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q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p×
q是n的最佳分解,并规定:
.例如18可以分解成1×
18、2×
9或3×
6,这时就有.给出下列关于F(n)的说法:
(1);
(2);
(3);
(4)若n是一个完全平方数,则F(n)=1.其中正确说法的个数是( )
a1,1
a1,2
a1,3
a1,4
a1,5
a2,1
a2,2
a2,3
a2,4
a2,5
a3,1
a3,2
a3,3
a3,4
a3,5
a4,1
a4,2
a4,3
a4,4
a4,5
a5,1
a5,2
a5,3
a5,4
a5,5
A.1 B.2 C.3 D.4答案:
B
【2011北京中考】在右表中,我们把第i行第j列的数记为ai,j(其中i,j都是不大于5的正整数),对于表中的每个数ai,j,规定如下:
当i≥j时,ai,j=1;
当i<j时,ai,j=0.例如:
当i=2,j=1时,ai,j=a2,1=1.按此规定,a1,3= ;
表中的25个数中,共有 个1;
计算a1,1•ai,1+a1,2•ai,2+a1,3•ai,3+a1,4•ai,4+a1,5•ai,5的值为 .
答案:
0;
15;
1.
【2011海淀二模】某种数字化的信息传输中,先将信息转化为数学0和1组成的数字串,并对数字串进行了加密后再传输.现采用一种简单的加密方法:
将原有的每个1都变成10,原有的每个0变成01.我们用A0表示没有经过加密的数字串.这样对A0进行一次加密就得到一个新的数字串A1,对A1再进行一次加密又得到一个新的数学串A2,依此类推,…,例如:
A0:
10,则A1:
1001.若已知A2:
100101101001,则A0:
,若数字串A0共有4个数字,则数字串A2中相邻两个数字相等的数对至少有
对.答案:
101,4
练习③:
【2010燕山一模】若将代数式中的任意两个字母互相替换,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式.如在代数式a+b+c中,把a和b互相替换,得b+a+c;
把a和c互相替换,得c+b+a;
把b和c……;
a+b+c就是完全对称式.下列三个代数式:
①(a-b)2;
②ab+bc+ca;
③a2b+b2c+c2a.其中为完全对称式的是
A.①②B.②③C.①③ D.①②③答案:
A
练习④:
【2010西城一模】在平面直角坐标系中,对于平面内任一点P(a,b)若规定以下两种变换:
①f(a,b)=(-a,-b).如f(1,2)=(-1,-2);
②g(a,b)=(b,a).如g(1,3)=(3,1)
按照以上变换,那么f(g(a,b))等于
A.(-b,-a) B.(a,b)C.(b,a) D.(-a,-b)答案:
★例3:
【2009昌平二模】请阅读下列材料:
我们规定一种运算:
,例如:
.
按照这种运算的规定,请解答下列问题:
(1)直接写出的计算结果;
(2)若,直接写出和的值.
(3)当取何值时,;
答案:
(1)3.5;
(2)x=8,y=2.(3);
变式练习:
【2008宣武一模】对于实数规定一种运算:
,如
,那么时,().
(A)(B)(C)(D)答案:
(D)
练习:
①【2006北京中考(课标卷)】用“☆”定义新运算:
对于任意实数a、b,都有a☆b=b2+1。
例如7☆4=42+1=17,那么5☆3=;
当m为实数时,m☆(m☆2)=。
答案:
10,26
②【2008东城二模】对于实数u,v,定义一种运算“*”为:
.若关于x的方程有两个相等的实数根,则满足条件的实数a的值是.答案:
③【2008怀柔一模】现在我们定义一个数学运算符号“※”,使下列算式成立:
4※8=16,10※6=26,6※10=22,18※14=50.求(100※800)※8=;
答案:
2008
④【2008海淀二模】关于实数a,b,有则的值是________。
答案:
0.25
⑤【2008西城二模】用“&”定义新运算:
对于任意实数a,b都有a&b=2a-b,如果x&(1&3)=2,那么x等于().
A.1B.C.D.2答案:
C
⑥【2008丰台二模】在数学中,为了简便计算记1!
=1,2!
=2×
1,3!
=3×
2×
1,……,
n!
=n×
(n﹣1)×
(n﹣2)×
……×
3×
1.则=.答案:
1
⑦【2008丰台一模】对于实数x,规定,若,则x=
⑧【2015大兴一模】如图,要使输出值y大于100,则输入的最小正整数x是
A.19B.20C.21 D.22
答案:
⑦-1;
⑧C
★例4:
【2011延庆二模】定义新运算:
,则函数y=3⊕x的图象大致是
答案:
B
【2014-2015房山期末】阅读下面的材料:
小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题:
小明是这样解决问题的:
由新定义可知a=1,b=-2,又b<0,所以1※(-2)=.
请你参考小明的解题思路,回答下列问题:
(1)计算:
2※3=;
(2)若5※m=,则m=.
(3)函数y=2※x(x≠0)的图象大致是( )
(答案:
(1);
(2)±
6;
(3)D)
★例5:
【2013丰台一模】我们把函数图象与x轴交点的横坐标称为这个函数的零点.如函数y=2x+1的图象与x轴交点的坐标为(,0),所以该函数的零点是.
(1)函数y=x2+4x-5的零点是;
(2)如图,将边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系xOy中,且顶点A在x轴上.若正方形ABCD沿x轴正方向滚动,即先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.顶点D的轨迹是一函数的图象,则该函数在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为.
-5或1;
π+1.
①【2015海淀一模】若三角形的某一边长等于其外接圆半径,则将此三角形称为等径三角形,该边所对的角称为等径角.已知△ABC是等径三角形,则等径角的度数为____。
答案:
30°
或150°
②【2008石景山二模】定义:
平面中两条直线l1和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p,q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是___________.答案:
4
③【2010宣武二模】在平面直角坐标系中,设点P到原点O的距离为ρ,OP与x轴正方向的夹角为α(0°
<α<90°
),用[ρ,α]表示点P的极坐标,显然,点P的极坐标与它的直角坐标存在某种对应关系.例如:
当点P的直角坐标为(1,1)时,它的极坐标为[,45°
].如果点Q的极坐标为[4,60°
],那么点Q的直角坐标可以为
A.(2,2) B.(-2,2) C.(2,2) D.(2,2)答案:
★例6:
【2009宣武一模】对于三个数a,b,c,M{a,b,c}表示a,b,c这三个数的平均数,min{a,b,c}表示a,b,c这三个数中最小的数,如:
,;
,.
解决下列问题:
(1)填空:
min{sin30°
,cos45°
tan30°
}=;
若min{2,2x+2,4-2x}=2,则x的取值范围是;
(2)①若M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},那么x=;
②根据①,你发现结论“若M{a,b,c}=min{a,b,c},那么”(填a,b,c大小关系);
③运用②,填空:
若M={2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y},则x+y=;
(3)在同一直角坐标系中作出函数y=x+1,y=(x-1)2,y=2-x的图象(不需列表,描点),通过图象,得出min{x+1,(x-1)2,2-x}最大值为.
⑴0.5,;
⑵①1,②,③;
⑶1
变式练习1:
【2015东城一模】定义符号min{a,b}的含义为:
当a≧b时,min{a,b}=b;
当a<b时,min{a,b}=a.如:
min{1,-2}=-2,min{-1,2}=-1.
(1)求min{x2-1,-2};
(2)已知min{x2-2x+k,-3}=-3,求实数k的取值范围;
(3)已知当-2≤x≤3时,min{x2-2x-15,m(x+1)}=x2-2x-15.直接写出实数m的取值范围.
(1)-2;
(2)k≥-2;
(3)-3≤m≤7
变式练习2:
【2011东城二模】用min{a,b}表示a,b两数中的最小数,若函数y=min{x2+1,1-x2},则y的图象为
变式练习3:
①【2012西城一模】对于实数c、d,我们可用min{c,d}表示c、d两数中较小的数,如min{3,-1}=-1.若关于x的函数y=min{2x2,a(x-t)2}的图象关于直线x=3对称,则a、t的值可能是
A.3,6B.2,-6C.2,6D.-2,6答案:
变式练习4:
【2010东城二模】用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,若y=min{x2,x+2,10-x}(x≥0)则y的最大值为
A.4B.5C.6D.7答案:
【2010石景山二模】规定:
用{m}表示大于m的最小整数,例如{}=3,{5}=6,{-1.3}=-1等;
用[m]表示不大于m的最大整数,例如[]=3,[4]=4,[-1.5]=-2,如果整数x满足关系式:
2{x}+3[x]=12,则x=__________.答案:
2
变式练习.【2014通州二模】对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3.若,则x的取值可以是()
A.40 B.45 C.51 D.56答案:
二、提高练习部分
★例1:
【2014—2015海淀期中】阅读下面材料:
小丁在研究数学问题时遇到一个定义:
对于排好顺序的三个数:
x1,x2,x3,称为数列x1,x2,x3.计算|x1|,,,将这三个数的最小值称为数列x1,x2,x3的价值.例如,对于数列2,-1,3因为,,,所以数列,,的价值为.
小丁进一步发现:
当改变这三个数的顺序时,所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值.如数列,,的价值为;
数列,,的价值为;
….经过研究,小丁发现,对于“,,”这三个数,按照不同的排列顺序得到的不同数列中,价值的最小值为.
根据以上材料,回答下列问题:
(1)数列-4,-3,2的价值为______;
(2)将“-4,-3,2”这三个数按照不同的顺序排列,可得到若干个数列,这些数列的价值的最小值为___,取得价值最小值的数列为_____(写出一个即可);
(3)将2,-9,a(a>1)这三个数按照不同的顺序排列,可得到若干个数列.若这些数列的价值的最小值为1,则a的值为____.答案:
(1)
(2),或.(3)或4.
【2015西城一模】给出如下规定:
两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.
在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点.
(1)点A的坐标为A(1,0),则点B(2,3)和射线OA之间的距离为________,点C(-2,3)和射线OA之间的距离为________;
(2)如果直线y=x和双曲线之间的距离为,那么k=;
(3)点E的坐标为(1,),将射线OE绕原点O逆时针旋转60°
,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.
①请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分;
(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示)
②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,抛物线y=x2-2与图形M的公共部分记为图形N,请直接写出图形W和图形N之间的距离.
(1)3,;
(2)-1;
(3)②4:
3)
【2013年燕山一模】定义:
对于平面直角坐标系中的任意线段AB及点P,任取线段AB上一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离,记作d(P→AB).
已知O为坐标原点,A(4,0),B(3,3),C(m,n),D(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.根据上述定义,解答下列问题:
(1)A到线段OB的距离d(A→OB)=;
⑵已知点G到线段OB的距离d(G→OB)=,且点G的横坐标为1,则点G的纵坐标为.
⑶当m的值变化时,点A到动线段CD的距离d(A→CD)始终为2,线段CD的中点为M.
①在图⑵中画出点M随线段CD运动所围成的图形并求出该图形的面积.
②点E的坐标为(0,2),m>0,n>0,作MH⊥x轴,垂足为H.是否存在m的值,使得以A、M、H为顶点的三角形与△AOE相似,若存在,求出m的值;
若不存在,请说明理由.
(2)-2或;
(3)①16+4π;
②m=1或m=3或m=
变式练习2:
【2013密云二模】【2015——2016通州期末】概念:
P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.
(1)根据上述概念,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是2;
当m=5,n=2时,如图2,线段BC与线段OA的距离(即线段AB长)为;
(2)如图3,若点B落在圆心为A,半径为2的圆上,线段BC与线段OA的距离记为d,求d关于m的函数解析式.
(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为2,线段BC的中点为M,①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;
②点D的坐标为(0,2),m≥0,n≥0,作MN⊥x轴,垂足为H,是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似?
若存在,求出m的值;
若不存在请说明理由.
(1)2、;
(3)①16+4π;
②存在,1、3或)
【2014门头沟一模】概念:
点P、Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”.已知O(0,0),A(,1),B(m,n),C(m,n+2)是平面直角坐标系中四点.
(1)根据上述概念,根据上述概念,完成下面的问题(直接写答案)
①当m=,n=1时,如图13-1,线段BC与线段OA的理想距离是2
;
②当m=,n=2时,如图13-2,线段BC与线段OA的理想距离为;
③当m=,若线段BC与线段OA的理想距离为,则n的取值范围是.
(2)如图13-3,若点B落在圆心为A,半径为1的圆上,当n≥1时,线段BC与线段OA的理想距离记为d,则d的最小值为(说明理由)
(3)当m的值变化时,动线段BC与线段OA的距离始终为1,线段BC的中点为G,求点G随线段BC运动所走过的路径长是多少?
(1)①;
②2;
③﹣1≤n≤1;
(2)d=0.5(4)8+2π
图1图2
【2014延庆一模】已知:
在平面直角坐标系xOy中,给出如下定义:
线段AB及点P,任取AB上一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到线段AB的距离,记作d(P→AB).
(1)如图1,已知C点的坐标为(1,0),D点的坐标为(3,0),求点P(2,1)到线段CD的距离d(P→CD)为;
(2)已知:
线段EF:
y=x(0≤x≤3),点G到线段EF的距离d(P→EF)为,且点G的横坐标为1,在图2中画出图,试求点G的纵坐标.
(1)1;
(2)3或-1。
)
变式练习5:
【2015丰台一模】设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.例如:
正方形ABCD满足A(1,0),B(2,0),C(2,1),D(1,1),那么点O(0,0)到正方形ABCD的距离为1.
(1)如果⊙P是以(3,4)为圆心,1为半径的圆,那么点O(0,0)到⊙P的距离为;
(2)①求点M(3,0)到直线y=2x+1的距离;
②如果点N(0,a)到直线y=2x+1的距离为3,那么a的值是;
(3)如果点G(0,b)到抛物线y=x2的距离为3,请直接写出b的值.
(1)4;
(2)①②(3)或.)
变式练习6:
【2015通州一模】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3)、B(6,3),连结AB.若对于平面内一点P,线段AB上都存在点Q,使得PQ≤1,则称点P是线段AB的“邻近点”.
(1)判断点D,是否线段AB的“邻近点”(填“是”或“否”);
(2)若点H(m,n)在一次函数y=x-1的图象上,且是线段AB的“邻近点”,求m的取值范围.
(3)若一次函数y=x+b的图象上至少存在一个邻近点,直接写出b的取值范围.
(1)是;
(2)3≤m≤5;
(3).)
【2012年北京中考】在平面直角坐标系xoy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:
若|x1-x2|≥|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|;
若|x1-x2|<|y1-y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|.
例如:
点P1(1,2),点P2(3,5),因为|1-3|<|2-5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点)。
(1)已知点,为轴上的一个动点,
①若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标;
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;
(2)已知C是直线上的一个动点,
①如图2,点D的坐标是(0,1),求点与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标;
②如图3,E是以原点O为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标。
(1)①(0,2)或(0,-2);
②;
(2),时,1.)
y
·
x
(-1,0)O(1,0)
(0,1)
(0,-1)
【2014密云一模】对于平面直角坐标系中的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1,P2两点间的直角距离,记作d(P1,P2).[来源:
学科网]
(1)已知O为坐标原点,动点p(x,y)满足d(O,P)=1,请写出x与y之间满足的关系式,并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形;
(2)设P0(x0,y0)是一定点,Q(x,y)是直线y=ax+b上的动点,我们把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离.试求点M(2,1)到直线y=x+2的直角距离.答案:
(2)3.
【2013年北京中考】对于平面直角坐标系O中的点P和⊙C,给出如下定义:
若⊙C上存在两个点
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