浙江省基于高考试题的复习资料二项式定理解析版.docx
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九、计数原理与古典概率
(二)二项式定理
一、高考考什么?
[考试说明]
3.了解二项式定理,二项式系数的性质。
[知识梳理]
1.二项式定理:
,其中组合数叫做第r+1项的二项式系数;展开式共有n+1项,其中第r+l项 ),会求常数项、某项的系数等
2.二项式系数的性质:
(1)对称性:
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即;
(2)增减性与最大值:
当时,二项式系数C的值逐渐增大,当时,
C的值逐渐减小,且在中间取得最大值。
当n为偶数时,中间一项(第+1项)的二项式系数取得最大值。
当n为奇数时,中间两项(第和项)的二项式系数相等并同时取最大值。
(3)二项式系数的和:
;
。
3.展开式系数的性质:
若;令
则:
(1)展开式的各项系数和为
(2)展开式的奇次项系数和为
(3)展开式的偶次项系数和为
二、高考怎么考?
[全面解读]
从考试说明来看,二项式定理主要解决与二项展开有关的问题,从考题来看,每一年均有一题,难度为中等,从未改变。
命题主要集中在常数项,某项的系数,幂指数等知识点上。
掌握二项式定理主要以通项为抓手,由通项可解决常数项问题、某项的系数问题,系数要注意二项式系数与展开式系数的区别。
[难度系数]★★★☆☆
[原题解析]
[2004年]
(7)若展开式中存在常数项,则n的值可以是()
A.8B.9C.10D.12
[2005年]
(5)在的展开式中,含的项的系数是()
A.74B.121C.-74D.-121
[2006年]
(8)若多项式
则()
A.9B.10C.-9D.-10
[2007年]
(6)展开式中的常数项是()
A. B. C. D.
[2008年]
(4)在的展开式中,含的项的系数是()
A.-15B.85C.-120D.274
[2009年]
(4)在二项式的展开式中,含的项的系数是()
A.B.C.D.
[2011年]
(13)设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B,若,则的值是。
[2012年]
(14)若将函数表示为
其中,,,…,为实数,则=____________.
[2013年]
(11)设二项式的展开式中常数项为,则.
[2014年]
(5)在的展开式中,记项的系数为,则()
A.45B.60C.120D.210
[2015年]
(04)
(1)已知为正整数,在与展开式中项的系数相同,求n的值.
[2016年]
(04)
(1)已知,求的值。
[2017年]
(13)已知多项式,
则=,=.
[2018年]
(14)二项式的展开式的常数项是___________.
[附文科试题]
[2005年]
(5)在的展开式中,含的项的系数是()
A.B.6C.-10D.10
[2006年]
(2)在二项式的展开式中,含的项的系数是()
A.15B.20C.30D.40
三、不妨猜猜题?
从考试说明来看,二项式定理主要解决与二项展开有关的问题,从考题来看,每一年均有一题,难度为中等,从未改变。
命题主要集中在常数项,某项的系数,幂指数等知识点上。
掌握二项式定理主要以通项为抓手,由通项可解决常数项问题、某项的系数问题,系数要注意二项式系数与展开项的系数的区别。
尤其要加强求二个二项式相乘的展开式中某项系数的训练,高考出现的频率很高。
A组
1.若二项式(x2−2x)n的展开式中二项式系数的和是64,则展开式中的常数项为
A.-240B.-160C.160D.240
2.若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0,则a0和a1的值分别为( )
A.32 80B.32 40C.16 20D.16 10
3.若(x2+2x3)n展开式存在常数项,则n的最小值为()
A.3B.4C.5D.6
4.若(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为30,则a=()
A.−12B.−2C.12D.2
5.x+1x2−16展开式x2的系数为
A.−45B.−15C.15D.45
6.若1+x1−2x8=a0+a1x+⋅⋅⋅+a9x9,x∈R,则a1⋅2+a2⋅22+⋅⋅⋅+a9⋅29的值为
A.29B.29−1C.39D.39−1
7.设(x2+1)(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a11(x+2)11,
则a1+a2+⋯+a11的值为()
A.-7B.−3C.2D.7
8.二项式(x+1x2)5的展开式中常数项为__________.所有项的系数和为__________.
9.(x2−x+1)10展开式中所有项的系数和为_________,其中x3项的系数为_____________.
10.(1+2x2)(x−1x)8的展开式中x-2项前系数为_________(用数字作答),项的最大系数是__________
11.已知(1+ax)(1+x)6的展开式中x3的系数为−10,则a=__________,此多项式的展开式中含x的奇数次幂项的系数之和为__________.
12.若(x+y)(2x−y)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2+a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6,则a4=__________,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=__________.
B组
1.( 1+1x2 ) ( 1+x )6展开式中x2的系数为()
A.15B.20C.30D.35
2.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)(n∈N*)的展开式中,一次项的系数为()
A.Cnn−1B.Cn2C.Cn+12D.12Cn+12
3.若x+2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是第( )项()
A.4B.3C.2D.1
4.已知x+22x−15=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a0+a2+a4=()
A.123B.91C.-152D.-120
5.在(1+x)2+(1+x)3+⋅⋅⋅+(1+x)10的展开式中,含x2项的系数为()
A.45B.55C.120D.165
6.已知:
,则()
A.-28B.-448C.112D.448
7.若2x−12018=a0+a1x+a2x2+⋯+a2018x2018x∈R,
则12+a222a1+a323a1+⋯+a201822018a1=()
A.12018B.−12018C.14036D.−14036
8.在(x−12x2)9的展开式中,常数项为_____;系数最大的项是_____.
9.设,则a0=__________;.
10.已知x5=a5(2x+1)5+a4(2x+1)4+⋯+a1(2x+1)+a0,则a5=______,a4=_______.
11.设(2+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2=_______,
(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2的值为_________.
12.已知多项式满足,则_________,__________.
【全解全析】
[原题解析]
[2004年]
(7)若展开式中存在常数项,则n的值可以是()
A.8B.9C.10D.12
【答案】C。
【解析】展开式的通项公式为。
令有解,即有解。
因此n是5的倍数。
故选项为C。
[2005年]
(5)在的展开式中,含的项的系数是()
A.74B.121C.-74D.-121
【答案】D。
【解析】利用等比数列的前n项公式化简代数式;利用二项展开式的通项公式求出含x4的项的系数,即是代数式的含x3的项的系数:
∵
中x4的系数为,中x4的系数为,
∴中x3的系数为5-126=-121。
故选D。
[2006年]
(8)若多项式
则()
A.9B.10C.-9D.-10
【答案】D。
【解析】∵,
∴题中只是展开式中的系数。
∴。
故选D。
[2007年]
(6)展开式中的常数项是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,由,得,代入,得常数项为C
[2008年]
(4)在的展开式中,含的项的系数是()
A.-15B.85C.-120D.274
【答案】A。
【解析】∵含x4的项是由(x―1)(x―2)(x―3)(x―4)(x―5)的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数
∴展开式中含x4的项的系数是(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15。
故选A。
[2009年]
(4)在二项式的展开式中,含的项的系数是()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】对于,对于,则的项的系数是
[2011年]
(13)设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B,若,则的值是。
【答案】2,
【解析】由题意得,∴,。
又∵,∴,解之得。
又∵,∴。
[2012年]
(14)若将函数表示为
其中,,,…,为实数,则=____________.
【答案】10
【解析】
x5=[(1+x)-1]5,故a3为[(1+x)-1]5的展开式中(1+x)3的系数,由二项展开式的通项公式得Tr+1=(1+x)r·(-1)5-r
令r=3,得T4=(1+x)3·(-1)2=10(1+x)3.故a3=10.
[2013年]
(11)设二项式的展开式中常数项为,则.
【答案】-10
【解析】:
Tr+1==.
令15-5r=0,得r=3,所以A=(-1)3==-10.
[2014年]
(5)在的展开式中,记项的系数为,则()
A.45B.60C.120D.210
【答案】C
【解析】由题意可得,故选C
[2015年]
(04)
(1)已知为正整数,在与展开式中项的系数相同,求n的值.
【答案】
【解析】
[2016年]
(04)
(1)已知,求的值。
【答案】21
【解析】
[2017年]
(14)已知多项式,
则=,=.
【答案】16,4
【解析】
[2018年]
(14)二项式的展开式的常数项是___________.
【答案】
【解答】通项.
,∴.∴常数项为.
[附文科试题]
[2005年]
(5)在的展开式中,含的项的系数是()
A.B.6C.-10D.10
【答案】B
[2006年]
(2)在二项式的展开式中,含的项的系数是()
A.15B.20C.30D.40
【答案】B
三、不妨猜猜题?
从考试说明来看,二项式定理主要解决与二项展开有关的问题,从考题来看,每一年均有一题,难度为中等,从未改变。
命题主要集中在常数项,某项的系数,幂指数等知识点上。
掌握二项式定理主要以通项为抓手,由通项可解决常数项问题、某项的系数问题,系数要注意二项式系数与展开项的系数的区别。
尤其要加强求二个二项式相乘的展开式中某项系数的训练,高考出现的频率很高。
A组
1.若二项式(x2−2x)n的展开式中二项式系数的和是64,则展开式中的常数项为
A.-240B.-160C.160D.240
【答案】D
【解析】由已知得到2n=64,所以n=6,
所以展开式的通项为Tr+1=C6r(x2)6−r(−2x)r=C6r(−2)rx12−3r,
令12−3r=0,得到r=4,所以展开式的常数项为T5=C64(−2)4=240,故选D.
2.若(x+1)5=a5(x-1)5+…+a1(x-1)+a0,则a0和a1的值分别为( )
A.32 80B.32 40C.16 20D.16 10
【答案】A
【解析】
(x+1)5=[(x−1)+2]5的展开式的通项为Tk+1=C5k(x−1)5−k⋅2k,则a0=C55×25=32,a1=C54×24=80;故选A.
3.若(x2+2x3)n展开式存在常数项,则n的最小值为()
A.3B.4C.5D.6
【答案】C
【解析】
(x2+2x3)n的展开式的通项公式为Tr+1=Cnr•(x2)n﹣r•(2x3)r
=Cnr•2r•x2n﹣5r,r=0,1,2,…,n,
由题意可得2n﹣5r=0,
即n=5r2,由n正整数,
可得r=2时,n取得最小值5.
故选:
C.
4.若(x2−a)(x+1x)10的展开式中x6的系数为30,则a=()
A.−12B.−2C.12D.2
【答案】D
【解析】由题意二项式(x+1x)10的展开式为Tr+1=C10rx10−r(1x)r=C10rx10−2r,
展开式的x6为x2C103x4−a⋅C102x6=(C103−a⋅C102)x6,所以C103−a⋅C102=30,
解得a=2,故选D.
5.x+1x2−16展开式x2的系数为
A.−45B.−15C.15D.45
【答案】B
【解析】
由题得x+1x2-16=[(x+1x2)−1]6,
设Tr+1=C6r(x+1x2)6−r(−1)r=C6r(−1)r(x+1x2)6−r,
对于二项式(x+1x2)6−r,设其通项为Uk+1=C6−rkx6−r−k(1x2)k=C6−rkx6−r−3k,
令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,k∈N,方程的解为r=1,k=1或者r=4,k=0.
所以x+1x2-16展开式x2的系数为C61(−1)1C51+C64(−1)4C20=−15.
故答案为:
B
6.若1+x1−2x8=a0+a1x+⋅⋅⋅+a9x9,x∈R,则a1⋅2+a2⋅22+⋅⋅⋅+a9⋅29的值为
A.29B.29−1C.39D.39−1
【答案】D
【解析】
令x=0,则a8=1,令x=2,a0+2a1+22a2+.....+29a9=39
∴2a1+22a2+.....+29a9=39−1
故答案为:
D.
7.设(x2+1)(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a11(x+2)11,
则a1+a2+⋯+a11的值为()
A.-7B.−3C.2D.7
【答案】D
【解析】题中所给等式(x2+1)(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋯+a11(x+2)11中,
令x=−2可得:
4+1×−4+39=a0,即a0=−5,
令x=−1可得:
1+1×−2+39=a0+a1+a2+a3+⋯+a11,
即a0+a1+a2+a3+⋯+a11=2,
据此可知:
a1+a2+⋯+a11的值为2−−5=7.
本题选择D选项.
8.二项式(x+1x2)5的展开式中常数项为__________.所有项的系数和为__________.
【答案】532
【解析】展开式的通项为Tr+1=C5r(x)5−r(1x2)r=C5rx52−52r,
令52−52r=0,解得r=1,
所以展开式中的常数项为T2=C51=5,
令x=1,得到所有项的系数和为25=32,得到结果.
9.(x2−x+1)10展开式中所有项的系数和为_________,其中x3项的系数为_____________.
【答案】1−210
【解析】令x=1,则展开所有项的系数和为(1-1+1)10=1
若要凑成x3有以下几种可能:
一是1个x2,1个(-x),8个1,二是3个(-x),7个1,
则有C101x2∙C91-x∙C8818=-90x3
C103-x3∙C7717=-120x3
-90x3+-120x3=-210x3
故x3项的系数为-210
10.(1+2x2)(x−1x)8的展开式中x-2项前系数为_________(用数字作答),项的最大系数是__________
【答案】084
【解析】(x-1x)8通项Tr+1=C8rx8−r(−1x)r=(−1)rC8rx8−2r,
当r=5时,T6=−56x−2,当r=6时,T7=28x−4,所以x-2项前系数为0。
由二项式定理展开可得:
(x−1x)8=C80x8−C81x6+C82x4−C83x2+C84x0−C85x−2+C86x−4−C87x−6+C88x−8
(1+2x2)(x-1x)8=
2C80x10+(C80−2C81)x8−(C81−2C82)x6+(C82−2C83)x4−(C83−2C84)x2+(C84−2C85)x0−(C85−2C86)x−2+(C86−2C87)x−4−(C87−2C88)x−6+C88x−8
所以最大项为−(C83−2C84)x2,即84x2。
所以填0和84。
11.已知(1+ax)(1+x)6的展开式中x3的系数为−10,则a=__________,此多项式的展开式中含x的奇数次幂项的系数之和为__________.
【答案】-2-32
【解析】由题意的,展开式中含x3的系数为C63+AC62=20+15a=−10,解得a=−2,
令fx=(1−2x)(1+x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a7x7,
令x=1,则a0+a1+a2+⋯+a7=64;令x=−1,则a0−a1+a2+⋯−a7=0,
两式相减,则展开式中含x奇次幂的系数之和为a1+a3+a5+a7=f
(1)−f(−1)2=−32.
12.若(x+y)(2x−y)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2+a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6,则a4=__________,a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=__________.
【答案】402
【解析】2x−y5的二项展开式通项为Tr+1=C5r(2x)5−r(−y)r=C5r25−r(−1)rx5−ryr,
令r=3得T4=−40x2y3;令r=2得T3=80x3y2,
再与x+y相乘,可得x3y3的系数为−40+80=40,∴a4=40.
在(x+y)(2x-y)5=a1x6+a2x5y+a3x4y2+a4x3y3+a5x2y4+a6xy5+a7y6中,令x=y=1得a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=(1+1)(2−1)5=2.
B组
1.( 1+1x2 ) ( 1+x )6展开式中x2的系数为()
A.15B.20C.30D.35
【答案】C
【解析】当( 1+1x2 )选择1时,( 1+x )6展开式选择x2的项为C62x2
;当(( 1+1x2 )选择1x2时,( 1+x )6展开式选择x2的项为C64x4,
所以(( 1+1x2 ) ( 1+x )6展开式中x2的系数为C62+C64=30.
故选C.
2.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)(n∈N*)的展开式中,一次项的系数为()
A.Cnn−1B.Cn2C.Cn+12D.12Cn+12
【答案】C
【解析】
由题意,可得展开式中一次项的系数为1+2+3+…+n==,故选C.
3.若x+2x2n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是第( )项()
A.4B.3C.2D.1
【答案】B
【解析】
x+2x2n展开式中只有第六项的二项式系数最大,
∴Cn5最大,n=10;
∴展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅x10-r⋅2x2r=2r⋅C10r⋅x5-5r2
令5-5r2=0,解得r=2,即展开式中的常数项是第3项.故选:
B
4.已知x+22x−15=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a0+a2+a4=()
A.123B.91C.-152D.-120
【答案】C
【解析】
在(x+2)(2x﹣1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6中,
取x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3,
取x=﹣1,得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6=﹣243,
∴2(a0+a2+a4+a6)=﹣240,即a0+a2+a4+a6=﹣120,
又a6=C50×25=32,
∴a0+a2+a4=﹣152.
故答案为:
C.
5.在(1+x)2+(1+x)3+⋅⋅⋅+(1+x)10的展开式中,含x2项的系数为()
A.45B.55C.120D.165
【答案】D
【解析】(1+x)2+(1+x)3+⋅⋅⋅+(1+x)10的展开式中含x2项的系数为C22+C32+C42+…+C102=C113=165.
故选D.
6.已知:
,则()
A.-28B.-448C.112D.448
【答案】A
【解析】x(x-2)8=x-1+1x-1-18,
当第一个因子取x-1时,第二个因子取C83x-15-13=-56
当第一个因子取1时,第二个因子取C82x-16-12=28
故a6=-56+28=-28
故选:
A
7.若2x
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- 浙江省 基于 高考 试题 复习资料 二项式 定理 解析