第一章 综合素质检测Word下载.docx
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0;
④把门关上;
⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗?
A.1个B.2个
C.3个D.4个
[解析] ①假命题.因为空集是空集的子集而不是真子集.
②③是开语句,由于不知x的取值范围,无法判断其真假,因此不是命题.
④是祈使句,不是命题.
⑤是疑问句,不是命题.
故只有①是命题,应选A.
5.有下列四个命题
①“若b=3,则b2=9”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若c≤1,则x2+2x+c=0有实根”;
④“若A∪B=A,则A⊆B”的逆否命题.
其中真命题的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
[解析] “若b=3,则b2=9”的逆命题:
“若b2=9,则b=3”假;
“全等三角形的面积相等”的否命题是:
“不全等的三角形,面积不相等”假;
若c≤1,则方程x2+2x+c=0中,Δ=4-4c=4(1-c)≥0,故方程有实根;
“若A∪B=A,则A⊆B”为假,故其逆否命题为假.
6.(2012~2013学年度甘肃兰州第五十五中学高二期末测试)命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( )
A.所有奇数的立方不是奇数
B.不存在一个奇数,它的立方是偶数
C.存在一个奇数,它的立方是偶数
D.不存在一个奇数,它的立方是奇数
[解析] “所有奇数的立方是奇数”的否定是“存在一个奇数的立方不是奇数”,故选C.
7.(2012~2013学年度宁夏宁大附中高二期末测试)“a⊥α,则a垂直于α内任一条直线”是( )
A.全称命题B.特称命题
C.不是命题D.假命题
[解析] 命题中含有全称量词,故为全称命题,且是真命题.
8.“B=60°
”是“△ABC三个内角A、B、C成等差数列”的( )
A.充分而不必要条件
B.充要条件
C.必要而不充分条件
[解析] 在△ABC中,若B=60°
,则A+C=120°
,
∴2B=A+C,则A、B、C成等差数列;
若三个内角A、B、C成等差,则2B=A+C,
又A+B+C=180°
,∴3B=180°
,B=60°
.
9.“a=-1”是方程“a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0”表示圆的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
D.既非充分也非必要条件
[解析] 当a=-1时,方程为x2+y2-2x-1=0,
即(x-1)2+y2=2表示圆,
若a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则应满足
,解得a=-1,故选C.
10.下列命题中的真命题是( )
A.∃x∈[0,
],sinx+cosx≥2
B.∀x∈
,tanx>
sinx
C.∃x∈R,x2+x=-1
D.∀x∈R,x2+2x>
4x-3
[答案] D
[解析] ∵对任意x∈R,有sinx+cosx=
sin(x+
)≤
,∴A假;
∵x∈(
,π)时,tanx<
0,sinx>
0,∴B假;
∵x2+x+1=(x+
)2+
>
0,∴方程x2+x=-1无解,∴C假;
∵x2+2x-(4x-3)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,∴对任意x∈R,x2+2x-(4x-3)>
0恒成立,故D真.
11.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )
[解析] 由“m=2”可知A={1,4},B={2,4},所以可以推得A∩B={4},反之,如果“A∩B={4}”可以推得m2=4,解得m=2或-2,不能推得m=2,所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.
12.(2012~2013学年度吉林实验中学高二期末测试)下列命题错误的是( )
A.命题“若m>
0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x2+x-m=0无实根,则m≤0”
B.对于命题p:
“∃x∈R,使得x2+x+1<
0”,则綈p:
“∀x∈R,均有x2+x+1≥0”
C.若p∧q为假命题,则p、q均为假命题
D.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
[解析] 若p∧q为假命题,则p、q均为假命题,或p、q一真一假,故选C.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,将正确答案填在题中横线上)
13.给出命题:
“若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是________.
[答案] 1
[解析] 因为命题:
“若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”是真命题,其逆命题“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”是假命题,如函数y=x+1.再由互为逆否命题真假性相同知,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是1.
14.命题“同位角相等”的否定为________,否命题为________.
[答案] 有的同位角不相等 若两个角不是同位角,则它们不相等
[解析] 全称命题的否定是特称命题,“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”.
15.已知p(x):
x2+2x-m>
0,若p
(1)是假命题且p
(2)是真命题,则实数m的取值范围是________.
[答案] 3≤m<
8
[解析] 由已知得
∴3≤m<
8.
16.(2012~2013学年度山西忻州市高二期末测试)给出下列四个命题:
①∀x∈R,x2+2x>
4x-3均成立;
②若log2x+logx2≥2,故x>
1;
③命题“若a>
b>
0,且c<
0,则
”的逆否命题是真命题;
④“a=1”是“直线x+y=0与直线x-ay=0互相垂直”的充分不必要条件.
其中正确的命题为________(只填正确命题的序号).
[答案] ①②③
[解析] ①中,x2+2x>
4x-3⇔x2-2x+3>
0⇔(x-1)2+2>
0,故①正确.
②中,显然x≠1且x>
0若0<
x<
1,则log2x<
0,logx2<
0,从而log2x+logx2<
0,与已知矛盾,故x>
1,故②正确
③中,命题“若a>
”为真命题,故其逆否命题是真命题,∴③正确.
④“a=1”是直线x+y=0与直线x-ay=0互相垂直的充要条件,故④不正确.
三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)判断下列命题的真假:
(1)∀x∈R,2x>
(2)∀x∈Q,x2-3x-1是有理数;
(3)∃x∈N,2x=x2;
(4)∃x,y∈Z,x2+y2=10.
[解析]
(1)真命题,对任意的x,2x>
0恒成立.
(2)真命题,对于任意的有理数x,x2-3x-1都是有理数.
(3)真命题,x=2,4时,2x=x2成立.
(4)真命题,x=1,y=3时,x2+y2=10成立.
(1)
(2)(3)(4)都是真命题.
18.(本题满分12分)写出命题“若x2+7x-8=0,则x=-8或x=1的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断它们的真假.”
[解析] 逆命题:
若x=-8或x=1,则x2+7x-8=0.
逆命题为真.
否命题:
若x2+7x-8≠0,则x≠-8且x≠1.
否命题为真.
逆否命题:
若x≠-8且x≠1,则x2+7x-8≠0.
逆否命题为真.
19.(本题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)对数函数都是单调函数;
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;
(3)∀x∈{x|x>
0},x+
≥2;
(4)∃x0∈Z,log2x0>
2.
[解析]
(1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题.
(4)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.
20.(本题满分12分)对于下列命题p,写出綈p的命题形式,并判断綈p命题的真假:
(1)p:
91∈(A∩B)(其中全集U=N*,A={x|x是质数},B={x|x是正奇数});
(2)p:
有一个素数是偶数;
(3)p:
任意正整数都是质数或合数;
(4)p:
一个三角形有且仅有一个外接圆.
[解析]
(1)綈p:
91∉A或91∉B;
假命题.
(2)綈p:
所有素数都不是偶数;
(3)綈p:
存在一个正整数不是质数且不是合数;
真命题.
(4)綈p:
存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆;
21.(本题满分12分)(2012~2013学年度甘肃兰州第三十一中学高二期末测试)已知命题p:
∀x∈[1,2],x2-m≥0,命题q:
∀x∈R,x2+mx+1>
0,若命题p∧q为真命题,求实数m的取值范围.
[解析] ∵∀x∈[1,2],x2-m≥0,
∴∀x∈[1,2],m≤x2的最小值,又当x∈[1,2]时,x2的最小值为1,∴m≤1.
∴p:
m≤1.
∵∀x∈R,x2+mx+1>
0,
∴m2-4<
0,∴-2<
m<
∴q:
-2<
∴p∧q为真命题,
∴-2<
22.(本题满分14分)(2012~2013学年度甘肃嘉峪关市一中高二期末测试)设命题p:
(4x-3)2≤1;
命题q:
x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
[解析] 由(4x-3)2≤1,得
≤x≤1,
令A={x|
≤x≤1}.
由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得
a≤x≤a+1,
令B={x|a≤x≤a+1}.
由綈p是綈q的必要不充分条件,得p是q的充分不必要条件,即AB,
∴
,∴0≤a≤
∴实数a的取值范围是[0,
].
1.命题“∃x∈R,2x+x2≤1”的否定是( )
A.∀x∈R,2x+x2>
1,假命题
B.∀x∈R,2x+x2>
1,真命题
C.∃x∈R,2x+x2>
D.∃x∈R,2x+x2>
[解析] 因为x=0时,20+02=1≤1,故原命题为真命题,所以该命题的否定“∀x∈R,2x+x2>
1”是假命题.
2.命题“若x、y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
[解析] “都是”的否定是“不都是”,故其逆否命题是:
“若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数”.
3.(2012·
山东枣庄期中考试)已知a、b∈R,命题“若a+b=1,则a2+b2≥
”的否命题是( )
A.若a+b≠1,则a2+b2<
B.若a+b=1,则a2+b2<
C.若a2+b2<
,则a+b=1
D.若a2+b2≥
,则a+b≠1
[解析] “若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”,故选A.
4.“x>
”是“sinx>
”的( )
[解析] 当x=π>
时,sinx=0<
,又sin(-
)=1>
,-
,∴“x>
”的既不充分也不必要条件.
5.已知a、b、c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )
A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<
3
B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<
C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
[解析] a+b+c=3的否定是a+b+c≠3,a2+b2+c2≥3的否定是a2+b2+c2<
3.
6.以下判断正确的是( )
A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题
B.命题“∀x∈N,x3>
x”的否定是“∃x0∈N,x
x0”
C.“a=1”是“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件
D.“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件
[解析] ∵“负数的平方是正数”即为∀x<
0,则x2>
0,是全称命题,∴A不正确.
∵对全称命题“∀x∈N,x3>
x”的否定为“∃x∈N,x
≤x0”,B不正确;
∵f(x)=cos2ax-sin2ax=cos2ax,
当最小正周期T=π时,有
=π,
∴|a|=1⇒/a=1,
故“a=1”是“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件,C不正确;
b=0时f(x)=ax2+c是偶函数,反之也成立,D正确.
7.设集合A={x∈R|x-2>
0},B={x∈R|x<
0},C={x∈R|x(x-2)>
0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
[解析] ∵A={x∈R|x-2>
0}={x|x>
2},B={x∈R|x<
0},∴A∪B={x∈R|x<
0或x>
2}
C={x|x(x-2)>
0}={x|x<
2},
∴A∪B=C,∴x∈A∪B是x∈C的充要条件.
8.设a、b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( )
A.若a≠-b,则|a|≠|b|
B.若a=-b,则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|,则a≠-b
D.若|a|=|b|,则a=-b
[解析] 原命题是“若p,则q”时,逆命题为“若q,则p”,故选D.
9.“a=1”是“函数f(x)=|x-a|在区间(-∞,1]上为减函数”的( )
[解析] 当a=1时,f(x)=|x-1|=
,所以f(x)在区间(-∞,1]上是减函数;
若f(x)在区间(-∞,1]上是减函数,结合图象可得a≥1,所以前者是后者的充分不必要条件.
10.设命题p:
∶∀x∈R,x2-2x>
a;
命题∃x0∈R,x
+2ax0+2-a=0.如果命题“p或q”为真,“p且q”为假,求a的取值范围.
[解析] 由命题p可知x2-2x=(x-1)2-1>
a恒成立,∴a<
-1.
由命题q可知方程x2+2ax+2-a=0有实数根,∴Δ=(2a)2-4(2-a)≥0,解得a≤-2或a≥1.
∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p与q一真一假.
当p真q假时,有-2<
a<
-1,当p假q真时,有a≥1.
∴a的取值范围是(-2,-1)∪[1,+∞).
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