内蒙古包头市中考数学试卷含解析Word格式.doc
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科学记数法的表示形式为a×
10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;
当原数的绝对值<1时,n是负数.
56.9万亿元=5.69×
1013,
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×
10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(3分)(2014•包头)在一次信息技术考试中,抽得6名学生的成绩(单位:
分)如下:
8,8,10,8,7,9,则这6名学生成绩的中位数是( )
7
8
9
10
中位数.
根据中位数的定义,把把这组数据从小到大排列,找出最中间的数即可.
把这组数据从小到大排列为:
7,8,8,8,9,10,
最中间两个数的平均数是(8+8)÷
2=8,
则中位数是8.
故选;
本题考查了中位数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数).
5.(3分)(2014•包头)计算sin245°
+cos30°
•tan60°
,其结果是( )
2
1
特殊角的三角函数值.
根据特殊角的三角函数值计算即可.
原式=()2+×
=+
=2.
此题比较简单,解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值.
6.(3分)(2014•包头)长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有( )
1种
2种
3种
4种
三角形三边关系.
要把四条线段的所有组合列出来,再根据三角形的三边关系判断能组成三角形的组数.
四根木条的所有组合:
9,6,5和9,6,4和9,5,4和6,5,4;
根据三角形的三边关系,得能组成三角形的有9,6,5和9,6,4和6,5,4.
故选C.
本题考查了三角形的三边关系,熟记三角形的任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边是解题的关键.
7.(3分)(2014•包头)下列说法正确的是( )
必然事件发生的概率为0
一组数据1,6,3,9,8的极差为7
“面积相等的两个三角形全等”这一事件是必然事件
“任意一个三角形的外角和等于180°
”这一事件是不可能事件
随机事件;
方差;
概率的意义.
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件,可得答案.
A、必然事件发生的概率为1,故A错误;
B、一组数据1,6,3,9,8的级差为8,故B错误;
C、面积相等两个三角形全等,是随机事件,故C错误;
D、”任意一个三角形的外角和等于180°
”是不可能事件,故D正确;
本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事.
8.(3分)(2014•包头)在平面直角坐标系中,将抛物线y=3x2先向右平移1个单位,再向上平移2个单位,得到的抛物线的解析式是( )
y=3(x+1)2+2
y=3(x+1)2﹣2
y=3(x﹣1)2+2
y=3(x﹣1)2﹣2
二次函数图象与几何变换.
先根据抛物线的顶点式得到抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0),则抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2),然后再根据顶点式即可得到平移后抛物线的解析式.
∵抛物线y=3x2的对称轴为直线x=0,顶点坐标为(0,0),
∴抛物线y=3x2向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,2),
∴平移后抛物线的解析式为y=3(x﹣1)2+2.
本题考查了二次函数图象与几何变换:
先把抛物线的解析式化为顶点式y=a(x﹣k)2+h,其中对称轴为直线x=k,顶点坐标为(k,h),若把抛物线先右平移m个单位,向上平移n个单位,则得到的抛物线的解析式为y=a(x﹣k﹣m)2+h+n;
抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平移.
9.(3分)(2014•包头)如图,在正方形ABCD中,对角线BD的长为.若将BD绕点B旋转后,点D落在BC延长线上的点D′处,点D经过的路径为,则图中阴影部分的面积是( )
﹣1
﹣
π﹣2
扇形面积的计算;
正方形的性质;
旋转的性质.
首先根据正方形的性质可得∠DBD′=45°
,BC=CD,然后根据勾股定理可得BC、CD长,再计算出扇形BDD′和△BCD的面积可得阴影部分面积.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DBD′=45°
,BC=CD,
∵BD的长为,
∴BC=CD=1,
∴S扇形BDD′==,
S△CBD=1×
1=,
∴阴影部分的面积:
﹣,
此题主要考查了正方形的性质,扇形的面积和三角形的面积计算,关键是掌握扇形的面积公式:
S=.
10.(3分)(2014•包头)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DE∥BC,EF∥AB.若AD=2BD,则的值为( )
平行线分线段成比例.
根据平行线分线段成比例定理得出===2,即可得出答案.
∵DE∥BC,EF∥AB,AD=2BD,
∴==2,==2,
∴=,
故选A.
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,注意:
一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
11.(3分)(2014•包头)已知下列命题:
①若a>b,则ac>bc;
②若a=1,则=a;
③内错角相等;
④90°
的圆周角所对的弦是直径.
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
1个
2个
3个
4个
命题与定理.
先对原命题进行判断,再判断出逆命题的真假即可.
①若a>b,则ac>bc是假命题,逆命题是假命题;
②若a=1,则=a是真命题,逆命题是假命题;
③内错角相等是假命题,逆命题是假命题;
的圆周角所对的弦是直径是真命题,逆命题是真命题;
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个;
主要考查命题与定理,用到的知识点是互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题,判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
12.(3分)(2014•包头)关于x的一元二次方程x2+2(m﹣1)x+m2=0的两个实数根分别为x1,x2,且x1+x2>0,x1x2>0,则m的取值范围是( )
m≤
m≤且m≠0
m<1
m<1且m≠0
根的判别式;
根与系数的关系.
先由根的判别式可得方程有两个实数根则△≥0,根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣2(m﹣1),x1x2=m2,再由x1+x2>0,x1x2>0,解出不等式组即可.
∵△=[2(m﹣1)]2﹣4m2=﹣8m+4≥0,
∴m≤,
∵x1+x2=﹣2(m﹣1)>0,x1x2=m2>0
∴m<1,m≠0
∴m≤且m≠0.
此题考查了根的判别式和根与系数的关系,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根,根与系数的关系是x1+x2=﹣,x1x2=.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
13.(3分)(2014•包头)计算:
﹣= .
二次根式的加减法.
首先化简二次根式进而合并同类二次根式进而得出答案.
﹣=×
2﹣×
=﹣=.
故答案为:
.
此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键.
14.(3分)(2014•包头)如图,已知∠1=∠2,∠3=73°
,则∠4的度数为 107 度.
平行线的判定与性质.
专题:
计算题.
根据已知一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行得到a与b平行,利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补,再利用对顶角相等即可确定出∠4的度数.
∵∠1=∠2,
∴a∥b,
∴∠5+∠3=180°
,
∵∠4=∠5,∠3=73°
∴∠4+∠3=180°
则∠4=107°
107
此题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键.
15.(3分)(2014•包头)某学校举行演讲比赛,5位评委对某选手的打分如下(单位:
分)9.5,9.4,9.4,9.5,9.2,则这5个分数的平均分为 9.4 分.
加权平均数.
根据加权平均数的计算公式列出算式,再进行计算即可.
这5个分数的平均分为(9.5×
2+9.4×
2+9.2)÷
5=9.4;
9.4.
此题考查了加权平均数,用到的知识点是加权平均数的计算公式,关键是根据公式列出算式.
16.(3分)(2014•包头)计算:
(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2)= 2x+5 .
完全平方公式;
平方差公式.
原式第一项利用完全平方公式展开,第二项利用平方差公式化简,去括号合并即可得到结果.
原式=x2+2x+1﹣x2+4
=2x+5.
2x+5.
此题考查了完全平方公式,以及平方差公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
17.(3分)(2014•包头)方程﹣=0的解为x= 2 .
解分式方程.
分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
去分母得:
3x﹣3﹣x﹣1=0,
解得:
x=2,
经检验x=2是分式方程的解.
此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
18.(3分)(2014•包头)如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,点E是的中点,OE交BC于点D.连接AC,若BC=6,DE=1,则AC的长为 8 .
垂径定理;
勾股定理;
三角形中位线定理.
连接OC,根据圆心角与弧之间的关系可得∠BOE=∠COE,由于OB=OC,根据等腰三角形的性质可得OD⊥BC,BD=CD.在直角三角形BDO中,根据勾股定理可求出OB,进而求出OD长,再根据三角形中位线定理可得AC的长.
连接OC,如图所示.
∵点E是的中点,
∴∠BOE=∠COE.
∵OB=OC,
∴OD⊥BC,BD=DC.
∵BC=6,
∴BD=3.
设⊙O的半径为r,则OB=OE=r.
∵DE=1,
∴OD=r﹣1.
∵OD⊥BC即∠BDO=90°
∴OB2=BD2+OD2.
∵OB=r,OD=r﹣1,BD=3,
∴r2=32+(r﹣1)2.
r=5.
∴OD=4.
∵AO=BO,BD=CD,
∴OD=AC.
∴AC=8.
本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识,有一定的综合性.
19.(3分)(2014•包头)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABO的顶点O与原点重合,顶点B在x轴上,∠ABO=90°
,OA与反比例函数y=的图象交于点D,且OD=2AD,过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边形ABCD=10,则k的值为 ﹣16 .
相似三角形的判定与性质;
反比例函数系数k的几何意义.
证△DCO∽△ABO,推出===,求出=()2=,求出S△ODC=8,根据三角形面积公式得出OC×
CD=8,求出OC×
CD=16即可.
∵OD=2AD,
∵∠ABO=90°
,DC⊥OB,
∴AB∥DC,
∴△DCO∽△ABO,
∴===,
∴=()2=,
∵S四边形ABCD=10,
∴S△ODC=8,
∴OC×
CD=8,
OC×
CD=16,
∴k=﹣16,
﹣16.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,相似三角形的性质和判定的应用,解此题的关键是求出△ODC的面积.
20.(3分)(2014•包头)如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,EF⊥EC交AD于点F,连接CF(AD>AE),下列结论:
①∠AEF=∠BCE;
②AF+BC>CF;
③S△CEF=S△EAF+S△CBE;
④若=,则△CEF≌△CDF.
其中正确的结论是 ①③④ .(填写所有正确结论的序号)
矩形的性质;
全等三角形的判定与性质.
根据同角的余角相等可得∠AEF=∠BCE,判断出①正确,然后求出△AEF和△BCE相似,根据相似三角形对应边成比例可得=,然后根据两组边对边对应成比例,两三角形相似求出△AEF和△ECF,再根据相似三角形对应角相等可得∠AFE=∠EFC,过点E作EH⊥FC于H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=DH,利用“HL”证明△AEF和△HEF,根据全等三角形对应边相等可得AF=FH,同理可得BC=CH,然后求出AF+BC=CF,判断出②错误;
根据全等三角形的面积相等可得S△CEF=S△EAF+S△CBE,判断出③正确;
根据锐角三角函数的定义求出∠BCE=30°
,然后求出∠DCF=∠ECF=30°
,再利用“角角边”证明即可.
∵EF⊥EC,
∴∠AEF+∠BEC=90°
∵∠BEC+∠BCE=90°
∴∠AEF=∠BCE,故①正确;
又∵∠A=∠B=90°
∴△AEF∽△BCE,
∵点E是AB的中点,
∴AE=BE,
又∵∠A=∠CEF=90°
∴△AEF∽△ECF,
∴∠AFE=∠EFC,
过点E作EH⊥FC于H,
则AE=DH,
在△AEF和△HEF中,,
∴△AEF≌△HEF(HL),
∴AF=FH,
同理可得△BCE≌△HCE,
∴BC=CH,
∴AF+BC=CF,故②错误;
∵△AEF≌△HEF,△BCE≌△HCE,
∴S△CEF=S△EAF+S△CBE,故③正确;
若=,则cot∠BCE=====2×
=,
∴∠BCE=30°
∴∠DCF=∠ECF=30°
在△CEF和△CDF中,,
∴△CEF≌△CDF(AAS),故④正确,
综上所述,正确的结论是①③④.
①③④.
本题考查了矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形,熟记各性质是解题的关键,难点在于求出△AEF和△ECF相似并得到∠AFE=∠EFC.
三、解答题(本大题共6小题,共60分)
21.(8分)(2014•包头)有四张正面分别标有数字2,1,﹣3,﹣4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回,将该卡片上的数字记为m,再随机地摸取一张,将卡片上的数字记为n.
(1)请画出树状图并写出(m,n)所有可能的结果;
(2)求所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率.
列表法与树状图法;
一次函数图象与系数的关系.
(1)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果;
(2)首先可得所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有:
(﹣3﹣4),(﹣4,﹣3),再利用概率公式即可求得答案.
(1)画树状图得:
则(m,n)共有12种等可能的结果:
(2,1),(2,﹣3),(2,﹣4),(1,2),(1,﹣3),(1,﹣4),(﹣3,2),(﹣3,1),(﹣3,﹣4),(﹣4,2),(﹣4,1),(﹣4,﹣3);
(2)∵所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有:
(﹣3﹣4),(﹣4,﹣3),
∴所选出的m,n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为:
=.
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:
概率=所求情况数与总情况数之比.
22.(8分)(2014•包头)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,∠BCD=45°
,点E在BC上,且∠AEB=60°
.若AB=2,AD=1,求CD和CE的长.(注意:
本题中的计算过程和结果均保留根号)
梯形;
勾股定理.
过点D作DF⊥BC,根据∠BCD=45°
,得DF=CF,再由AB=2,可得DF=CF=2,由勾股定理得CD的长,因为AD=1,所以BC=2+1,根据∠AEB=60°
,可得BE,进而得出CE的长.
过点D作DF⊥BC,
∵AD∥BC,∠ABC=90°
∴四边形ABFD为矩形,
∵∠BCD=45°
∴DF=CF,
∵AB=2,
∴DF=CF=2,
∴由勾股定理得CD=2;
∵AD=1,
∴BF=1,
∴BC=2+1,
∵∠AEB=60°
∴tan60°
∴BE=2,
∴CE=BC﹣BE=2+1﹣2=2﹣1.
本题考查了梯形的计算以及勾股定理,是基础知识要熟练掌握.
23.(10分)(2014•包头)甲、乙两个商场出售相同的某种商品,每件售价均为3000元,并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是:
第一件按原售价收费,其余每件优惠30%;
乙商场的优惠条件是:
每件优惠25%.设所买商品为x件时,甲商场收费为y1元,乙商场收费为y2元.
(1)分别求出y1,y2与x之间的关系式;
(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为多少件?
(3)当所买商品为5件时,应选择哪个商场更优惠?
请说明理由.
一次函数的应用.
(1)根据两家商场的优惠方案分别列式整理即可;
(2)根据收费相同,列出方程求解即可;
(3)根据函数解析式分别求出x=5时的函数值,即可得解.
(1)当x=1时,y1=3000;
当x>1时,y1=3000+3000(x﹣1)×
(1﹣30%)=2100x+900.
∴y1=;
y2=3000x(1﹣25%)=2250x,
∴y2=2250x;
(2)当甲、乙两个商场的收费相同时,2100x+900=2250x,
解得x=6,
答:
甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为6件;
(3)x=5时,y1=2100x+900=2100×
5+900=11400,
y2=2250x=2250×
5=11250,
∵11400>11250,
∴所买商品为5件时,应选择乙商场更优惠.
本题考查了一次函数的应用,读懂题目信息,理解两家商场的优惠方案是解题的关键.
24.(10分)(2014•包头)如图,已知AB,AC分别是⊙O的直径和弦,点G为上一点,GE⊥AB,垂足为点E,交AC于点D,过点C的切线与AB的延长线交于点F,与EG的延长线交于点P,连接AG.
(1)求证:
△PCD是等腰三角形;
(2)若点D为AC的中点,且∠F=30°
,BF=2,求△PCD的周长和AG的长.
切线的性质;
等腰三角形的判定;
相似三角形的判定与性质.
证明题.
(1)连结OC,根据切线的性质得∠OCP=90°
,即∠1+∠PCD=90°
,由GE⊥AB得∠GEA=90°
,则∠2+∠ADE=90°
,利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE,根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC,所以∠PCD=∠PDC,于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形;
(2)连结OD,BG,在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2,由于∠FOC=90°
﹣∠F=60°
,根据三角形外角性质可计算出∠1=∠2=30°
,则∠PCD=90°
﹣∠1=60°
,可判断△PCD为等边三角形;
再由D为AC的中点,根据垂径定理得到OD⊥AC,AD=CD,在Rt△OCD中,可计算出OD=OC=1,CD=OD=,所以△PCD的周长为3;
然后在Rt△ADE中,计算出DE=AD=,AE=DE=,根据圆周角定理由AB为直径得到∠AGB=90°
,再证明Rt△AGE∽Rt△ABG,利用相似比可计算出AG.
(1)证明:
连结OC,如图,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠OCP=90°
∵GE⊥AB,
∴∠GE
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