精品新人教版A版高考数学理科一轮复习12 命题及其关系充分条件与必要条件优质课教案Word文档下载推荐.docx
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(5)若p⇒/ q且q⇒p,则p是q的必要不充分条件;
(6)若p⇒/ q且q⇒/ p,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.利用集合间的包含关系判断:
记条件p,q对应的集合分别是A,B,则
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;
(2)若AB,则p是q的充分不必要条件,或q是p的必要不充分条件;
(3)若A=B,则p是q的充要条件;
(4)若A⃘B,且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
3.等价法:
利用p⇒q与綈q⇒綈p,q⇒p与綈p⇒綈q,p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系.
2.“(2x-1)x=0”是“x=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
由(2x-1)x=0可得x=
或0,所以“x=
或0”是“x=0”的必要不充分条件.
B
3.已知条件p:
x≤1,条件q:
<
1,则綈p是q的( )
由x>
1得
<
1;
反过来,由
1不能得知x>
1,即綈p是q的充分不必要条件,选A.
A
4.(2015·
高考湖北卷)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:
l1,l2是异面直线;
q:
l1,l2不相交,则( )
A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
C.p是q的充分必要条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
两直线异面,则两直线一定无交点,即两直线一定不相交;
而两直线不相交,有可能是平行,不一定异面,故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件,故选A.
考点一 命题及其相互关系|
1.(2015·
高考山东卷)设m∈R,命题“若m>
0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
由原命题和逆否命题的关系可知D正确.
D
2.下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>
y,则x>
|y|”的逆命题
B.命题“若x>
1,则x2>
1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>
0,则x>
1”的逆否命题
A中逆命题为“若x>
|y|,则x>
y”是真命题;
B中否命题为“若x≤1,则x2≤1”是假命题;
C中否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”是假命题;
D中原命题是假命题,从而其逆否命题也为假命题.
3.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①“若log2a>
0,则函数f(x)=logax(a>
0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;
②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;
③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
对于①,若log2a>
0=log21,则a>
1,所以函数f(x)=logax在其定义域内是增函数,故①不正确;
对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;
对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;
对于④,不难看出,命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.
②④
命题真假的两种判断方法
(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.
(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.
考点二 充分条件和必要条件的判定|
(1)(2015·
高考四川卷)设a,b为正实数,则“a>
b>
1”是“log2a>
log2b>
0”的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
[解析] 因为y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以a>
0,log2a>
log21=0,所以“a>
0”的充要条件.
[答案] A
(2)(2015·
高考北京卷)设a,b是非零向量,“a·
b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
[解析] 若a·
b=|a||b|,则a与b的方向相同,所以a∥b.若a∥b,则a·
b=|a||b|,或a·
b=-|a||b|,所以“a·
b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件,选A.
判断充分条件与必要条件的两个注意点:
(1)要注意弄清条件p和结构q分别是什么,然后尝试p⇒q,q⇒p.
(2)要注意对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.
高考湖南卷)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )
结合韦恩图(图略)可知,A∩B=A,得A⊆B,反之,若A⊆B,即集合A为集合B的子集,故A∩B=A,故“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,选C.
考点三 充要条件的应用|
已知p:
x2-2mx-15m2≤0(m>
0);
x2-3x-10≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.
[解析] 本题考查充分必要条件、一元二次不等式等基础知识.
若p真,则-3m≤x≤5m;
若q真,则-2≤x≤5;
因为綈p是綈q的必要不充分条件,
所以p是q的充分不必要条件,
所以
∴0<
m≤
,
所以实数m的取值范围为
.
[答案]
利用充要条件求参数的值或范围的一个关键点、一个注意点:
(1)关键点:
是合理转化条件,准确将每个条件对应的参数的范围求出来,然后转化为集合的运算.
(2)注意点:
注意区间端正值的检验,易忽视.
2.已知α:
x≥a,β:
|x-1|<
1.若α是β的必要不充分条件,则实数a的取值范围为________.
α:
x≥a,可看作集合A={x|x≥a},
∵β:
1,∴0<
x<
2,
∴β可看作集合B={x|0<
2}.
又∵α是β的必要不充分条件,
∴BA,∴a≤0.
(-∞,0]
1.等价转化思想在充要条件中的应用
【典例】 已知条件p:
≤-1,条件q:
x2-x<
a2-a,且綈q的一个充分不必要条件是綈p,则a的取值范围是________.
[思路点析] “綈q的一个充分不必要条件是綈p”等价于“p是q的一个必要不充分条件”.
[解析] 由
≤-1,得-3≤x<
1.
由x2-x<
a2-a,得(x-a)[x+(a-1)]<
0,
当a>
1-a,即a>
时,不等式的解为1-a<
a;
当a=1-a,即a=
时,不等式的解为∅;
当a<
1-a,即a<
时,不等式的解为a<
1-a.
由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,即p为q的一个必要不充分条件,即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集.
时,由{x|1-a<
a}{x|-3≤x<
1},得
解得
a≤1;
当a=
时,因为空集是任意一个非空集合的真子集,所以满足条件;
时,由{x|a<
1-a}{x|-3≤x<
解得0≤a<
综上,a的取值范围是[0,1].
[答案] [0,1]
[思路点评]
(1)本题用到的等价转化
①将綈p,綈q之间的关系转化成p,q之间的关系.
②将条件之间的关系转化成集合之间的关系.
(2)对一些复杂、生疏的问题,利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题在解题中经常用到.
[跟踪练习] 若“x2>
1”是“x<
a”的必要不充分条件,则a的最大值为________.
由x2>
1,得x<
-1,或x>
1,
又“x2>
a”的必要不充分条件,知由“x<
a”可以推出“x2>
1”,反之不成立,所以a≤-1,即a的最大值为-1.
-1
A组 考点能力演练
1.命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是( )
A.若a2+b2≠0,虽a≠0且b≠0
B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0
C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0
D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0
先确定逆命题为“若a=0且b=0,则a2+b2=0”,再将逆命题否定为“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”,故选D.
2.“x1>
3且x2>
3”是“x1+x2>
6且x1x2>
9”的( )
x1>
3,x2>
3⇒x1+x2>
6,x1x2>
9;
反之不成立,例如x1=
,x2=20.故选A.
3.(2016·
沈阳一模)“x<
0”是“ln(x+1)<
设命题p:
0,命题q:
ln(x+1)<
0,由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知
所以-1<
0,即命题q为-1<
0.可知命题q⇒p,而p
q.所以p是q的必要不充分条件,所以选B.
4.设a,b为两个非零向量,则“a·
b=|a·
b|”是“a与b共线”的( )
设a,b的夹角为θ.由a·
b|得:
|a||b|·
cosθ=|a||b|·
|cosθ|,|a||b|(cosθ-|cosθ|)=0,即|a||b|=0(舍)因为a,b非零,或cosθ≥0,所以由a·
b|
a与b共线,反过来,当a=-b时,虽然“a与b共线”,但是“a·
b|”不成立,所以“a·
b|”是“a与b共线”的既不充分也不必要条件.故选D.
5.已知p:
x>
1或x<
-3,q:
a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.(-∞,1]
C.[-3,+∞)D.(-∞,-3]
法一:
设P={x|x>
-3},Q={x|x>
a},因为q是p的充分不必要条件,所以QP,因此a≥1,故选A.
法二:
令a=-3,则q:
-3,则由命题q推不出命题p,此时q不是p的充分条件,排除B,C,D,选A.
6.(2016·
成都一诊)设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是________.
找出命题的条件和结论,将命题的条件与结论互换,“若p,则q”的逆命题是“若q,则p”,故命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是“若|a|=|b|,则a=-b”.
若|a|=|b|,则a=-b
7.(2015·
盐城一模)给出以下四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;
④若ab是正整数,则a,b都是正整数.
其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)
①命题“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,显然①为真命题;
②不全等的三角形的面积也可能相等,故②为假命题;
③原命题正确,所以它的逆否命题也正确,故③为真命题;
④若ab是正整数,则a,b不一定都是正整数,例如a=-1,b=-3,故④为假命题.
①③
8.设条件p:
实数x满足x2-4ax+3a2<
0,其中a<
0;
条件q:
实数x满足x2+2x-8>
0,且q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________.
本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法.由x2-4ax+3a2<
0得3a<
a,由x2+2x-8>
0得x<
-4或x>
2,因为q是p的必要不充分条件,则
所以a≤-4.
(-∞,-4]
9.写出命题“已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
解:
(1)逆命题:
已知a,b∈R,若a2≥4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0有非空解集,为真命题.
(2)否命题:
已知a,b∈R,若关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,则a2<
4b,为真命题.
(3)逆否命题:
已知a,b∈R,若a2<
4b,则关于x的不等式x2+ax+b≤0没有非空解集,为真命题.
10.已知(x+1)(2-x)≥0的解为条件p,关于x的不等式x2+mx-2m2-3m-1<
的解为条件q.
(1)若p是q的充分不必要条件时,求实数m的取值范围.
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件时,求实数m的取值范围.
(1)设条件p的解集为集合A,则A={x|-1≤x≤2},
设条件q的解集为集合B,则B={x|-2m-1<
m+1},
若p是q的充分不必要条件,则A是B的真子集
,解得m>
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件,则B是A的真子集
解得-
m≤0.
B组 高考题型专练
1.(2014·
高考新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:
f ′(x0)=0;
x=x0是f(x)的极值点,则( )
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
由于q⇒p,则p是q的必要条件;
而p
q,如f(x)=x3在x=0处f ′(0)=0,而x=0不是极值点,故选C.
2.(2015·
高考重庆卷)“x>
1”是“log
(x+2)<
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
由log
0,得x+2>
1,解得x>
-1,所以“x>
0”的充分而不必要条件,故选B.
3.(2015·
高考安徽卷)设p:
1<
2,q:
2x>
1,则p是q成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
1⇔x>
0,且(1,2)⊆(0,+∞),所以p是q的充分不必要条件.
高考福建卷)“对任意x∈
,ksinxcosx<
x”是“k<
1”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
因为x∈
,所以sin2x>
0.任意x∈
x,等价于任意x∈
,k<
.当x∈
时,0<
2x<
π,设t=2x,则0<
t<
π.设f(t)=t-sint,则f′(t)=1-cost>
0,所以f(t)=t-sint在(0,π)上单调递增,所以f(t)>
0,所以t>
sint>
0,即
>
1,所以k≤1.所以任意x∈
,等价于k≤1.因为k≤1
k<
1,但k≤1⇐k<
1,所以“对任意x∈
1”的必要而不充分条件,故选B.
5.(2015·
高考北京卷)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )
若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;
而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.
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