全国各地中考数学试卷分类汇编一元二次方程及其应用Word文件下载.doc
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考查一元二次方程根的判别式的问题主要有三种形式:
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)根据方程根的情况求方程中待定系数的范围;
(3)证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。
解决这三类问题,有一个通法,就是先算出判别式,然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理.
10.(2013山东日照,8,3分)已知一元二次方程的较小根为,则下面对的估计正确的是
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】一元二次方程的两个根分别是。
。
所以选A
【方法指导】本题是考查一元二次方程的根的取值范围,只要求出方程的根就可以准备找到根的取值范围。
11.(2013山东日照,12,4分)如图,已知抛物线和直线.我们约定:
当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2,若y1≠y2,取y1、y2中的较小值记为M;
若y1=y2,记M=y1=y2.
下列判断:
①当x>2时,M=y2;
②当x<0时,x值越大,M值越大;
③使得M大于4的x值不存在;
④若M=2,则x=1.其中正确的有
A.1个B.2个C.3个D.4个
12.(2013四川成都,9,3分)一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是()
(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根
(C)只有一个实数根(D)没有实数根
13.(2013白银,6,3分)一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是( )
A.
有两个不相等的实数根
B.
有两个相等的实数根
C.
无实数根
D.
无法确定
考点:
根的判别式.
分析:
判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了.
解答:
解:
∵a=1,b=1,c=﹣2,
∴△=b2﹣4ac=1+8=9>0
∴方程有两个不相等的实数根.
故选A
点评:
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.
总结:
一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根.
14.(2013白银,8,3分)某超市一月份的营业额为36万元,三月份的营业额为48万元,设每月的平均增长率为x,则可列方程为( )
48(1﹣x)2=36
48(1+x)2=36
36(1﹣x)2=48
36(1+x)2=48
15.(2013兰州,8,3分)用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时,配方后得的方程为( )
A.(x+1)2=0 B.(x﹣1)2=0 C.(x+1)2=2 D.(x﹣1)2=2
16.(2013兰州,10,3分)据调查,2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2,2013年同期将达到8200/m2,假设这两年兰州市房价的平均增长率为x,根据题意,所列方程为( )
A.7600(1+x%)2=8200 B.7600(1﹣x%)2=8200
C.7600(1+x)2=8200 D.7600(1﹣x)2=8200
17.(2013广东珠海,4,3分)已知一元二次方程:
①x2+2x+3=0,②x2﹣2x﹣3=0.下列说法正确的是( )
①②都有实数解
①无实数解,②有实数解
①有实数解,②无实数解
①②都无实数解
18.(2013广西钦州,7,3分)关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
m<3
m≤3
m>3
m≥3
、
19.(2013贵州安顺,4,3分)已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3,则实数k的值为( )
A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2
20.(2013·
潍坊,10,3分)已知关于的方程,下列说法正确的是()
A.当时,方程无解
B.当时,方程有一个实数解
C.当时,方程有两个相等的实数解
D.当时,方程总有两个不相等的实数解
21.(2013·
鞍山,6,2分)已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.有两个实数根
22(2013•东营,11,3分)要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是()
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
23.(2013上海市,2,4分)下列关于x的一元二次方程有实数根的是()
(A);
(B);
(C);
(D).
24.(2013贵州省六盘水,9,3分)已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
k<﹣2
k<2
k>2
k<2且k≠1
25.(2013贵州省黔西南州,7,4分)某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是( )
50(1+x2)=196
50+50(1+x2)=196
50+50(1+x)+50(1+x2)=196
50+50(1+x)+50(1+2x)=196
26.(2013湖北省咸宁市,1,3分)关于x的一元二次方程(a﹣1)x2﹣2x+3=0有实数根,则整数a的最大值是( )
2
1
﹣1
27.(2013河南省,3,3分)方程的解是【】
(A)(B)(C)(D)
【解析】由题可知:
或者,可以得到:
【答案】D
28.(2013湖北省十堰市,1,3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根,则a的值是( )
4
﹣4
专题:
计算题.
根据根的判别式的意义得到△=22﹣4•(﹣a)=0,然后解方程即可.
根据题意得△=22﹣4•(﹣a)=0,
解得a=﹣1.
故选D.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:
当△>0,方程有两个不相等的实数根;
当△=0,方程有两个相等的实数根;
当△<0,方程没有实数根.
29.(2013湖北省鄂州市,8,3分)已知m,n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解,若(m﹣1)(n﹣1)=﹣6,则a的值为( )
﹣10
10
二、填空题
1.(2013山东滨州,16,4分)一元二次方程2x2-3x+1=0的解为______________.
【答案】:
.
【解析】利用一元二次方程的求根公式,其中a=2,b=-3,c=1代入求解即可.
【方法指导】本题主要考查了一元二次方程的求解方法以及方法的适当选择,对于本题而言选择求根公式求解更适合,要注意方法的选择.
2.(2013湖北荆门,16,3分)设x1,x2是方程x2-x-2013=0的两实数根,则x13+2014x2-2013=______.
3.(2013山东临沂,19,3分)对于实数a、b,定义运算“*”:
a*b=例如:
4*2,因为4>2,所以4*2=42-4×
2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根,则x1*x2=_________________.
4.(2013陕西,12,3分)一元二次方程的根是.
一元二次方程的解法。
解析:
四种解一元二次方程的解法即:
直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法。
此12题的位置一般是简单的题,因此注意识别使用简单的方法进行求解。
由得,,解得x1=0,x2=3
5.(2013四川绵阳,17,4分)已知整数k<5,若△ABC的边长均满足关于x的方程,则△ABC的周长是10。
6.(2013江西,12,3分)若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,请写出一个符合题意的一元二次方程.
7.(2013白银,18,4分)现定义运算“★”,对于任意实数a、b,都有a★b=a2﹣3a+b,如:
3★5=32﹣3×
3+5,若x★2=6,则实数x的值是 ﹣1或4 .
8.(2013兰州,17,4分)若,且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,则k的取值范围是.
9.(2013年佛山市,12,3分)方程的解是_________________.
首先把常数﹣2移到等号右边,再两边同时加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方公式,再开方,解方程即可.
x2﹣2x﹣2=0,移项得:
x2﹣2x=2,配方得:
x2﹣2x+1=2+1,
(x﹣1)2=3,两边直接开平方得:
x﹣1=,则x1=+1,x2=﹣+1.
此题主要考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.
10.(2013贵州安顺,13,4分)4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3=8是二元一次方程,那么a﹣b=.
11.(2013湖南郴州,12,3分)已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根,则b的值是 2 .
12..(2013湖南张家界,14,3分)若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根,则k的非负整数值是 1 .
13.(2013江苏南京,14,2分)已知如图所示的图形的面积为24,根据图中的条件,可列出
方程:
。
答案:
本题答案不唯一,如(x+1)2=25;
把缺口补回去,得到一个面积25的正方形,边长为x+1。
14.(2013·
聊城,13,3分)若x1=-1是关于x的方程x2+mx-5=0的一个根,则方程的另一个根x2=.
根与系数的关系.
设方程的另一根为x2,由一个根为x1=-1,利用根与系数的关系求出两根之积,列出关于x2的方程,求出方程的解得到x2的值,即为方程的另一根.
∵关于x的方程x2+mx-5=0的一个根为x1=-1,设另一个为x2,
∴-x2=-5,解得:
x2=5,则方程的另一根是x2=5.故答案为:
5.
此题考查了一元二次方程根与系数的关系,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac≥0时方程有解,此时设方程的解为x1,x2,则有x1+x2=-,x1x2=.
10.2013•新疆5分)2009年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2027元,2011年增长到3985元.若设年平均增长率为x,则根据题意可列方程为 .
15.(2013•新疆5分)如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根,那么k的取值范围是
、16.(2013陕西,12,3分)一元二次方程的根是.
17.(2013四川绵阳,17,4分)已知整数k<5,若△ABC的边长均满足关于x的方程,则△ABC的周长是10。
[解析]△=(-3)2-32≥0,≤k<
5,k为整数,k=4,x2-6x+8=0,x=2或4,
△ABC的边长为2、4,则只能是等腰三角形,2+2≮4,以2、2、4为边长不能构成三角形;
4-4<
2,4+4>
2,以4、4、2为边长能构成等腰三角形,所以△ABC的周长=4+4+2=10。
18.(2013贵州省黔东南州,15,4分)若两个不等实数m、n满足条件:
m2﹣2m﹣1=0,n2﹣2n﹣1=0,则m2+n2的值是 6 .
19.(2013贵州省黔西南州,16,3分)已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+b2+2ab的值是 1 .
20.(2013黑龙江省哈尔滨市,18)某商品经过连续两次降价,销售单价由原来的125元降到80元,则平均每次降价的百分率为.
三、解答题
1.(2013重庆市(A),23,10分)随着铁路客运量的不断增长,重庆火车站越来越拥挤,为了满足铁路交通的快速发展,该火车站从去年开始启动了扩建工程.其中某项工程,甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月,并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?
(2)若甲队每月的施工费100万元,乙队每月的施工费比甲队多50万元.在保证工程质量的前提下,为了缩短工期,拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程.在完成这项工程中,甲队施工时间是乙队施工时间的2倍,那么,甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?
(甲、乙两队的施工时间按月取整数)
2.(2013广东广州,17,9分)解方程:
.
【思路分析】可以运用配方法、求根公式法和因式分解法等三种方法求解.
【解】方法一(配方法):
将方程
变形为:
配方,
整理,得
解得,
方法二(求根公式法):
因为a=1,b=-10,c=9
由求根公式解得,
方法三(因式分解法):
【方法指导】解一元二次方程通常就是四种方法,即直接开平方法,配方法,求根公式法和因式分解法,只要方程有实数根,配方法和求根公式法都是万能的,但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦,直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程,解起来简捷轻松.
3.(2013山东菏泽,17,14分)(每题7分)
(1)已知m方程的一个实数根,求代数式的值.
4.(2013山东菏泽,20,10分)已知:
关于x的一元二次方程(是整数).
(1)求证:
方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根分别为x1,x2(其中),设y=x2-x1,判断y是否为变量k的函数?
如果是,请写出函数表达式;
若不是,请说明理由.
5.(2013山东日照,17,10分)(本题满分10分,
(1)小题4分,
(2)小题6分)
(1)计算:
.
【思路分析】把各部分的值全都算出,最后再进行加减运算。
【解】
【方法指导】实数的运算一般按照先算乘方,再算乘除,最后算加减的顺序进行计算。
(2)已知,关于x的方程的两个实数根、满足,求实数的值.
【思路分析】先把原方程变形,得到一个一元二次方程的形式,利用已知条件,两根或是相等,或是互为相反的数,从而找到关于m的方程,从而得到m的值,但前提条件是方程得有实数根。
【解】原方程可变形为:
.…………………5分
∵、是方程的两个根,
∴△≥0,即:
4(m+1)2-4m2≥0,∴8m+4≥0,m≥.
又、满足,∴=或=-,即△=0或+=0,…………………8分
由△=0,即8m+4=0,得m=.
由+=0,即:
2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意,舍去)
所以,当时,m的值为.
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