初二分式方程的应用专题及分式方程复习讲义教师版Word格式文档下载.doc
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设步行速度为x千米/时,骑车速度为2x千米/时,依题意,得:
【例5】农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机,一部分人骑自行车先走,40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两车的速度.
设自行车的速度为x千米/小时,那么汽车的速度为3x千米/小时,
依题意,得:
【例6】甲乙两人同时从一个地点相背而行,1小时后分别到达各自的终点A与B;
若从原地出发,但是互换彼此的目的地,则甲将在乙到达A之后35分钟到达B,求甲与乙的速度之比。
甲走OB的时间-乙走OA的时间=35分钟
设OA=X,OB=Y,则甲的速度为X,乙的速度为Y,依提议得
二、【工程类应用性问题】
【例1】甲乙两个工程队合作一项工程,两队合作2天后,由乙队单独做1天就完成了全部工程。
已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的倍,问甲乙单独做各需多少天?
单独做所需时间
一天的工作量
实际做时间
工作量
甲
x天
2天
1
(2+1)天
甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1
【例2】甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字,乙的速度是甲的3倍,因此比甲少用20分钟完成任务,他们平均每分钟输入汉字多少个?
输入汉字数
每分钟输入个数
所需时间
1500个
x个/分
3x个/分
甲用时间=乙用时间+20(分钟)
【例3】某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷,但实际每天多收割40公顷,结果提前4天完成任务,试求原计划一天的工作量及原计划的天数。
分析1:
工作总量
一天的工作量
所需天数
原计划情况
960公顷
x公顷
实际情况
(x+40)公顷
原计划天数=实际天数+4(天)
分析2:
原计划每天工作量=实际每天工作量-40(公顷)
【例4】某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共8700元,乙、丙两队合做10天完成,厂家需付乙、丙两队共9500元,甲、丙两队合做5天完成全部工程的,厂家需付甲、丙两队共5500元.
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
⑵若工期要求不超过15天完成全部工程,问由哪个队单独完成此项工程花钱最少?
请说明理由.
⑴设甲队单独做需天完成,乙队单独做需天完成,丙队单独做需天完成,依题意可得:
经检验,x=10,y=15,z=30是原方程组的解.
⑵设甲队做一天厂家需付元,乙队做一天厂家需付元,丙队做一天厂家需付元,根据题意,得
由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队:
甲队和乙队.
此工程由甲队单独完成需花钱元;
此工程由乙队单独完成需花钱元.
所以,由甲队单独完成此工程花钱最少.
【例5】某工程需在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成;
若由乙队去做,要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天,剩下的工程由乙独做,恰好在规定日期完成,问规定日期是多少天?
解:
工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数,设为x天,
那么乙单独完成工程所需的天数就是(x+3)天.
设工程总量为1,甲的工作效率就是,乙的工作效率是,依题意,得
,解得 .
即规定日期是6天.
【例6】今年某大学在招生录取时,为了防止数据输入出错,2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍,然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩?
设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩,则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩,
依题意,得:
,解得x=11
【例7】甲乙两人做某种机器零件。
已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。
求甲、乙每小时各做多少个?
甲每小时做x个零件,做90个零件所用的时间小时。
乙每小时做(x-6)个零件,做60个零件所用的时间是小时。
甲所用时间=乙所用时间
三、【营销类应用性问题】
【例1】某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后,其平均价比原甲种原料每千克少3元,比乙种原料每千克多1元,问混合后的单价每千克是多少元?
总价值
价格
数量
2000元
4800元
混合
X元
设混合后的单价为每千克元,则甲种原料的单价为每千克元,混合后的总价值为(2000+4800)元,混合后的重量为斤,甲种原料的重量为,乙种原料的重量为,依题意,得:
+=,解得,
经检验,是原方程的根,所以.
【例2】A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次,两次饲料的价格有变化,但两位采购员的购货方式不同.其中,采购员A每次购买1000千克,采购员B每次用去800元,而不管购买饲料多少,问选用谁的购货方式合算?
两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m>
0,n>
0,m≠n),依题意,得:
采购员A两次购买饲料的平均单价为(元/千克),
采购员B两次购买饲料的平均单价为(元/千克).
而>0.
【例3】某商场销售某种商品,一月份销售了若干件,共获得利润30000元;
二月份把这种商品的单价降低了0.4元,但是销售量比一月份增加了5000件,从而获得利润比一月份多2000元,调价前每件商品的利润为多少元?
设调价前每件商品的利润为x元,二月份商品单价为(x-0.4)元,二月份获得利润32000元,一月份销售量为件,二月份销售量为件,依题意得:
路程
顺流
48千米
逆流
(x-4)千米/小时
四、【轮船顺逆水应用问题】
【例1】轮船顺流、逆流各走48千米,共需5小时,如果水流速度是4千米/小时,求轮船在静水中的速度。
顺流用时+逆流用时=5(小时)
【例2】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等,已知水流速度为2千米/时,求船在静水中的速度。
设船在静水中速度为千米/时,则顺水航行速度为千米/时,逆水航行速度为千米/时,依题意,得
=,解得.
五、【其他应用性问题】
【例1】要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%.
设加入盐千克.浓度问题的基本关系是:
=浓度.
溶液
溶质
浓度
加盐前
40
40×
15%
加盐后
40+
15%+
20%
设应加入盐千克,依题意,得=.解得.
经检验,是所列方程的根,即加入盐2.5千克.
【例2】甲容器中有15%的盐水30升,乙容器中有18%的盐水20升,如果向两个容器各加入等量的水,使它们的浓度相等,那么加入的水是多少升?
设加入的水位x升,依题意得:
《分式方程》-复习专题训练
一、选择题
1.方程=的解为( )
A.x= B.x=-C.x=-2 D.无解
2.以下是方程-=1去分母后的结果,其中正确的是( )
A.2-1-x=1B.2-1+x=1
C.2-1+x=2xD.2-1-x=2x
3.已知方程=3-有增根,则a的值为( )
A.5 B.-5C.6 D.4
4.解方程=的结果是( )
A.x=-2B.x=2C.x=4D.无解
5.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?
设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是( )
A.=B.=C.=D.=
6.某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问计划每天加工服装多少套.在这个问题中,设计划每天加工x套,则根据题意可得方程为( )
A.+=18B.+=18
C.+=18D.+=18
7.(2011中考预测题)用换元法解方程x2-2x+=8,若设x2-2x=y,则原方程化为关于y的整式方程是( )
A.y2+8y-7=0B.y2-8y-7=0
C.y2+8y+7=0D.y2-8y+7=0
8.解分式方程-=时产生增根,则m的值是( )
A.-1或-2B.-1或2C.1或2D.1或-2
9.分式方程=的解为( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3
10.若解分式方程=-1时产生增根,则m的值是( )
A.0B.1C.-1D.±
1
11.方程=的解是( )
A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4
二、填空题
12.方程-=0的解为________.
13.若分式与1互为相反数,则x的值是________.
14..当x=________时,分式的值等于2.
15.某市为治理污水,需要铺设一段全长为300m的污水排放管道.铺设120m后,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工效比原计划增加20%,结果共用30天完成这一任务,求原计划每天铺设管理的长度.如果设原计划每天铺设xm管道,那么根据题意,可得方程____________.
16.甲计划用若干天完成某项工作,在甲独立工作两天后,乙加入此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前两天完成任务.设甲计划完成此项工作的天数是x天,则x的值是________.
17.已知x+=3,则代数式x2+的值为__________.
18.在5月汛期,重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10千米/时,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水以最大速度顺流航行2千米所用的时间,与以最大速度逆流航行1.2千米所用的时间相等,请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为__________.
19.关于x的方程=1的解是正数,则a的取值范围是
三、解答题
20.解方程.
(1)=;
(2)+1=;
(3)=;
(4)--2=0.
(5)+1=;
(6)--1=0.
21某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?
(2)若甲工程队独做a天后,再由甲、乙两工程队合作________天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元,乙工程队施工每天需付施工费2.5万元,甲工程队至少要单独施工多少天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元?
22去年入秋以来,云南省发生了百年一遇的旱灾,连续8个多月无有效降水.为抗旱救灾,某部队计划为驻地村民新修水渠3600米,为了水渠能尽快投入使用,实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍,结果提前20天完成修水渠任务,问原计划每天修水渠多少米?
23.去冬今春,我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾,解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务,部队官兵到达灾区后,目睹灾情心急如焚,他们增派机械车辆,争分夺秒,每天比原计划多打3口井,结果提前5天完成任务,求原计划每天打多少口井?
附:
参考答案
一.选择题
1.【解析】=,3(x+1)=x+2,3x+3=x+2,2x=-1,x=-,经检验x=-是原方程的根.
【答案】B
2.【解析】等号两边同乘以2x,去分母后为2-1+x=2x.
【答案】C
3【解析】原式去分母后得x=3(x-5)-a,把增根x=5代入得a=-5.
4【解析】=,8=2(2+x),8=4+2x,x=2 当x=2时,4-x2=0,∴x=2是原方程的增根,∴原方程无解.
【答案】D
5.【解析】由题意知小车的速度为(x+20)千米/时,根据货车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同,得=.
6.【解析】采用新技术后的工作效率为(1+20%)x,前160套所用时间为,后来的(400-160)套,所用时间为,可列方程为+=18.
7【解析】由题意可得,y+=8,则y2-8y+7=0.
8【解析】方程两边同乘以x(x+1)得2x2-(m+1)=(x+1)2.
∵方程有增根,∴x=0或-1.
当x=0时,2×
02-(m+1)=(0+1)2,∴m=-2.
当x=-1时,2×
(-1)2-(m+1)=(-1+1)2,∴m=1,故m=1或-2.
9【解析】题方程两边同时乘以(x-3)(x-1),约去分母得x(x-1)=(x-3)(x+1),解得x=-3.
经检验:
x=-3是原方程的根.
∴分式方程的解为x=-3.
10题使分母为零的未知数的值即为增根,增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根.
∵=-1有增根,∴x-1=0,∴x=1,∴mx+1=-x+1.当x=1时,解得m=-1.
11.【答案】C
12【解析】-=0,2(x-2)-(x+1)=0,解得x=5,经检验x=5是原方程的根.
【答案】x=5
13【解析】+1=0,2+(x-1)=0,∴x=-1,经检验x=-1是原方程的根.
【答案】-1
14【解析】=2,x+3=2(x-1),x+3=2x-2,x=5,经检验x=5是原方程的根.
【答案】5
15【解析】题目中的等量关系为:
原计划铺设120m用的天数+后来180m新工效所用的天数=30.
【答案】+=30
16【解析】由题意得+=1,解得x=6.
【答案】6
17【解析】x2+=(x+)2-2=32-2=9-2=7.
【答案】7
18【解析】解:
设该冲锋舟在静水中的最大航速为x千米/时,则=,解得x=40,经检验,x=40是原方程的根,即该冲锋舟在静水中的最大航速为40千米/时.
【答案】40千米/时
19【答案】a<
-1.
三、解答题(共40分)
20.解:
(1)=,方程两边同乘以x(x+3),得2(x+3)=3x,整理得2x+6=3x,x=6,经检验x=6是原方程的解,∴原方程的解是x=6.
(2)+1=,方程两边同乘以(x-2),得(x-3)+(x-2)=-3,去括号,得x-3+x-2=-3,合并同类项,得2x-5=-3,2x=2,∴x=1,经检验x=1是原方程的解,∴原方程的解为x=1.
(3)=,方程两边同乘以x(3x-2)得3x-2=x2,即x2-3x+2=0,∴(x-2)(x-1)=0,∴x1=2,x2=1,经检验x1=2,x2=1都是原方程的解,∴原方程的解为x1=2,x2=1.
(4)解法一:
去分母,得(x-1)2-x(x-1)-2x2=0,
化简,得2x2+x-1=0,解得x1=-1,x2=.
经检验x1=-1,x2=是原方程的解.
∴原方程的解为x1=-1,x2=.
解法二:
令=t,原方程可化为:
t2-t-2=0,
解得t1=2,t2=-1.
当t=2时,=2,解得x=-1,
当t=-1时,=-1,解得x=.
经检验,x=-1,x=是原方程的解.
(5)方程两边同时乘以x(x+1),约去分母,得
x2+x(x+1)=(2x+1)(x+1).解得x=-.
经检验,x=-是原方程的根.
所以,原方程的解为x=-.
(6)方程两边同时乘以x(x-1),约去分母,得
x2-(2x-2)(x-1)-x(x-1)=0
解得x=或x=2.
经检验,x=或x=2都是原方程的根.
所以原方程的解为x=或x=2.
21.【解析】列分式方程解决实际问题,要特别注意解的合理性,需检验求出的未知数的值是否是原方程的根以及是否符合题意.
解
(1)设乙单独做x天完成此项工程,则甲单独做(x+30)天完成此项工程,由题意,得20(+)=1.
整理,得x2-10x-600=0.
解得x1=30,x2=-20.
经检验,x1=30,x2=-20都是分式方程的解,但x2=-20不符合题意,舍去.
当x=30时,x+30=60.
答:
甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天.
(2)合作(20-)天
(3)由题意,得1×
a+(1+2.5)(20-)≤64.
解得a≥36.
即甲工程队至少单独施工36天后,再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程,才能使施工费不超过64万元.
22解:
设原计划每天修水渠x米,
根据题意得:
-=20,解得x=80.
经检验,x=80是原分式方程的解.
23解:
设原计划每天打x口井,由题意可列方程-=5,
去分母,得30(x+3)-30x=5x(x+3).
整理,得x2+3x-18=0.
解得x1=3,x2=-6(不合题意,舍去).
经检验,x1=3是方程的根.
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