换元法在代数解题中的应用方丽颖.doc
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换元法在解代数题中的应用
方丽颖
摘要:
换元是指对结构较为复杂、量与量之间关系不甚明了的命题,通过恰当引入新的变量,代换命题中的部分式子,简化原有结构,使其转化为便于研究的形式。
分为代数换元和三角换元等。
它是一种重要的思想方法,在中学数学中有着十分广泛的应用。
有各种各样的代换技巧:
整体换元、三角换元、和差换元、参数换元、均值换元、增量换元、降次换元、增元换元、对称换元等。
许多复杂的数学问题,若能很好地利用换元方法,可以使问题由难变易,由繁到简,达到事半功倍的奇效。
关键词:
方法数学方法换元法
有一些数学问题,由于条件与结论中的变量关系在形式上的隐蔽,它们之间实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现,即使看出它们之间的联系,也由于表面形式的复杂而不易直接求解。
但当我们进行适当的变量代换,把问题的条件和结论作形式上的转换,这样就容易揭示出它们之间的内在联系,把问题化难为易,化繁为简。
因此,代换被认为是中学数学解题最常用的一种思想方法。
掌握了代换思想,不但可以比较顺利地解决一些较难的题目,还可以用多种方法解答同一个个问题,提高我们的思维
一、换元法的概念
换元法这种引辅助未知元素解题的方法我们称为换元法.解数学问题时,如果直接解决原问题有困难,或原问题不易下手,或由原问题的条件难以直接得出结论时,往往需要引入一个或若干个"新元"代换问题中原来的"元",使以"新元"为基础的问题求解比较容易,解决以后将结果恢复为原来的元,即可得原问题的结果.这种解决问题的方法称为换元法.又称变量代换法或辅助元素法.
二、换元的实质
换元的实质就是转化,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,使问题得到简化的一种解题方法.换元法的基本思想是通过变量代换,使原问题化繁为[1]简,化难为易,使问题发生有利的转化,从而达到解题目的.常见的换元法有两种:
(1)设F(x)是一个比较复杂的表达式,如果F(x)可以表示为一个以Ψ(t)为中间变量的复函数,则可以设Ψ(t)=u,于是F(x)=G(Ψ(t))=G(u).如果G(u)比F(x)容易解决,这里的换元就起了化繁为简的作用.这是第一种换元法.
(2)设F(x)是一个比较复杂的表达式,为了解题的需要,设x=Φ(t),于是F(x)=F(Φ(t))=Γ(t).只要Γ(t)比较容易解决,同样也能起到化难为简的作用.这是第二种换元法。
三、换元法的关键
利用换元法解数学题的关键在于适当地选择"新元",引进适当的代换,找到较容易的解题思路,能使问题简化.
四、换元法的基本思路
即把未知问题转化为已知问题,把复杂问题转化为简单问题,把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
五、换语法的一般步骤
①设元(或构造元)②求解③回代④检验
六、常见的换元方法及技巧
(一)整体换元法
例1.求同时满足下列条件的所有复数Z:
⑴Z+<Z+≤6;⑵z的实部和虚部都是整数。
解:
设Z+=m,得z-mz+10=0,
由⑴知mR且1<m≤6,
m-40<0,由求根公式得Z=i,
由z的实部和虚部都是整数,m只能取2、6两个值,
因此满足条件的所有复数是Z=13i或3i。
注:
此题若用化为实数求解,需分类讨论。
此处采用整体换元,将问题转化为一元二次方程来探求,巧妙的回避了讨论。
例2.已知,求和.
分析:
求和,即求该复合函数的解析表达式.首先要明确该复合函数的意义,
=3+4
=3+4
解:
=+4=3(=9x+16
}=3+4
由于=9x+16,
所以要将9x+16看作一个整体去置换3+4中的即具体是将去置换原函数解析式中的x,从而得到的解析表达式.
=3+4=3()+4=27x+52
注:
此题的目的是加强换元意识中的“整体观”,已知条件的一部分有机联系起来,看成是一个整体,然后进行整体的置换。
(二)局部换元法
例3.分解因式.
分析用传统方式先去括号,再做分解工作量很大,在此可以把看作整体.
解:
设,则
原式=+
=+2ab+-1
=-1
=
=
=
注:
本题用的是"局部换元法".从式子的特征看,把及各看作一个整体用a和b进行换元,可使问题简化.
(三)三角换元法
例4.解不等式x+1>x
解:
设x=tan(-<<),
则原不等式可化为tansec>-1+tan,
即2sin-sin-1<0,
解得-<sin<1,
-<<,
tan>-,
原不等式的解集为{x∣x>-}。
注:
三角换元一般是利用三角函数的值域或同角三角函数的关系问题,其应用相当的广泛。
(四)和差换元
例5.若-4=0,求证:
x、y、z成等差数列。
证明:
令x=,z=,
代入已知等式得-4=0,
即=0,a=y,=2a=2y,
故成等差数列。
(五)参数换元法
例6.如果实数x、y满足等式+y=3,求的最大值。
解:
令=k,则y=表示圆上的点与原点连线的斜率,
直线y=与园有公共点的充要条件是≤,
解得≤。
(六)增值换元
例7.在复数集C中解方程:
++=2.
解:
令t==2,
则原方程变为=2,
展开整理得t=0,
x=x=-2,x=-2+2i,x=-2-2i。
注:
通过均值换元,巧妙的将高次方程化归为只含偶次幂的方程。
(七)增量换元
例8.已知a、b且=1,求证:
≥。
证明:
由a、b且=1,
可设a=+t,b=-t,
则=
=
≥
=,
当且仅当a=b=时等号成立。
(八)增次换元
例9.解不等式>x+1。
解:
令=t,则x=,
原不等式可化为>+1,
即<0,
t<9,
<9,x<2,
又≥0,x≥-,
故原不等式的解集为-≤x<
注:
此法适用于所有形如或<的不等式。
(九)降次换元
例10.已知+=1,求证:
+=1。
证明:
设A=a,B=b,
则由已知得,,
即=,
整理得,a=b,
+=
=
=1
注:
降次换元,可以化三角问题为代数问题,过程比较简洁。
(十)增元换元
例11.若==且++=1,求证:
=++.
证明:
令===k,
则=,=,=,
=
==
=++,
命题得证。
注:
对于连等式或者连比式的题目,一般采用增元换元的方法,从而将相互依存的各参数或变量分离开来,使结构关系明朗化,变换起来更简便。
(十一)对称换元
例12.设n且+=-1,求的值。
解:
由条件+=2(-),
故设=--d,=-+d,
由得,
,
解得d=。
若d=,则=-1,=0;
若d=-,则=0,=-1,
=。
注:
对形如=2c型的结构式可考虑构造等差数列的形式,然后进行对称换元。
七、换元中应注意的问题
换元法是中学数学的一种重要的解题方法.通过换元,可使非标准话问题标准化,复杂的问题简单化.由于这种方法应用较广,并且分布在中学数学的不同章节,不同问题中,学生学习时往往只会孤立地运用这种方法,机械地照抄照搬,对于何时能用换元法,何时不能用,用换元法需要注意哪些问题不太明确.因此,应用时难免出现方法不灵活,甚至出现错用的现象.
八、换元法在具体问题中的应用
(一)换元法在递推数列问题中的应用
在递归数列问题的解决中,当题目给出的数列的一般规律难以寻觅时,可考虑换元法,用一个规律明朗的数列作代换,从而使问题得到解决。
下面用两个例子来说明。
例1.
由循环公式=1=定义,其中n=1、2、3……
(1)
求通项公式。
分析:
虽然由条件不难算出数列的前几项=1,=,=,=……但仅就此而言,一时很难发现数列的变化规律。
对于循环公式
(1),也许可以作出这样的猜测:
根式是个难处,如果从这里下手会怎样呢?
解:
设=,则=
由=1,=,=,=,
可立即得到=5+3+2;4+3+1,=3,=3,这样便容易看出新数列的通项公式为=3+
(2)
下面用归纳法加以证明。
(ⅰ)n=1时,命题显然成立;
(ⅱ)假设n=K时
(2)式成立,即=3+;
(ⅲ)则n=K+1时,
-=
=
整理化简得===3+
的通项公式为=3+,
因此可得=
=+2+
例2.数列满足=2+﹙n=1,2,3……﹚时,试证可以确定适当的数a,该不等式≤对于一切的n=1,2,3……成立。
分析:
≤≤
(1)
将=2+两边同时乘以,便可得到=+这使我们自然想到作代换=。
因为由=+可得=+。
解:
设=,则=+,
由此可得=+
=+-
=+-
则=
=
此时不难发现且易证,取a=+
则=≤
亦即≤对任意n=1,2,3……成立。
(二)换元法在解方程(组)中的应用
1.用换元法解分式方程
如何将分式方程转化成整式方程是解分式方程的关键。
换元是转化的一个基本途径,但换元法不是解分式方程的一般方法,它是以所讨论方程的特有性质为依据的,是解一些特殊方程的特殊方法。
这种方法灵活性大,技巧性强,不同的方程就有不同的换元方法。
因此要多观察,巧分析,并注意方法的总结。
一般的分式方程(组)换元有一下几种类型:
(1)方城中有重复出现的分式时,可直接换元。
这是比较简单的一种类型。
(2)利用方程中代数式互为倒数的关系换元。
例1解方程-+=0
分析:
方程中含一个分式,如果去分母来解,就会出现四次式。
观察方程的特点,方程多项式中含有。
因此,可令=y进行换元。
解:
令=y,
原方程变为y+7+=0,
整理得
解之得,=-2=-5.
当=-5时,+5=0,<0,无实根,舍去。
当=-2时,+2=0,解之得=2,=1
经检验,=2,=1都是原方程的根。
例2解方程:
+=
分析:
方程中含两个分式,观察到方程左边两个分式互为倒数,抓住这个特点可进行换元求解。
解:
设=y,原方程可化为y+=。
解得=2,=
由=2,得=-1;
由=,得=2.
经检验,=-1,=2都是原方程的根。
(3)利用分母的特点换元
例3.解方程:
+=
分析:
此题如去分母,便会出现高次的麻烦。
仔细观察方程,就会发现各分母均是x的二次三项式,仅常数项就不同,依此特点可设=y来换元。
解:
设=y,
原方程变为+=,
即=
.
解得=4,=-3.
当=4时,=4得,=,=。
当=-3时,+3=0,<0,无实根,舍去。
经检验=,=都是原方程的根。
(4)整理方程中的各项,使方程变形成有重复出现的分式整体进行换元。
例4.解方程:
-3+4=0.
分析:
如去分母就会出现高次方程,所以应该考虑换元法。
由于=-2,可以依此设=y来换元。
解:
设=y,则=-2。
原方程变为-3y+2=0
.
当时,有=1,-x+1=0,,无实根,舍去。
当时,有=2,-2x+1=0,==1,
经检验==1是原方程的根。
2用换元法解无理方程(组)
用换元法将无理方程转化成有理方程是常用的基本方法,应用换元法解无理方程的常见类型有:
(1)根号内外的代数式相同时可直接换元,这类题比较好分析,难度较小。
(2)利用方程中两个根号内代数式的倒数关系换元
(3)将根号外的代数式整理成根号内的代数式的形式进行换元。
这类题要注意以根号内的代数式为标准整理根号外的代数式。
(4)整理组合式双换元。
这种换元常在方程组解题中,主要是将方程组中的整式方程,整理出含无理方程中根号内的代数式而进行的双换元。
例1.解方程2-6-=5
分析:
该题用平方法解会出现高次方程,而根号外的代数式整理后,得到2=2与根号内的-3-1相差2,经过补项可换元求解。
解:
设=y,
则原方程变为2--3=0,
解得=-,=3。
当=-时,=-,无实数解。
当=3时,=3,整理得-3-10=0。
解得=5,=-2。
经检验=5,=-2都是原方程的解。
例2.解方程组
分析:
如果代入法或将无理方程平方,都会转化成无理方程。
但观察到与无理方程中两个根号内的代数式的关系,我们只需将进行补项,形成=13,即可用换元法来解。
解:
设=,=。
原方程变为
用代入法解之,得或
则有或。
解得;。
经检验,和都是原方程组的解。
注:
解比较复杂的无理方程时,如果用两边平方的方法,将会出现高次方程,增加了解题的难度,如果能够针对不同方程的特点,灵活的运用换元法,则可以达到把方程化繁为简、化难为易的目的,在采用换元法解无理方程时,一般设整个根式为辅助元,这样不仅能把方程简化,而且往往能把无理方程直接转化成有理方程。
例3.解方程组:
解:
设,则原方程组可化为:
由
(2)得,.(3)
将(3)代入
(1),得
.
解得,(不能为负,舍去).
∴.
得
解得,
经检验,知是原方程组的解.
所以,原方程组的解为.
注:
妙用换元法,将无理方程组化为有理方程组,从而把繁杂而生疏的问题转化为简单而熟悉的问题.
3.特殊二元二次方程组的解
例1.解方程组
分析:
此方程组中每个方程都是对称方程,因而是对称方程组。
对称方程组一般可用换元法求解,如设=m,=n。
解:
设=m,=n。
由
(1)得+2-2=30,
由
(2)得-=27
原方程变为
(4)2-(3)得
-24=0
解得=6,=-4
把=6,=-4分别代入(4),
得=9,=-11。
原方程组可化为两个方程组,,
解这两个方程组,得原方程组的解为
4.用换元法解高次方程
例1.解方程:
=3
解:
原方程可化为=3
即=3①
设++5=,则方程①可化为=3,解得=2
当时,++5=2,②。
解方程②得=
当时,++5=-2,③<0,方程③无实根。
因此,原方程的根为==
注:
解高次方程的最基本思想是降次,换元法是降次的基本方法。
可以最有效的把高次方程化为低次方程。
(三)换元法在根式运算中的应用
1.用于化简
例1设0<<1,化简
解:
设=,=,
则+=2,-=2。
原式=
=
=
=-1
2.用于计算
例2.计算:
的值
解:
设n=2000,则
原式=
=
=
=
=
把n=2000代入,得原式=1998999.5。
3.用于比较大小
例3设>>>>0,且x=+,=+,z=+,求x、y、z的大小关系。
解:
设=m,=n,=p,=q,
则m>n>p>q>0.
x-y=-
=,
y-z=-
=,
又m>q,n>p,m>n,p>q,
x-y>0,y-z>0,则x>y>z。
4.用于求最值
例4、+=的正整数解中,求的最大值
解:
由+=7,可设=,=
=41
、为满足=7的整数,
的最大值为4137=1517.
(四)换元法在分解因式中的应用
1.换单项式
例1.+14+49
分析:
注意到=,可把单项式换元,
解:
设=,则=。
原式=+14my+49==
例2.分解因式:
++
分析:
本题前面的两个多项式有相同的部分,我们可以只把相同部分换元,
解:
设+6=m。
则+4+6=m+4,+,6+6=m+6
原式=+
=+10mx+24+
=+10mx+25
==
=
=
以上这种换元法,只换了多项式的一部分,所以称为“局部换元法.当然,我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元,就成了“整体换元法,
比如设+4+6=则+,6+6=,
原式=+
=+2+
=
=
=
=
=。
另外,还可以取前两个多项式的平均数进行换元,这种换元的方法被称为“均值换元法”,可以借用平方差公式简化运算.对于本例比如:
设==+5+6,
则+4+6=,+,6+6=
+=-+
=
=
=
例3.分解因式-2-1
解:
设=y得,
原式=-2-1
=-2-2y-1=-2y-3
=
=
注:
用换元法分解因式,是将多项式中的某一部分巧妙的运用字母来代换,从而使多项式的结构简单化,进而简化运算。
(五)换元法在分数运算中的应用
例1.计算:
-
解:
设1+++…+=,则
原式=-
=--+-++
=
综上所述,换元思想方法在数学解题中有着不可低估的作用。
学会运用换元法,不但可以沟通数学各个分支之间的联系,还可以扩大视野,培养学生的兴趣.对于一些较难的题目,我们还应当通过认真观察问题的结构特征,深入分析问题的隐含条件,采用类比,联想猜测等手段进行适当的换元,并综合运用各方面的知识给予解决。
在学习中要不断总结解题的规律和技巧,强化思维训练,提高分析问题、解决问题的能力。
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