JJ冀教版 八年级数学 下册第二学期春 教学设计 教案 第十九章 平面直角坐标系第19单元全章 电子教案.docx
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JJ冀教版八年级数学下册第二学期春教学设计教案第十九章平面直角坐标系第19单元全章电子教案
第十九章平面直角坐标系
19.1确定平面上物体的位置
1.理解在平面内确定一个物体的位置一般需要两个数据;(重点)
2.灵活运用不同的方法确定物体的位置.(难点)
一、情境导入
“怪兽吃豆”是一种计算机游戏,如图所示的标志表示“怪兽”先后经过的几个位置.如果用(1,2)表示“怪兽”按图中箭头所指路线经过的第三个位置,那么你能用同样的方式表示图中“怪兽”经过的其他几个位置吗?
二、合作探究
探究点一:
用有序实数对确定点的位置
如图,棋子B在(2,1)处,用有序数对表示出图中另外六枚棋子的位置.
解析:
根据棋子B在(2,1)处,确定棋子B所在行与列的顺序,再由此利用有序数对表示出其他各棋子的位置.
解:
A(0,0),C(3,3),D(1,2),E(4,1),F(2,4),G(5,4).
方法总结:
利用有序数对表示点的位置的“三步法”:
(1)明确有序数对中行与列的表示顺序;
(2)由已知点确定起始行与列;(3)用有序数对表示所求各点的位置.
探究点二:
方位法确定位置
一家超市的位置如图,则学校在这家超市的什么位置?
解析:
用方向定位法确定物体的位置时,一般先考虑方向,然后再确定距离.
解:
学校在超市的南偏西60°方向,且距离超市500米处.
方法总结:
确定位置的方法有多种,但都需要两个数据.方向定位法所需的两个数据:
一是方位角;二是距离.要避免出现缺少其中一个数据的错解.
3、
板书设计
将现实生活中常用的定位方法呈现给学生,进一步丰富学生的数学活动经验,培养学生观察、分析、归纳、概括的能力.教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境;另一方面,为学生创造自主学习、合作交流的机会,促使他们主动参与、积极探究.
19.2平面直角坐标系
第1课时平面直角坐标系
1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念;(重点)
2.能在给定的直角坐标系中,由点的位置写出它的坐标.(难点)
一、情境导入
我们已经学过了数轴,知道数轴上的点与实数一一对应,在建立了数轴之后,我们就可以确定直线上点的位置,如图.
那么,如何确定平面内点的位置呢?
二、合作探究
探究点一:
写出平面直角系内点的坐标
写出图中七边形ABCDEFG各顶点的坐标.
解:
这七边形的各顶点的坐标分别为A(-3,1);B(-2,-1);C(1,-2);D(3,0);E(3,2);F(2,3).
方法总结:
在坐标平面上,点和有序实数对时一一对应的.
探究点二:
在平面直角坐标系内描点
已知点A(0,3),B(-1,1),C(
-3,2),D(-2,0),E(-3,-2),F(-1,-1),G(0,-3),H(1,-1),I(3,-2),J(2,0),K(3,2),L(1,1).请在图中的平面直角坐标系中,分别描出上述各点,并顺次连接A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,A.
解析:
依据点的横、纵坐标的定义,分别描出各点并依次连接即可.
解:
如图所示.
方法总结:
所求图形在四个象限的面积相等,所以只需求其中一部分面积即可.
三、板书设计
平面直角坐标系
通过平面直角坐标系的有关内容的学习,反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系,让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习的积极性和好奇心.
第2课时平面直角坐标系内点的坐标特征
1.理解各象限内及坐标轴上的点的坐标的特征;(重点)
2.会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置,能根据点的位置确定横、纵坐标的符号.(难点)
1、情境导入
平面直角坐标系把平面分成了四个象限,那么各个象限的点他们有什么特点呢?
说出下列个点的坐标,并观察不同象限内的点的坐标有什么特征.
二、合作探究
探究点一:
认识平面直角坐标系
如图所示,点A、点B所在的位置是( )
A.第二象限,y轴上
B.第四象限,y轴上
C.第二象限,x轴上
D.第四象限,x轴上
解析:
根据点在平面直角坐标系中的位置来判定.点A在第四象限,点B在x轴正半轴上.故选D.
方法总结:
两坐标轴上的点不属于任何一个象限,象限是按逆时针方向排列的.
探究点二:
各象限内及坐标轴上的点的坐标的特征
【类型一】已知点的坐标判断点所在的象限
设点M(a,b)为平面直角坐标系内的点.
(1)当a>0,b<0时,点M位于第几象限?
(2)当ab>0时,点M位于第几象限?
(3)当a为任意有理数,且b<0时,点M位于第几象限?
解析:
(1)横坐标为正,纵坐标为负的点在第四象限;
(2)由ab>0知a,b同号,则点M在第一或第三象限;(3)b<0,则点M在x轴下方.
解:
(1)点M在第四象限;
(2)可能在第一象限(a>0,b>0)或者在第三象限(a<0,b<0);
(3)可能在第三象限(a<0,b<0)或者第四象限(a>0,b<0)或者y轴负半轴上.
方法总结:
熟记各象限内点的坐标的符号特征:
(+,+)表示第一象限内的点,(-,+)表示第二象限内的点,(-,-)表示第三象限内的点,(+,-)表示第四象限内的点.
【类型二】根据点所在的象限求字母的取值范围
在平面直角坐标系中,点P(m,m-2)在第一象限内,则m的取值范围是________.
解析:
根据第一象限内点的坐标的符号特征,横坐标为正,纵坐标为正,可得关于m的一元一次不等式组
解得m>2.故答案为m>2.
方法总结:
求点的坐标中字母的取值范围的方法:
根据各个象限内点的坐标的符号特征,列出关于字母的不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围.
【类型三】坐标轴上点的坐标特征
点A(m+3,m+1)在x轴上,则A点的坐标为( )
A.(0,-2)B.(2,0)
C.(4,0)D.(0,-4)
解析:
点A(m+3,m+1)在x轴上,根据x轴上点的坐标特征知m+1=0,求出m的值代入m+3中即可.故选B.
方法总结:
坐标轴上的点的坐标特点:
x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0.根据点所在坐标轴确定字母取值,进而求出点的坐标.
【类型四】由点到坐标轴的距离确定点的位置
已知点P到x轴的距离为2,到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线,垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上,那么点P的坐标是( )
A.(2,-1)B.(1,-2)
C.(-2,-1)D.(1,2)
解析:
由点P到x轴的距离为2,可知点P的纵坐标的绝对值为2,又因为垂足在y轴的负半轴上,则纵坐标为-2;由点P到y轴的距离为1,可知点P的横坐标的绝对值为1,又因为垂足在x轴的正半轴上,则横坐标为1.故点P的坐标是(1,-2).故选B.
方法总结:
本题的易错点有三处:
¢Ù混淆距离与坐标之间的区别;¢Ú不知道与¡°点P到x轴的距离¡±对应的是纵坐标,与¡°点P到y轴的距离¡±对应的是横坐标;¢Û忽略坐标的符号出现错解.若本例题只已知距离而无附加条件,则点P的坐标有四个.
【类型五】已知点的坐标在坐标系中描点
在如图的直角坐标系中描出下列各点:
A(4,3),B(-2,3),C(-4,-1),D(2,-3).
解析:
本题关键就是已知点的坐标,如何描出点的位置,以描点B(-2,3)为例,即在x轴上找到坐标-2,过-2对应的点作x轴的垂线,再在y轴上找到坐标3,过3对应的点作y轴的垂线,与前垂线的交点即为B(-2,3),同理可描出其他三个点.
解:
如图所示:
方法总结:
在直角坐标系中描出点P(a,b)的方法:
先在x轴上找到数a对应的点M,在y轴上找到数b对应的点N,再分别由点M、点N作x轴、y轴的垂线,两垂线的交点就是所要描出的点P.已知坐标平面上的点的坐标,描出对应点的位置,反过来在坐标平面上给一点,找出它对应的坐标,熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键.
三、板书设计
通过平面直角坐标系的有关内容的学习,反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系,让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加
19.3坐标与图形的位置
1.在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,并能求出顺次连接所得图形的面积;(重点)
2.能建立适当的直角坐标系,描述图形的位置;(难点)
3.通过用直角坐标系表示图形的位置,使学生体会平面直角坐标系在实际问题中的应用.
一、情境导入
某小区里有一块如图所示的空地,打算进行绿化,小明想请他的同学小慧提一些建议,小明要在电话中告诉小慧同学如图所示的图形,为了描述清楚,他使用了直角坐标系的知识.你知道小明是怎样叙述的吗?
二、合作探究
探究点一:
在坐标平面内描点作图
在平面直角坐标系中(每个小方格的边长为单位1)描出下列各点,并将各点用线段依次连接起来:
A(0,2),B(-1,-2),C(2,0),D(-2,0),E(1,-2),A(0,2);观察得到的图形,你觉得它的形状像什么?
解析:
根据网格结构找出各点的位置,然后顺次连接即可.
解:
如图所示,形状像五角星.
方法总结:
本题考查了坐标与图形性质,在平面直角坐标系中准确找出各点的位置是解题的关键.
探究点二:
坐标平面内图形面积的计算
如图,已知点A(2,-1),B(4,3),C(1,2),求¡÷ABC的面积.
解析:
本题宜用补形法.过点A作x轴的平行线,过点C作y轴的平行线,两条平行线交于点E,过点B分别作x轴、y轴的平行线,分别交EC的延长线于点D,交EA的延长线于点F,然后根据S△ABC=S长方形BDEF-S△BDC-S△CEA-S△BFA即可求出¡÷ABC的面积.
解:
本题宜用补形法.如图,过点A作x轴的平行线,过点C作y轴的平行线,两条平行线交于点E,过点B分别作x轴、y轴的平行线,分别交EC的延长线于点D,交EA的延长线于点F.¡ßA(2,-1),B(4,3),C(1,2),∴BD=3,CD=1,CE=3,AE=1,AF=2,BF=4,∴S△ABC=S长方形BDEF-S△BDC-S△CEA-S△BFA=BD¡¤DE-
DC·DB-
CE·AE-
AF·BF=12-1.5-1.5-4=5.
方法总结:
主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积.已知三角形三个顶点坐标,求三角形面积通常有三种方法:
方法一:
直接法,计算三角形一边的长,并求出该边上的高;
方法二:
补形法,将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差;
方法三:
分割法,选择一条恰当的直线,将三角形分割成两个便于计算面积的三角形.
探究点三:
建立适当的直角坐标系描述图形的位置
【类型一】根据点的坐标确定直角坐标系
右图是一个围棋棋盘(局部),把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中,白棋¢Ù的坐标是(-2,-1),白棋¢Û的坐标是(-1,-3),则黑棋?
的坐标是________.
解析:
由已知白棋¢Ù的坐标是(-2,-1),白棋③的坐标是(-1,-3),可知y轴应在从左往右数的第四条格线上,且向上为正方向,x轴在从上往下数第二条格线上,且向右为正方向,这两条直线的交点为坐标原点,由此可得黑棋②的坐标是(1,-2).故答案为(1,-2).
方法总结:
根据点的坐标确定平面直角坐标系时,先将点的坐标进行上下左右平移得到原点的坐标,过这个点的水平线为x轴、铅直线为y轴.
【类型二】根据几何图形建立直角坐标系并求点的坐标
长方形的两条边长分别为4,6,建立适当的直角坐标系,使它的一个顶点的坐标为(-2,-3).请你写出另外三个顶点的坐标.
解析:
以点(-2,-3)向右2个单位,向上3个单位建立平面直角坐标系,然后画出长方形,再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可.
解:
如图建立直角坐标系,∵长方形的一个顶点的坐标为A(-2,-3),∴长方形的另外三个顶点的坐标分别为B(2,-3),C(2,3),D(-2,3).
方法总结:
由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键,当建立的直角坐标系不同,其点的坐标也就不同,但要注意,一旦直角坐标系确定以后,点的坐标也就确定了.
三、板书设计
通过学习建立直角坐标系的多种方法,让学生体验数学活动充满着探索性与创造性,激发学生的学习兴趣,感受数学在生活中的应用,增强学生的数学应用意识,让学生认识数学与人类生活的密切联系,提高他们学习数学的兴趣
19.4坐标与图形变化
第1课时图形的平移与坐标变化
1.使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的点的坐标的变化规律;(重点、难点)
2.使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁,感受到代数与几何的相互转化,初步建立空间观念.
一、情境导入
同学们会下棋吗?
棋子的移动,什么在变,什么不变?
那么在棋盘上推动棋子是否可以看成图形在平面上的平移?
二、合作探究
探究点一:
平面直角坐标系中点的平移
将点(1,2)向左平移1个单位,再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是________.
解析:
向左平移1个单位,横坐标减1,向下平移2个单位,纵坐标减2,于是点(1,2)变为(0,0).故答案为(0,0).
方法总结:
根据平移前后图形的坐标关系:
¢Ù上加下减(纵坐标变化),左减右加(横坐标变化).¢Ú正加负减,即向x(y)轴正方向平移,横(纵)坐标增加;负方向平移,横(纵)坐标减小.
探究点二:
平面直角坐标系中图形的平移
【类型一】已知平移方向与距离,确定平移后图形的位置
如图,将三角形ABC先向下平移5个单位,再向左平移3个单位得到三角形A¡äB¡äC¡ä,求三角形A′B′C′的顶点坐标,并画出三角形A¡äB¡äC¡ä.
解析:
按照点的平移规律求出平移后点的坐标,向下平移5个单位,即横坐标不变,纵坐标减5;向左平移3个单位,即纵坐标不变,横坐标减3,再画出图形即可.
解:
用箭头表示平移,则有:
A(3,5)→(3,0)→A¡ä(0,0),
B(0,3)→(0,-2)→B¡ä(-3,-2),
C(2,0)→(2,-5)→C¡ä(-1,-5).
画出三角形A¡äB¡äC¡ä如上图.
方法总结:
画平移后的图形,应先求出平移后各关键点的坐标,再描点连线即可.
【类型二】由坐标的变化确定平移过程
在如图所示的平面直角坐标系内,画在透明胶片上的平行四边形ABCD,点A的坐标是(0,2).现将这张胶片平移,使点A落在点A¡ä(5,-1)处,则此平移可以是( )
A.先向右平移5个单位,再向下平移1个单位
B.先向右平移5个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移4个单位,再向下平移1个单位
D.先向右平移4个单位,再向下平移3个单位
解析:
由点A(0,2)变化到点A¡ä(5,-1)知横纵坐标的变化规律,可得出平移方向与距离,即由横坐标加5,纵坐标减3,得出此平移可以是先向右平移5个单位,再向下平移3个单位.故答案为B.
方法总结:
¢Ù可用排除法,对照备选选项,逐一分析,选择出正确答案.¢Ú由坐标定平移口诀:
坐标变化定平移,横变纵定左右移,横坐标变大向右移,纵变横定上下移,纵坐标变大向上移,横变纵变两次移.¢Û左右(上下)平移的距离,就是平移前后两点横(纵)坐标差的绝对值.
三、板书设计
本节课的教学过程中,无论是从情境中引入,还是对新知的探究及拓展,始终在努力调动学生学习的积极性.通过探究归纳出点或图形的平移引起的点的坐标的变化规律,积累数学活动经验,提高学生科学思维素养;体验数学活动充满探索性与创造性,激发学生学习数学的兴趣,使学生经历数学思维过程获得成功体验.
第2课时图形的轴对称、缩放与坐标变化
1.探索图形坐标变化的过程;(重点)
2.了解掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系.(难点)
一、情境导入
在我们的生活中,对称是一种很常见的现象.把如图所示成轴对称的黄鹤楼图形放在平面直角坐标系中,其对称轴为某条坐标轴.那么,图形上对称的坐标会有什么关系呢?
试一试.
二、合作探究
探究点一:
关于x轴、y轴对称的点的坐标
点A(2a-3,b)与点A′(4,a+2)关于x轴对称,求a,b.
解析:
此题应根据关于x轴对称的两个点的坐标的特点:
横坐标相同,纵坐标互为相反数,得2a-3与4相等,b与a+2互为相反数.
解:
由点A(2a-3,b)与点A′(4,a+2)关于x轴对称知2a-3=4,a+2=-b.所以a=
,b=-
.
方法总结:
在平面直角坐标系中,关于坐标轴对称的点的坐标关系:
若A(x,y)与B(m,n)关于x轴对称,则有x=m,y=-n;若A(x,y)与B(m,n)关于y轴对称,则有x=-m,y=n.
探究点二:
作图——轴对称变换
如下图所示,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,4),B(-3,1),C(0,0),作出¡÷ABC关于x轴、y轴的对称图形.并写出对称点的坐标.
解析:
分别作点A,B,C关于x轴、y轴的对称点即可.
解:
如图所示.
A1(1,4),B1(3,1),A2(-1,-4),B2(-3,-1),C点关于x轴、y轴的对称点的坐标不变.
方法总结:
作对称图形应先确定关键点的对称点,再顺次连接各点即可作图.
探究点三:
平面直角坐标系中的规律探究
如图,已知A1(1,0),A2(1,1),A3(-1,1),A4(-1,-1),A5(2,-1),…,则点A2015的坐标为________.
解析:
从各点的位置可以发现A1(1,0),A2(1,1),A3(-1,1),A4(-1,-1),A5(2,-1),A6(2,2),A7(-2,2),A8(-2,-2),A9(3,-2),A10(3,3),A11(-3,3),A12(-3,-3),….仔细观察每四个点的横、纵坐标,发现存在着一定规律性.因为2015=503¡Á4+3,所以点A2015在第二象限,纵坐标和横坐标互为相反数,所以A2015的坐标为(-504,504).故填(-504,504).
方法总结:
解决此类题常用的方法是通过对几种特殊情况的研究,归纳总结出一般规律,再根据一般规律探究特殊情况.
三、板书设计
轴对称与坐标变化
通过本课时的学习,学生经历图形坐标变化与图形的轴对称之间的关系的探索过程,掌握空间与图形的基础知识和基本作图技能,丰富对现实空间及图形的认识,建立初步的空间观念,发展形象思维,激发数学学习的好奇心与求知欲.教学过程中学生能积极参与数学学习活动,积极交流合作,体验数学活动的乐趣.
第19章平面直角坐标系
第3章 图形与坐标
教学目标
知识与技能:
让学生通过复习使学生能掌握用
不同
的
方式确定物体的位置,综
合运用图形与坐标的知识
解决简单的实际问题。
过程与方法:
1.参与本章知识梳理与体系构建的过程,培养归纳总结能力;2.领悟数形结合、分类讨论的思想方法,培养思维的灵活性。
情感态度与价值观:
培养学生良好学习习惯,激发学习兴趣,激发学生对母校的热爱之情。
重点:
特殊点的坐标特征及其在解题中的应用,数形结合的思想
难点:
感受数形结合思想
教学过程:
1.复习引入
一对有序实数对
方位角
知识结构图
一种很有用的工具
知识点梳理
1、平面直角坐标系:
2、在平面内画两条________的数轴,组成平面直角坐标系,,水平的轴叫:
____ ,竖直的轴叫:
____ ,____ 是原点,通常规定向____ 或向____ 的方向为正方向。
2.平面直角坐标系中点的特点:
1.已知点A(x,y).1)若xy=0,则点A在____________;2)若xy>0,则点A在_______;3)若xy<0,则点A在________________.
2.坐标轴上的点的特征:
x轴上的点______为0,y轴上的点______为0。
3.象限角平分线上的点的特征:
一三象限角平分线上的点_________________;二四象限角平分线上的点____________。
4.平行于坐标轴的点的特征:
平行于
轴的直线上的所有点的
____坐标相同,平行于y轴的直线上的所有点的______坐标相同。
5.点到坐标轴的距离:
点P
到x轴的距离为_______,到y轴的距离为______,到原点的距离为____________;
三、对称:
(1)关于x轴对称的点横坐标_不变___,纵坐标互为相反数。
点(x,y)关于x轴的对称点的坐标为_(x,-y)。
(2)关于y轴对称的点横坐标_互为相反数_,纵坐标____不变_。
点(x,y)关于y轴的对称点的坐标为(-x,y)。
四.坐标平面内点的平移情况:
左右移动,点的_____坐标变化,(向右移动____________,向左移动____________),上下移动点的______坐标变化(向上移动____________,向下移动____________)
例题精讲
例1、如果点M(1-x,1-y)在第二象限,那么点N(1-x,y-1)在第象限,点Q(x-1,1-y)在第象限。
例2、已知点P(x,
),则点P一定()
A在第一象限B在第一或第四象限C在x轴上方D不在x轴下方
例3、在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为(0,0),(5,0),(2,3)则顶点C的坐标为()
A.(3,7)B.(5,3)C.(7,3)D.(8,2)
例4、
(1)如果a-b<0,且ab<0,那么点(a,b)在()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限,D、第四象限.
(2)在平面直角坐标系上点A(n,1-n)一定不在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
例5、已知点P(x2-3,1)在一、三象限夹角平分线上,则x=.
例6:
已知:
,且点
到两坐标轴的距离相等,求
点坐标.
课堂练习
一、选择题
1、下列说法正确的是()A.
的平方根是
B.将点
向右平移5个单位长度到点
C.
是无理数D.点
关于
轴的对称点是
2、在平面直角坐标系中,将点A(1,2)的横坐标乘以-1,
纵坐标不变,得到点A′,则点A与点A′的关系是()
A、关于x轴对称B、关于y轴对称
C、关于原点对称D、将点A向x轴负方向平移一个单位得点A′
3、已知△ABC的顶点B的坐标是(2,1),将△ABC向左平移两个单位后,点B平移到B1,则点B1的坐标是()
A.(4,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(1,0)
4、点P(a,b)满足
,则这样的点P有()
A、1个B、2个C、3个D、4个
5、已知点P(1,2)与点Q(1,b)关于x轴对称,下列各点在线段PQ上的是()A.(1,
)B.(2,1)C.(-1,2)D.(-1,3)
6、若点P在x轴的上方和y轴的左方,到每条坐标轴的距离为4,则点P的坐标为()
A.(4,4)B.(-4,-4)C.(-4,4)D.(4,-4)
7、已知点P(2-a,3a)在
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