点P在AB上运动时,如图
(1)所示,y=x(0≤x<
1).当y=时,x=.②当点P在BC上运动时,如图
(2)所示,y=1-×
1×
(x-1)-(2-x)-×
1,整理得y=-x(1≤x<
2).当y=时,-x,解得x=.③当点P在CE上运动时,如图(3)所示,EP=-x,y=×
即y=-x(2≤x≤2.5).当y=时,-x,解得x=.因为不在2≤x≤2.5内,所以此情况不符合要求.所以当y=时,x的值为或.
本课时是函数学习的起始课,因此理解函数的基本思想和表达方式是本课时的重点.通过生活实例中对变量的提取,帮助学生比较深刻地领悟了函数的意义.
教材安排的实际问题,旨在让学生通过直观感知,领悟相关概念,这些问题不宜单纯作为教师讲解的例题,要注意引导学生观察其中数量之间的相互关系、鼓励学生发表意见,可以根据学生交流的情况,鼓励学生举出自己熟悉的实例,穿插在几个问题的讨论之中.
本课时的学习需注意后续相关内容的渗透,例如:
观察函数图象,感知函数的单调性;
通过求函数值,渗透初步的对应思想等.教师在组织教学中应注意做适当的铺垫.
随堂练习(教材第77页)
解:
(1)问题中有时间和温度两个变量,且温度是时间的函数,自变量的取值范围是大于等于0,小于等于24.
(2)问题中有汽车的速度v(km/h)和汽车紧急刹车后滑行的路程s(m)两个变量,且s是v的函数,v>
0. (3)问题中有信件质量m(g)与邮资y(元)两个变量,且y是m的函数,0<
m≤100.
习题4.1(教材第77页)
1.解:
(1)反映了物体与抛射点之间的水平距离s与物体的高度h之间的关系.
(2)依次填2,2.5,2.65,2.5,2,1.2,0. (3)确定. (4)可以.
2.解:
(1)当x=3时,y=9.
(2)依题意得y=3x,x的取值范围是x>
0,且x是整数.
3.解:
买单价是0.4元的铅笔,总金额y(元)与铅笔数x(支)之间的关系,其函数的关系式为y=0.4x,自变量的取值范围是非负整数.(答案不唯一)
(1)能.
(2)能. (3)能.
1.关于确定函数关系式的问题,需要分析实际问题中的等量关系,其具体方法和列方程解应用题类似.
2.关于函数自变量的取值范围的讨论,主要包含两个方面:
一是自变量取值使函数关系式有意义;
二是自变量取值使实际问题有意义,这需要对实际问题作具体分析,具有一定难度.
图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的.设y为第n层(n为正整数)圆点的个数,则下列函数关系式中正确的是( )
A.y=4n-4 B.y=n2
C.y=4n+4 D.y=4n
〔解析〕 由图可知n=1时,圆点有4个,即y=4;
n=2时,圆点有8个,即y=8,从而可知y=4n.故选D.
理解一次函数和正比例函数的概念,以及两者之间的关系,利用一次函数和正比例函数解决实际问题.
能够根据所给条件写出简单的一次函数表达式,并利用它解决实际问题.
1.通过函数与变量之间的联系,一次函数与一次方程的联系,提高学生的数学思维能力.
2.经历利用一次函数解决实际问题的过程,发展学生的数学应用能力.
【重点】
1.一次函数、正比例函数的概念.
2.一次函数、正比例函数的关系.
3.会根据已知信息写出一次函数的表达式.
【难点】 一次函数知识的运用.
【教师准备】 引例和例题投影图片.
【学生准备】 复习函数的定义、函数值等内容.
生活中充满着许许多多变化的量,你了解这些变量之间的关系吗?
如弹簧的长度(在弹性限度内)与所挂物体的质量,输液时间与相应时间内水滴数目……了解这些关系,可以帮助我们更好地认识世界.函数是刻画变量之间关系的常用模型,其中最为简单的是一次函数,那么什么是一次函数?
用一次函数可以解决哪些问题呢?
你想了解这些吗?
一起进入这节课的学习吧!
汽车的平均速度为95km/h,A地直达北京的高速公路全程为570km,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己与北京的距离.小明能得到一个什么样的关系式呢?
他是怎样想的?
猜猜看.
[过渡语] 怎样写出两个变量之间的函数关系式呢?
一、出示教材引例及问题
某弹簧的自然长度为3cm.在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
(1)计算所挂物体的质量分别为1kg,2kg,3kg,4kg,5kg时弹簧的长度,并填入下表:
x/kg
y/cm
(2)你能写出y与x之间的关系式吗?
【分析】 当不挂物体时,弹簧长度为3厘米,当挂1千克物体时,增加0.5厘米,总长度为3.5厘米,增加1千克物体,即所挂物体为2千克时,弹簧又增加0.5厘米,总共增加1厘米,由此可见,所挂物体为x千克时,弹簧就伸长0.5x厘米,则弹簧总长为原长加伸长的长度,即y=3+0.5x.
某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.
(1)完成下表:
汽车行驶
路程x/km
50
100
150
200
300
耗油量y/L
(2)你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?
(3)你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗?
【答案与提示】
(1)如下表所示:
6
12
18
24
36
(2)y=6·
x.
(3)z=60-x.
【归纳】 若两个变量x,y间的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.例如y=2x+1,y=x-1等都是一次函数.
特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.例如,y=2x,y=-3x等都是正比例函数.
正比例函数是一次函数的特例,一次函数包含正比例函数.正比例函数与一次函数的关系如图所示.
[知识拓展] 正比例函数也是一次函数,不过是特殊的一次函数,就像是等边三角形与等腰三角形的关系一样.
三、例题讲解
写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断:
y是否为x的一次函数?
是否为正比例函数?
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系;
(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系;
(3)某水池有水15m3,现打开进水管进水,进水速度为5m3/h,xh后这个水池内有水ym3.
(由学生交流讨论完成)
(1)由路程=速度×
时间,得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
(2)由圆的面积公式,得y=πx2,y不是x的正比例函数,也不是x的一次函数.
(3)这个水池每小时增加5m3水,xh增加5xm3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.
【思考】 两个变量之间存在函数关系,它们之间一定是一次函数或正比例函数关系吗?
我国自2011年9月1日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:
月收入不超过3500元的部分不收税;
月收入超过3500元但不超过5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×
3%=10.8(元).
(1)当月收入超过3500元而又不超过5000元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式;
(2)某人月收入为4160元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?
(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元,那么此人本月工资、薪金收入是多少元?
〔解析〕 一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中,自变量的取值范围是全体实数,但是在实际问题中,要根据具体情况来确定该一次函数的自变量的取值范围.本例题的关键是确定问题当中的x的取值范围.
(1)当月收入超过3500元而不超过5000元时,
y=(x-3500)×
3%,即y=0.03x-105.
(2)当x=4160时,y=0.03×
4160-105=19.8(元)
(3)因为(5000-3500)×
3%=45(元),19.2<
45,所以此人本月工资、薪金收入不超过5000元.设此人本月工资、薪金收入是x元,则:
19.2=0.03x-105,x=4140.
即此人本月工资、薪金收入是4140元.
1.一根弹簧的原长为12cm,它能挂的重量不能超过15kg并且每挂重物1kg就伸长0.5cm,则在弹性限度内,挂重物后的弹簧长度y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式是 .
解析:
弹簧伸长后的长度等于原长加上挂重物后伸长的长度,所以y=0.5x+12.由于这是实际问题,自变量的取值要有实际意义,所以0≤x≤15.故填y=0.5x+12(0≤x≤15).
2.y=kx+b是一次函数,则k为( )
A.一切实数 B.正实数
C.负实数D.非零实数
y=kx+b是一次函数,也就是说kx+b是关于x的一次式,所以k是不等于0的实数.故选D.
3.下列函数中,y是x的一次函数的是( )
A.y=-3x+5B.y=-3x2
C.y=D.y=2
形如y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的函数是一次函数.故选A.
4.下列说法不正确的是( )
A.一次函数不一定是正比例函数
B.不是一次函数就一定不是正比例函数
C.正比例函数是特殊的一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数
正比例函数是特殊的一次函数,不是正比例函数也可能是一次函数,如y=2x-3.故选D.
5.某面包厂现年产值是15万元,计划从今年开始每年增加产值2万元.
(1)写出年产值y(万元)与年数x之间的函数表达式;
(2)求5年后的年产值.
(1)年产值等于现年产值加上每年增加的年产值乘年数.
(2)将x=5代入
(1)中求得的表达式即可得解.
(1)y=2x+15.
(2)当x=5时,y=2×
5+15=25,
即5年后的年产值为25万元.
1.出示教材引例及问题.
3.例题讲解.
例1
例2
教材第82页习题4.2第1,2题.
教材第82页习题4.2第5题.
1.若函数y=(m-5)x+(4m+1)x2(m为常数)中的y与x成正比例,则m的取值范围为( )
A.m>
- B.m>
5
C.m=-D.m=5
2.下列函数:
①y=4x+3;
②y=x;
③y=x4;
④y=x2;
⑤y=1-x中,一次函数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在函数y=x,y=x+3,y=,y=2x2-3,y=2(x-3)中, 是关于x的正比例函数.
4.容积为800L的水池内已蓄水200L,若每分钟注入的水量是15L,设池内的水量为Q(L),注水时间为t(min).
(1)请写出Q与t的函数关系式;
(2)注水多长时间可以把水池注满?
(3)当注水时间为0.
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