二次函数与几何图形的综合有解析中考数学复习专题Word格式.docx
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解得x1=-2,x2=8.
∴点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0);
(2)当x=0时,y=-14x2+32x+4=4,
∴点C的坐标为(0,4).
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0).
将B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b,得
8k+b=0,b=4,解得k=-12,b=4,
∴直线BC的解析式为y=-12x+4.
设点M的坐标为m,-14m2+32m+4,则点N的坐标为m,-12m+4,
∴MN=-14m2+32m+4--12m+4
=-14m2+2m.
又∵MN=3,∴-14m2+2m=3.
当-14m2+2m≥0,即0≤m≤8时,-14m2+2m=3,解得m1=2,m2=6,
此时点M的坐标为(2,6)或(6,4).
同理,当-14m2+2m<0,即m>
8或m<
0时,点M的坐标为(4-27,7-1)或(4+27,-7-1).
综上所述,点M的坐标为(2,6),(6,4),(4-27,7-1)或(4+27,-7-1).
1.(2018•安顺中考改编)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3).
(1)若直线y=mx+n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标.
解:
(1)依题意,得
-b2a=-1,a+b+c=0,c=3,
解得a=-1,b=-2,c=3,
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
令y=0,则-x2-2x+3=0,
解得x1=1,x2=-3,
∴点B(-3,0).
把B(-3,0),C(0,3)代入y=mx+n,得
-3m+n=0,n=3,
解得m=1,n=3,
∴直线BC的解析式为y=x+3;
(2)设直线BC与x=-1的交点为M,连接AM.
∵点A,B关于抛物线的对称轴对称,
∴MA=MB,
∴MA+MC=MB+MC=BC,
∴当点M为直线BC与x=-1的交点时,MA+MC的值最小.
把x=-1代入y=x+3,得y=2,
∴M(-1,2).
二次函数与图形的面积
例2 (2018•达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(72,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积.
(1)设交点式y=axx-72,然后把A点坐标代入求出a,即可得到抛物线的解析式;
(2)延长CA交y轴于点D,易得OA=2,∠DOA=45°
则可判断△AOD为等腰直角三角形,由此可求出D点坐标,利用待定系数法求出直线AD的解析式,再结合抛物线的解析式可得关于x的一元二次方程,解方程可得点C的坐标,利用三角形面积公式及S△AOC=S△COD-S△AOD进行计算,进而得出△AOC的面积.
(1)设抛物线的解析式为y=axx-72.
把A(1,1)代入y=axx-72,可得a=-25,
∴抛物线的解析式为y=-25xx-72,
即y=-25x2+75x;
(2)延长CA交y轴于点D.
∵A(1,1),∠OAC=90°
∴OA=2,∠DOA=45°
∴△AOD为等腰直角三角形,
∴OD=2OA=2,∴D(0,2).
由点A(1,1),D(0,2),得直线AD的解析式为y=-x+2.
令-25x2+75x=-x+2,解得x1=1,x2=5.
当x=5时,y=-x+2=-3,∴C(5,-3),
∴S△AOC=S△COD-S△AOD=12×
2×
5-12×
1=4.
2.(2018•眉山中考改编)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l:
x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.
(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大?
并求出其最大值.解:
(1)由抛物线的对称性易得D(3,0),设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3).
把A(0,3)代入y=a(x-1)(x-3),得3=3a,
解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3;
(2)由题意知P(m,m2-4m+3).
∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°
∴∠AOE=45°
∴△AOE是等腰直角三角形,
∴AE=OA=3,
∴E(3,3).
易得OE的解析式为y=x.
过点P作PG∥y轴,交OE于点G,则G(m,m),
∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3.
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE
=12×
3×
3+12PG•AE
=92+12×
(-m2+5m-3)×
3
=-32m2+152m
=-32m-522+758.
∵-32<0,
∴当m=52时,四边形AOPE的面积最大,最大值是758.
二次函数与特殊三角形
例3 (2018•枣庄中考改编)如图,已知二次函数y=ax2+32x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B,C,点C坐标为(8,0),连接AB,AC.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标.
(1)根据待定系数法即可得出答案;
(2)分别以A,C两点为圆心,AC长为半径画弧,与x轴交于三个点,由AC的垂直平分线与x轴交于一个点,即可求得点N的坐标.
(1)∵二次函数y=ax2+32x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点C(8,0),
∴c=4,64a+12+c=0,解得a=-14,c=4,
∴二次函数的表达式为y=-14x2+32x+4;
(2)∵A(0,4),C(8,0),
∴AC=42+82=45.
①以点A为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则AN=AC,故△NAC是以NC为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(-8,0);
②以点C为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于点N,则CN=CA,故△ACN是以NA为底边的等腰三角形,此时N点坐标为(8-45,0)或(8+45,0);
③作AC的垂直平分线,交x轴于点N,则NA=NC,故△ANC是以AC为底边的等腰三角形,此时点N为BC的中点.令y=-14x2+32x+4=0,解得x1=8,x2=-2,此时N点坐标为(3,0).
综上所述,点N在x轴上运动,当以点A,N,C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标为(-8,0),(8-45,0),(3,0)或(8+45,0).
3.(2018•兰州中考)如图,抛物线y=ax2+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点,与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求证:
AB平分∠CAO;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形?
若存在,求出点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)解:
将A(-3,0),B(5,-4)代入y=ax2+bx-4,得
9a-3b-4=0,25a+5b-4=-4,解得a=16,b=-56,
∴抛物线的表达式为y=16x2-56x-4;
(2)证明:
∵AO=3,OC=4,
∴AC=5.
取D(2,0),则AD=AC=5.
由两点间的距离公式可知BD=(5-2)2+(-4-0)2=5.∵C(0,-4),B(5,-4),∴BC=5.
∴AD=AC=BD=BC.
∴四边形ACBD是菱形,
∴∠CAB=∠BAD,∴AB平分∠CAO;
(3)解:
如图,抛物线的对称轴交x轴与点E,交BC与点F,
过点A,B分别作M′A⊥AB,MB⊥AB,交对称轴于点M′,M.
抛物线的对称轴为x=52,
AE=115.
∵A(-3,0),B(5,-4),∴tan∠EAB=12.
∵∠M′AB=90°
∴tan∠M′AE=2.∴M′E=2AE=11,∴M′52,11.
同理,tan∠MBF=2.
又∵BF=52,∴FM=5,∴M52,-9.
综上所述,抛物线的对称轴上存在点M52,11或52,-9,使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形.
二次函数与四边形
例4 (2018•河南中考改编)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=x-5经过点B,C.
(2)过点A的直线交直线BC于点M,当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;
(1)利用直线BC的解析式确定点B,C的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)先利用抛物线的解析式求出A点坐标,再判断△OCB为等腰直角三角形,继而得到∠OBC=∠OCB=45°
则△AMB为等腰直角三角形,进而求出点M的坐标,根据抛物线和直线BC的解析式设点P,Q的坐标,根据平行四边形的对角线互相平分,即可列出等式方程,解方程即可得到点P的横坐标.
(1)当x=0时,y=-5,则C(0,-5).
当y=0时,y=x-5=0,解得x=5,则B(5,0).
把B(5,0),C(0,-5)代入y=ax2+6x+c,得
25a+30+c=0,c=-5,解得a=-1,c=-5,
∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-5;
(2)令y=-x2+6x-5=0,解得x1=1,x2=5,
∴A(1,0).
∵B(5,0),C(0,-5),∠BAC=90°
∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°
.
又∵AM⊥BC,∴△AMB为等腰直角三角形,
∴AM=22AB=22×
4=22.
∵以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,
∴AM∥PQ,∴PQ=AM=22,PQ⊥BC.
作PD⊥x轴交直线BC于点D,则∠PDQ=45°
∴PD=2PQ=2×
22=4.
设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5).
当点P在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4,解得m1=1(舍去),m2=4;
当点P在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4,解得m3=5+412,m4=5-412.
综上所述,点P的横坐标为4,5+412或5-412.
4.(2018•济宁中考改编)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(-1,0),C(0,-3).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点P的坐标;
若不存在,请说明理由. 解:
(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入y=ax2+bx+c,得
9a+3b+c=0,a-b+c=0,c=-3,解得a=1,b=-2,c=-3,
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形.
设直线BC的解析式为y=kx-3,
把B(-1,0)代入,得-k-3=0,即k=-3,
∴直线BC的解析式为y=-3x-3.
设Q(x,0),P(m,m2-2m-3).
当四边形BCQP为平行四边形时,BC∥PQ,且BC=PQ.
由B(-1,0),C(0,-3),得点P的纵坐标为3,即m2-2m-3=3,解得m=1±
7,
此时P(1+7,3)或P(1-7,3);
当四边形BCPQ为平行四边形或四边形是以BC为对角线的平行四边形时,点P的纵坐标为-3,即m2-2m-3=-3,解得m=0或m=2,此时P(2,-3).
综上所述,存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,P的坐标为(1+7,3)或(1-7,3),(2,-3).
二次函数与相似三角形
例5 (2018•德州中考改编)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x-1与抛物线y=-x2+bx+c交于A,B两点,其中A(m,0),B(4,n),该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.
(1)求m,n的值及该抛物线的解析式;
(2)连接BD,CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与△ABD相似?
若存在,请求出点Q的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)把点A,B的坐标代入y=x-1求出m与n的值,确定点A,B的坐标,然后代入y=-x2+bx+c求出b与c的值即可;
(2)由点C,D的坐标易得直线BC的解析式为y=x-5,再由直线AB的解析式易得AB∥CD,因此∠ADC=∠BAD.分类讨论:
当△DAQ∽△ABD或△DQA∽△ABD时,根据对应边成比例求出DQ的长,即可求出点Q的坐标.
(1)把点A(m,0),B(4,n)代入y=x-1,得m=1,n=3,
∴A(1,0),B(4,3).
∵y=-x2+bx+c经过A,B两点,
∴-1+b+c=0,-16+4b+c=3,解得b=6,c=-5,
∴该抛物线的解析式为y=-x2+6x-5;
(2)在线段CD上存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与△ABD相似.
由
(1)中结果可知C(0,-5),D(5,0),
∴直线CD的解析式为y=x-5.
又∵直线AB的解析式为y=x-1,
∴AB∥CD,∴∠BAD=∠ADC.
设Q(x,x-5)(0≤x<
5).
当△ABD∽△DAQ时,ABDA=ADDQ,
即324=4DQ,解得DQ=823,
由两点间的距离公式,得(x-5)2+(x-5)2=8232,解得x=73或x=233(舍去),此时Q73,-83;
当△ABD∽△DQA时,ABDQ=ADDA=1,即DQ=32,
∴(x-5)2+(x-5)2=(32)2,
解得x=2或x=8(舍去),此时Q(2,-3).
综上所述,点Q的坐标为(2,-3)或73,-83.
5.(2018•深圳中考改编)已知顶点为A的抛物线y=ax-122-2经过点B-32,2.
(2)如图,直线AB与x轴相交于点M,与y轴相交于点E,抛物线与y轴相交于点F,在直线AB上有一点P,若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积.解:
(1)把点B-32,2代入y=ax-122-2,解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=x-122-2,
即y=x2-x-74;
(2)由
(1)中结果得A12,-2,F0,-74.
设直线AB的解析式为y=kx+b,由点A,B的坐标,得-2=12k+b,2=-32k+b,解得k=-2,b=-1,
∴直线AB的解析式为y=-2x-1,
∴OE=1,FE=34.
若∠OPM=∠MAF,则当OP∥AF时,△OPE∽△FAE,∴OPFA=OEFE=134=43,
∴OP=43FA=43×
12-02+-2+742=53.
设点P(t,-2t-1),则OP=t2+(-2t-1)2=53,
即(15t+2)(3t+2)=0,解得t1=-215,t2=-23.
由对称性知,当t1=215时,也满足∠OPM=∠MAF,
∴t1,t2的值都满足条件.
∵S△POE=12OE•|t|,
∴当t=-215时,S△OPE=12×
1×
215=115;
当t=-23时,S△OPE=12×
23=13.
综上所述,△POE的面积为115或13.
中考专题过关
1.(2018•自贡中考改编)如图,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0)两点,直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点.
(1)求直线AD及抛物线的解析式;
(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?
(1)把(1,0),(-3,0)代入y=ax2+bx-3,得
a+b-3=0,9a-3b-3=0,解得a=1,b=2,
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.
当x=-2时,y=(-2)2+2×
(-2)-3=-3,
即D(-2,-3).
设直线AD的解析式为y=kx+b′.
将A(1,0),D(-2,-3)代入,得
k+b′=0,-2k+b′=-3,解得k=1,b′=-1,
∴直线AD的解析式为y=x-1;
(2)由
(1)可得P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),
∴l=(m-1)-(m2+2m-3),
即l=-m2-m+2(-2≤m≤1),
配方,得l=-m+122+94,
∴当m=-12时,PQ最长.
2.(2018•中考改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0).
(2)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△ABP的面积最大,求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积.
(1)∵抛物线y=ax2+bx-5交y轴于点A,交x轴于点B(-5,0)和点C(1,0),
∴25a-5b-5=0,a+b-5=0,解得a=1,b=4,
∴该抛物线的解析式为y=x2+4x-5;
(2)设点P的坐标为(p,p2+4p-5),如图.
由点A(0,-5),B(-5,0)得直线AB的解析式为y=-x-5.
当x=p时,y=-p-5.
∵OB=5,
∴S△ABP=(-p-5)-(p2+4p-5)2•5
=-52p+522-254.
∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,
∴-5<p<0,
∴当p=-52时,S取得最大值,
此时S=1258,点P的坐标是-52,-354,
即当点P的坐标为-52,-354时,△ABP的面积最大,此时△ABP的面积是1258.
3.(2018•泰安中考改编)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,-2),连接AE.
(1)求二次函数的表达式;
(2)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?
若存在,请求出所有P点坐标;
(1)∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A(-4,0),B(2,0),C(0,6),
∴16a-4b+c=0,4a+2b+c=0,c=6,解得a=-34,b=-32,c=6,
∴二次函数的表达式为y=-34x2-32x+6;
(2)在抛物线对称轴上存在点P,使△AEP为等腰三角形.
∵抛物线y=-34x2-32x+6的对称轴为x=-1,∴设P(-1,n).
又∵E(0,-2),A(-4,0),
∴PA=9+n2,PE=1+(n+2)2,
AE=16+4=25.
当PA=PE时,9+n2=1+(n+2)2,
解得n=1,此时P(-1,1);
当PA=AE时,9+n2=25,
解得n=±
11,此时P(-1,±
11);
当PE=AE时,1+(n+2)2=25,
解得n=-2±
19,此时P(-1,-2±
19).
综上所述,点P的坐标为(-1,1),(-1,±
11)或(-1,-2±
4.(2018•上海中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=-12x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B0,52,顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°
点C落在抛物线上的点P处.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求线段CD的长;
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O,D,E,M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.
(1)把A(-1,0),B0,52代入y=-12x2+bx+c,得
-12-b+c=0,c=52,解得b=2,c=52,
∴这条抛物线的表达式为y=-12x2+2x+52;
(2)∵y=-12(x-2)2+92,
∴C2,92,抛物线的对称轴为直线x=2.
如图,设CD=t,则D2,92-t.
由题意,得∠PDC=90°
DP=DC=t,
∴P2+t,92-t
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