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03义务教育数学课程标准解读
第一部分研究背景
《标准》是依据教育部《基础教育课程改革纲要(试行)》(以下简称《纲要》)的要求制订的。
是国家对基础数学教育课程的基本规范和要求。
《纲要》中提到“原有的基础教育课程已不能完全适应时代发展的需要。
”明确提出,新的“课程标准是国家管理和评价课程的基础。
”根据《纲要》的要求,数学课程标准的功能,在于成为整个基础教育数学课程改革系统中的一个重要枢纽。
它的内容要涉及教材编写、教学、评估和考试命题等各个具体领域,它的内容要体现国家对义务教育阶段学生在知识与技能、过程与方法、情感态度和价值观等方面的具体要求。
特别是,《纲要》中明确提出义务教育课程标准应该“着眼于培养学生终身学习的愿望和能力”,为义务教育阶段每一位学生的可持续发展这句口号作出了准确的解释和定位。
《纲要》所倡导的数学课程,是全面、和谐发展的数学课程。
数学课程标准,不能只是对教学内容的具体规定,它的范围要涉及到学生作为一个完整个体发展的诸多领域,而不仅仅是知识方面的要求。
数学课程必须改变过于注重知识传授的倾向;必须改变过于注重书本知识和课程内容“繁、难、偏、旧”的现状;必须改变过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的实施方式。
数学课程要精选学生终生学习必备的基础知识和基本技能,使学生获得知识和技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。
《纲要》是制订《标准》的“标准”,《纲要》传递的这些信息,是制订《标准》的过程中须臾不能离开的基本依据。
仅仅有《纲要》做依据,尚不足以支撑起一个《标准》来。
《标准》的制订还需要有一个比较扎实的研究基础。
围绕着21世纪中国数学教育改革问题,我国的数学教育工作者已经进行了较为长期深入的研究,提出过中国数学教育改革的基本思路和设想。
在这些研究的基础上,围绕制订《标准》又深入进行了五个规模较大的奠基性课题研究:
“现代数学的进展及其对数学教育的影响”研究了作为科学的数学和作为教育内容的数学之间的关系,结合数学科学自身及其应用的进展,分析和探讨了数学对现代社会进步的促进、对提高公民素质的作用,以及对数学课程建设的影响。
“国际数学课程发展的最新趋势”研究中发现,尽管不同国家和地区的数学课程各有特点,但概括起来有以下三个共同的特征:
一是强调为所有人的数学,而不是为少数人的数学;二是强调培养学生作为未来公民所需要的一般数学素养;三是强调学习最有价值的数学,用发展的眼光考量数学的教育价值。
从这一研究中可以概括出这样一个国际趋势,就是数学课程的功能不只是向学生传授作为科学的数学内容和方法,而且要把数学作为人的发展的一般动力来对待,要从学生今后的成长和发展的角度来考虑数学教育问题,从提高学生的全面素质来认识数学课程的目标。
这些来自国际方面的经验,提供了很有价值的参考,引起了我们的深思。
“社会的数学需求”研究,一方面,从当今社会,数学的发展,计算机技术的广泛应用出发,分析了无处不在的数学足迹,展现了现代社会中那些出人意料的数学应用,那些解决许多重大问题的关键性数学思想方法。
另一方面,从生活中观察和收集到的素材入手,发现和研究那些悄悄的遍布在我们身边,影响和改变着我们的生活,与科技、经济和社会的发展息息相关的数学。
社会需要什么样的数学,是制定数学课程的重要依据,数学课程只有适应社会的发展和需要,才能为培养合格的公民服务。
该项研究的有些成果已经成为《标准》内容目标的一部分。
“义务教育阶段学生数学学习现状”研究,在肯定我们数学教育优势的同时,也直面了一些不容忽视的问题,如:
数学课程目标比较单一,过多注重学生知识与技能的培养,不大关注学生的一般发展;很少关注学生创新精神和实践能力的培养;课程内容偏难、偏窄,计算推导的内容多、要求高,培养空间观念方面的内容少;内容的组织与呈现方式过多的运用形式化的和人为编造的内容,与学生的经验有联系的不多,与解决实际问题有关的内容少;不大重视学生情感、态度和自信心的培养;课程资源比较贫乏,课堂教学模式比较单一,对评价的发展性功能考虑不够。
等等。
对这些问题的反思,产生了《标准》基本理念方面的一些初步设想。
“数学学习与学生身心发展的关系”研究表明,每个学生都有分析、解决问题和创造的潜能,都有一种与生俱来的把自己当成探索者、研究者,发现者的本能,他们有要证实自己思想的欲望,如果数学课程把握住了这一点,就有可能引导学生表现出更充足的自信,更认真的思考,更积极的寻找解决问题思路和答案。
关键在于数学课程要提供好的内容素材,以促进学生的这种发展。
学生是学习的主体,所有的数学知识只有通过学生自身的“再创造”活动,才能纳入其认知结构中,才可能成为一个有效的和用得上的知识。
用成人化的逻辑将整理好的知识塞给学生,其结果只能适得其反。
新的数学课程体系的建立必须要把学生的发展放在首要的位置,以促进学生的全面发展为目的。
一现代数学的进展及其对数学教育的影响
数学教育的发展受到诸多因素的影响,其中一个重要的方面是数学科学自身和其应用的进展。
要讨论数学教育改革,势必需要对现代数学的发展及趋势、当代数学对现代社会进步的促进、现代数学对提高公民素质的作用等方面展开讨论。
为此,《标准》研制工作组设置了“当代数学进展及其对数学教育影响”的专题,对上述问题展开了较为深入地研讨。
在对这一专题进行研讨的过程中,我们发现不少国际、国内的著名数学家和数学教育家都就当代数学的进展以及对数学教育的影响发表过许多深刻而独到的见解,收集他们的看法,认真地去阅读和思考,无疑会提供给我们许多分析问题的新角度,为我们带来许多新的启示。
基于以上考虑,我们收集了当代国内外部分数学家和数学教育家们的著作和文章,摘录了一些著名数学家的精辟观点。
与此同时,我们受教育部基础教育课程改革专家工作组委托,于1999年1月5日和6月24—26日在北京召开了“现代数学及其对中小学数学课程的影响”专题座谈会,会议特别邀请了近二十位我国一流的数学家就数学课程改革的某些问题进行了研讨。
本文正是在上面两项工作的基础上形成的。
在收集著作和文章以及与数学家座谈的过程中,我们发现,尽管所处的文化背景不同、所从事的研究领域不同,数学家和数学教育家们还是就许多问题达成了基本共识,这些共识对制定《标准》无疑是非常可贵的。
(一)20世纪中叶以来数学的进展
数学在19世纪已经发展成独立的学科。
到了19世纪下半叶,随着不断从实际中获取营养以及自身的蓬勃发展,数学本身积累了大量丰富的资料(思想、方法和理论等),其中有些甚至达到了繁琐的程度,同时也留下了众多没有解决的难题,这些都促使了20世纪上半叶以来对数学所进行的系统整理,即以集合论为基础、公理化为方法将数学分门别类地整理成不同学科,各学科以公理化方法将原有材料系统化、一般化。
集合论观点与公理化方法将数学的发展引向了高度抽象的道路,结合数学对各个学科中重要问题的研究,使得原有的许多学科(如代数学、拓扑学、函数论、泛函分析)在新的基础上得到了更大的发展。
人们对一些数学基础问题的探讨形成了一些新的数学学科(如数理逻辑、公理化集合论),人们逐渐认识到在数学中有一些基本结构:
代数结构,拓扑结构,序结构以及后来认识到的测度结构,这些结构的相互影响和渗透使得数学的很多学科得到长足的发展,并形成一些新的学科(如概率论、随机过程、微分几何、微分方程、代数几何、多复变函数论)。
有些历时几百年的著名数学难题(如费马大定理、四色问题)得到了解决。
一些数学分支虽然与公理化进程关系不大(如解析数论)也得到巨大的发展。
尤其令人们意想不到的是,数理逻辑竟成为发明现代电子计算机的先导,而且自从有了电子计算机以来,数理逻辑就成为计算机科学工作者的理论基础.
数学在发展的过程中,一方面不断地从数学本身提出需要解决的问题;另一方面,日常生活、生产、技术和其他科学也不断地应用数学,从而进一步向数学提出需要解决的问题。
在二次世界大战以前,数学已经跨越自我向相关学科(如相对论、量子物理、理论物理、弹性力学、流体力学、数理经济学)的应用,取得了前所未有的成就。
但当时数学对工程技术的应用往往只起着间接的作用:
首先应用于其他科学,再由这些科学提供技术进步的基础。
在第二次世界大战期间和以后,经济以及其他科学技术都有了空前的发展,出现了一大批需要数学提出决策性结论的新型实际问题,例如,大批量生产的质量控制和检验问题、生产的方案与配方问题、可靠性问题、大型的调度问题、通讯中抗干扰和从微弱信号中提取信息的问题,编码问题以及后来出现的信息压缩问题、远程控制等问题。
这些成为了新的数学应用的推动力。
同时随着数学的蓬勃发展,它所积累的丰富的理论、方法提供了描述实际现象(建立模型)的有力工具和研究模型方法的雄厚基础。
这两方面的结合,形成了一批带有新特点的独立的应用数学,如数理统计、运筹学、信息论、控制论等。
著名数学家PhillipA.Griffiths对20世纪的数学发展表示了如下的看法:
“20世纪是数学的黄金时代,许多重大而长期没有答案的问题终于得到了解决。
究其成功的原因,大多是由于我们对各个分支之间复杂的相互影响及作用有了日益增长的理解,那些相互关联不断扩大和深化,从而数学开始跨越自我来探索与其他科学领域之间的相互作用了。
这些涉及数学各种领域之间的及数学与其他科学领域之间的相互作用,已经导致了一些伟大深刻见解的产生,也导致了数学领域在广度和深度上进一步扩大。
”关于20世纪的数学发展的详细阐述可参看[L3]。
大批的数学应用问题要求提出决策性结论,往往就要求算出数值解,这在过去往往存在着计算上难以逾越的困难。
因而在实际中只好简化计算,有时甚至使原来的问题变得面目全非;或者放弃用计算方法解决问题的途径,而改用模型的方法,这样会牺牲精确性。
但是在第二次世界大战中出现的那些问题,例如原子弹的研制、密码的破译、大规模的调度,却要求高度的精确性或大规模的计算。
电子计算机就是在这种历史性的要求下发明和研制出来的。
电子计算机的出现,它的大容量存储、高速度计算使得扫除计算障碍在技术上成为可能。
这些因素的综合作用促成了数学的惊人应用在自然科学和社会科学中到处出现。
综上所述,随着经典数学的繁荣和统一,许多新的应用数学方法的产生,特别是计算机的出现及其与数学的结合,使得20世纪中叶以来,数学与社会的联系更加直接,对社会的发展起着空前巨大的作用。
1.数学的应用具有了“技术”的品质
今日的数学,已不甘于站在后台,而是大步地从科学技术的幕后直接走到了前台,现代数学与计算机相结合而产生的威力无穷的“数学技术”,渗透到了与人类生存息息相关的各个领域,成为一个国家综合国力的重要组成部分。
“国家的繁荣昌盛,关键在于高新科技的发达和经济管理的高效率”;“高新科技的基础是应用科学,而应用科学的基础是数学”,这一历史性结论充分说明了数学对国家建设的重要作用。
国内外许多数学家都注意到了今日数学的威力和多方面的适用性,并作出了精辟的论述。
姜伯驹在阐述数学从幕后走到前台时指出:
现代数学不单只是通过别的科学间接地起作用了,她已经直接进入科技的前沿,直接参与创造生产价值——数学已经走到前线了。
王梓坤指出数学已经具有了技术的品质:
由于计算机的出现,今日数学已不仅是一门科学,还是一种普适性的技术,从航天到家庭,从宇宙到原子,从大型工程到工商管理,无一不受惠于数学技术。
因而今日的数学兼有科学与技术的两种品质,这是其他学科所少有的。
L.A.Steen在谈到数学的广泛应用时指出:
数学在这个时代的科学挑战中发挥着中心的作用,数学方法越来越多地被用于环境科学、经济学、社会学、心理学,甚至正在进入艺术领域。
计算机的出现,使得数学模型具有了特别重要的意义。
当人们面对纷繁复杂的科学技术和社会现象时,数学可以通过建立模型、分析和求解、计算乃至形成软件等一系列方法来帮助我们把握客观世界。
通过研究数学模型,对具体问题给出定量的解答。
从而在自然科学、社会科学及其他学科和各种技术领域中发挥重要作用。
许多数学家对数学模型的重要意义也发表了自己的看法。
P.A.Griffiths形像地指出数学已经从其他科学的伙计转变成为伙伴:
数学一个强有力的新用处是计算机建模,数学模型、计算机硬件和数学算法的巨大进展,导致了许多科学和技术领域的巨变。
严士健谈到了数学模型与数学证明之间的关系:
以往数学界将证明定理作为数学研究的主要目标(至少纯数学是这样)。
随着现代数学的发展,数学既广泛与各门自然科学相渗透,又与计算机结合直接应用于高技术,这就使得建立模型日渐成为数学的主要目标之一。
所以,在美国国家研究会《人人关心数学教育的未来——关于数学教育的未来致国民的一份报告》中有了“数学是关于模式和秩序的科学”的提法,94—98年度的世界数学联盟主席D.Mumford在1998年论述现代数学的趋势时说,“创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义。
我想,承认这一点,数学将会从中收益”。
2.数学是计算机技术和信息技术的支柱,而计算机也为数学的发展提供新工具
计算机的出现不仅使数学比以往任何时候都更具威力,同时也极大地改变了数学科学自身的某些特点。
国内外的许多数学家都深刻地阐述了计算机与数学的相互作用,总结起来主要有以下几点。
一方面,计算机进入数学领域,促进了“计算数学”、“数学模型”、“离散数学”、“数理逻辑”等许多数学分支的发展,使以前不受重视的数学理论重放光彩(如:
方程的数值解,气象预报中的数值方法),并发展了许多边缘科学(如:
人工智能、图像识别、机器证明、数据处理);计算机开拓了一系列数学研究的新领域和新课题,改变了数学各分支之间的平衡,也促进了数学内部的统一;计算机也为数学发现和证明提供了新工具。
另一方面,正如计算机给数学提供了新的机会一样,数学也使计算机具有了如此不可思议的威力。
数学为自然现象提供构作模型的方法,也提供用计算机语言实现这些模型的算法,以极大提高计算机处理信息的功能。
事实上,计算机本身以及计算机的进一步开发、改进和应用都离不开数学。
综上所述,计算机和数学形成了一个紧密相关的系统,正是这个系统产生了以前不可能出现的新结果和以前不可能想像的新思想。
3.数学研究的方式发生了变化,“做数学”的过程更加凸显
以往,人们对数学研究方法的描绘主要集中于利用纸、笔进行运算和证明,很难体会观察、实验、模拟、尝试、调控等活动对数学的作用,其实这些也是数学研究的重要方式。
特别是计算机的出现,它向数学家提供了探索模式和检验猜测的强有力的工具,使数学家的研究方式开始发生变化。
M.Atiyah指出:
计算机正在数学家工作的所有阶段,特别是在探索和实验阶段,提供着十分实际和有效的帮助。
随着数学向纵深的发展,所遇到的原始素材也相应地会变得更加凌乱和复杂。
正是计算机可以帮助我们筛选这些素材并为我们指出进一步理解和前进的道路。
W.Brown在谈到数学研究成果的表现形式时形像地指出:
在过去,一项数学研究的成果总是一篇关于命题的证明或反驳的科学论文,现在它却可以包含一些色彩鲜艳的图案和一声充满快乐的惊呼:
“看,我发现了什么!
”。
丁石孙也指出:
实际上,计算机提供了进行多次试验计算的可能性,为数学研究提供了有力的“实验工具”。
由于计算机与数学的结合,使得实验、尝试错误、模型模拟、猜测、检验调控等已经成为当今数学家研究数学、特别是应用数学的重要方式,伴随着数学实践活动和数学实验的加强,一个基本的“做数学”的过程日益清晰,许多数学家和数学教育家都以不同的措辞描述了这一过程。
著名的“美国2061计划第一阶段数学专家小组报告”中这样提到:
我们看到了一个基本的数学过程的循环,它反复出现,形成了最基本的形式——抽象、符号变换和应用。
这种循环不只出现在普通实验和数学实验的交界处,而且也在数学王国内部多次重复,导致了该学科更高水平的概括性,从而使它可以具有更强的效能。
H.Freudenthal将这一过程称之为数学化,即数学地组织现实世界的过程。
在这个“做数学”的过程中,不仅有计算或演绎,它涉及了观察,猜测、尝试、调控、估计、检验等多种方式。
(二)20世纪中叶以来数学的进展对数学教育的影响
前文论述了20世纪以来,特别是20世纪中叶以来数学的进展及其对现代社会的作用,从中我们不难看出数学对社会的作用已涉及到几乎所有方面,而且这种作用将越来越广泛和深入。
现代数学的空前发展以及对社会的突出作用势必要对基础教育阶段数学教育发生重大的影响。
那么,将如何影响数学教育呢?
以下将从数学教学目的、数学课程内容和数学教学过程等几方面进行讨论。
1.数学科学得到了广泛应用,要求数学教学必须重视培养学生的应用意识
如前所述,20世纪下半叶数学的一个最大进展是它的广泛应用,“谁用得好,谁就赢了”(姜伯驹,1996),数学的价值观因此发生了深刻的变化。
这一变化必将对数学教育产生重要的影响,最直接的一个结论就是数学教学要重视应用意识和应用能力的培养。
数学的思维训练价值和作为科学语言的作用,仍然是重要的。
但是,“数学应用意识的孕育”、“数学建模能力的培养”、“联系学生的日常生活并解决相关的问题”等,则越来越处于突出的地位。
或者说,恢复它原来应有的地位。
反思我国数学教学的现状,“数学是理性的音乐”、“数学是思维的体操”或者“数学是科学的语言”已经成为人所共知的名言,但数学的应用却长期得不到重视,甚至斥之为“实用主义”、“短视行为”。
在正式颁布的教学大纲里,把数学能力定位于“基本运算能力、空间想像能力和思维能力”,而在实际教学中,则认为逻辑思维能力是一切数学能力的核心,数学的应用在数学能力中几乎没有位置。
也许有人会提醒说:
不。
大纲的后面还有一句话是“逐步培养分析问题解决问题的能力”。
这不过是一个障眼法,为什么“数学应用”要“逐步培养”?
它的潜台词是“慢慢来、无所谓”,似乎运用数学分析和解决问题是以后的事情。
更何况,这里的‘问题’是泛指的,并未明确指出数学应用。
说到底,是数学应用的观念没有树立起来。
针对这一现状,不少数学家呼吁要“重视数学应用,还数学以本来面貌”。
姜伯驹先生指出前面提到的关于数学的名言(“数学是理性的音乐”、“数学是思维的体操”、“数学是科学的语言”)是不完全的,还应再加上一句“数学是生活的需要,是最后制胜的法宝”。
P.Davis先生则幽默地指出:
与其把学生拘谨在课堂上进行喋喋不休的说教,不如让学生解答现实世界中的问题,我们也许能赢得更多数学的信仰者。
对于数学应用还存在着一个误解,认为只要数学学好了,自然就会应用。
实际上,很多数学家认识到培养学生数学应用的意识和能力是一件很不简单的事情,它绝不是知识学习的附属产品,应该认真地加以培养。
严士健在下面的谈话中指出了这项任务的艰巨性:
为了培养应用意识,必须使学生学到必要的数学应用知识和受到必要的数学应用的实际训练,否则强调应用意识就会成为空洞的说教,这是一项并不容易的任务,它牵扯到转变观念、改变课程安排等多方面因素,需要认真研究和推行。
另外,严士健对在教学中加强应用也提出了一些具体的建议:
要告诉学生数学与日常生活、其他课程以及周围现实有着广泛的联系,并且要求他们在学习数学的同时主动去观察这些联系;要引导学生在解决问题时注意分析问题的要求和条件,从而考虑运用什么方法可能解决,而不是看它属于哪一类型的题目;要适当提出一些条件并不充分或解答并不唯一(或不给出结论)的题目,以使学生参加某些解决实际问题或解决某种综合性问题的活动;要组织多种多样的数学课外活动,让学生能根据自己的爱好来参加。
其实,培养学生的数学应用意识和应用能力,还能帮助学生对数学知识、思想和方法有一个直观、生动而深刻的理解,它有助于学生正确认识数学乃至科学的发展道路,了解数学用以分析问题和解决问题的思维方式。
丁石孙在谈到数学建模的目的时指出:
数学建模活动的一个很重要的目的,是通过它可以使学生真正懂得数学究竟是什么。
你可以联系各种各样的问题,从中体会到数学是很有用的,但有用之处并不仅仅在于它的哪一条公式有用,哪一条定理有用,而是整个数学会提供给学生们很重要的一种思想方法,这种思想方法不但对于具体的学科会有很大的作用,甚至对今后做一切工作、如何思考问题、如何抓住问题的要点,都会有作用。
王梓坤则对这种思考方法的内涵提出了自己的见解:
当代科技的一个突出特点是定量化。
……精确定量思维是对当代科技人员共同的要求。
所谓定量思维是指人们从实际中提炼数学问题,抽象化为数学模型,用数学计算求出此模型的解或近似解,然后回到现实中进行检验,必要时修改模型使之更切合实际,最后编制解题的软件包,以便得到更广泛的方便的应用。
总之,我们的数学教育要使学生对数学有一个全面、正确的认识,使学生具有适应生活和社会的能力,使他们能亲身运用所学的知识和思想方法去处理问题,就必须重视数学建模和数学应用的教学,将应用意识的培养和推理能力的发展放在同样重要的地位。
同时,我们还应认识到从知识的掌握到知识的应用不是一件简单的、自然而然就能实现的事情,必须经过充分的、有意识的训练。
因此,我们要在数学课程和教学中为学生提供大量的机会,使他们在解决实际问题的过程中形成数学应用的意识和初步的应用能力。
2.数学科学提供了独特的思考方式,要求数学教学重视培养学生数学地思考问题
除了能解决实际问题之外,数学还提供了某些普遍适用并且强有力的思考方式,包括直观判断、归纳类比、抽象化、逻辑分析、建立模型、将纷繁的现象系统化(公理化的方法)、从数据进行推断、最优化等。
应用这些方式思考问题,可以使人们更好地了解充满信息的世界;使人们具有科学的精神、理性的思维和创新的本领;使人们充满自信和坚韧。
对于数学在此方面的重要价值,许多数学家都从不同的角度进行了深刻的阐述:
王梓坤在阐述数学对公民素质的重要贡献时提出:
数学对国家的贡献不仅在于国富,而且还在于民强。
数学给予人们的不只是知识,更重要的是能力,这种能力包括直观思维、逻辑推理、精确计算和准确判断。
萧树铁在提到数学素质的内涵时指出了四点:
创造——德国数学家康托说过,“数学的本质是自由”,数学最能激发人自由创造的本能,它使人敢于突破常规,不迷信书本、权威。
自由创造是人类文明的源泉,它也是数学能够启迪的人性中最珍贵的品格;归纳——归纳是人类赖以发现世界的最基本、最重要的思维方法,它是数学大厦中的主干;演绎——就是运用逻辑,从已知推知新事实的思维,演绎思维是理论数学的“看家本领”,也是科学发现的一种重要方法;数学建模——这是对现象和过程进行合理的抽象和量化,然后应用数学公式来进行模拟(包括用计算机进行数值模拟)和验证的一种模式化思维,它是人类在探索自然和社会规律中所运用的最有效的方法,也是数学应用于科学技术及社会的最基本的途径。
王世强在谈到数学对人类理性精神的作用时指出:
数学教育是十分重要的,……其重要性一方面是由于数学的广泛适用性。
……另一方面则在于数学的思维训练有助于培养和加强人们的理性探索精神。
关于理性精神,在我国传统文化中也是有不少体现的,但不如西方的现代科学特别是现代数学中反映得丰富而深入。
D.T.Haimo则提到需要改变数学在公众心目中的形像:
我们需要提高公众的认识,数学是一个生气勃勃的领域,有无数未解决的问题,有形形色色的未知地区,等待有想像力、有创造力的学者去征服!
数学的发展是以创造性的发现精神为特征的。
DanKennedy先生则充满感情地说到:
这是一个幸福,创造性的年代。
数学教学不只要培养学生的应用意识,也要使学生学会数学地思考问题.一提到数学地思考问题,许多人就把它等同于逻辑思维能力,这方面的培养当然是需要的.但如果我们只是注意数学的严格思维训练是不够的,甚至会发生负作用,即形成思想呆板的状况。
数学在表达和论证上是需要严格的,所以它经常采用的是演译方法;同时它在从实际抽象出概念和模型、构思证明方法等情况下,则是一种归纳方法与严密思考相结合、直观与严格相结合的抓住事物本质、进而构成系统的抽象过程,这是一种独特的数学思考方式.数学在培养学生思维方面,更重要的是培养学生这种数学思考方式,并将它应用于日常生活和工作。
很多思想家用这种
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