相似三角形压轴题含答案Word下载.doc
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—∠DAE—∠ADE
∠ADC=180°
—∠ADE—∠C
∴∠AED=∠ADC (2分)
∵∠AED+∠DEC=180°
∠ADB+∠ADC=180°
∴∠DEC=∠ADB
又∵AB=AD
∴∠ADB=∠B
∴∠DEC=∠B (4分)
(2)在△ADE和△ACD中
由
(1)知∠ADE=∠C,∠DAE=∠DAE
∴△ADE∽△ACD (5分)
∴
即AD2=AE·
AC (7分)
又AB=AD
∴AB2=AE·
AC (8分)
3.
(2009泰安)如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°
,CD⊥AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F。
FD2=FB·
FC。
(2)若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗?
并说明理由。
【答案】证明:
(1)∵E是Rt△ACD斜边中点
∴DE=EA
∴∠A=∠2
∵∠1=∠2
∴∠1=∠A…
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°
+∠1,∠FBD=∠ACB+∠A=90°
+∠A
∴∠FDC=∠FBD
∵F是公共角
∴△FBD∽△FDC
∴
(2)GD⊥EF
理由如下:
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,
∴DG=GC
∴∠3=∠4
由
(1)得∠4=∠1
∴∠3=∠1
∵∠3+∠5=90°
∴∠5+∠1=90°
∴DG⊥EF
4、(2010广东珠海)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,
连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.
△ADF∽△DEC
(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的长.
【答案】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BCAB∥CD
∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°
∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B
∴∠AFD=∠C
∴△ADF∽△DEC
(2)解:
∴AD∥BCCD=AB=4
又∵AE⊥BC∴AE⊥AD
在Rt△ADE中,DE=
∵△ADF∽△DEC
∴∴AF=
5、(2010广东肇庆)如图5,∠ACB=90°
,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,CE与AB交于F.
△CEB≌△ADC;
(2)若AD=9cm,DE=6cm,求BE和EF的长.
【答案】解:
(1)因为∠ACB=90°
,所以∠BCE+∠ECA=90°
.
因为AD⊥CE于D,所以∠CAD+∠ECA=90°
所以∠BCE=∠CAD.
因为BE⊥CE于E,所以∠BEC=∠CDA=90°
又因为AC=BC,所以△CEB≌△ADC(AAS).
(3)因为△CEB≌△ADC,所以CE=AD=9cm,CD=BE.因为DE=6cm,所以CD=CE-DE=3cm.所以BE=3cm.因为∠BEF=∠ADF=90°
,∠EFB=∠DFA,所以△EFB∽△DFA.所以.设EF=xcm,所以DF=(6-x)cm,所以,所以x=cm.
6、.(2009年潍坊)已知,延长BC到D,使.取的中点,连结交于点.
(1)求的值;
(2)若,求的长.
解:
(1)
过点F作,交于点.
为的中点
为的中点,.
由,得,
(2)
又
.
7、(2011•东莞市)21.如图
(1),△ABC与△EFD为等腰直角三角形,AC与DE重合,AB=AC=EF=9,∠BAC=∠DEF=90º
,固定△ABC,将△DEF绕点A顺时针旋转,当DF边与AB边重合时,旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE,DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G,H点,如图
(2)
题21图
(1)
B
H
F
A(D)
G
C
E
C(E)
题21图
(2)
(1)问:
始终与△AGC相似的三角形有及;
(2)设CG=x,BH=y,求y关于x的函数关系式(只要求根据图
(2)的情形说明理由)
(3)问:
当x为何值时,△AGH是等腰三角形.
(1)△HAB,△HGA。
(2)∵△AGC∽△HAB,∴,即。
∴。
又∵BC=。
∴y关于x的函数关系式为。
(3)①当∠GAH=45°
是等腰三角形.的底角时,如图1,
可知。
②当∠GAH=45°
是等腰三角形.的顶角时,如图2,
在△HGA和△AGC中
∵∠AGH=∠CGA,∠GAH=∠C=450,
∴△HGA∽△AGC。
∵AG=AH,∴
∴当或时,△AGH是等腰三角形。
8、(2009武汉)如图1,在中,,于点,点是边上一点,连接交于,交边于点.
(2)当为边中点,时,如图2,求的值;
(3)当为边中点,时,请直接写出的值.
A
O
D
图1
图2
【关键词】相似三角形的判定和性质
(1),.
,
,.
(2)解法一:
作,交的延长线于.
,是边的中点,.
由
(1)有,,
,,
又,.
,,,
解法二:
于,
..
设,则,
由
(1)知,设,,.
在中,.
(3).
(第22题)
9、(2010•济宁市)数学课上,李老师出示了这样一道题目:
如图,正方形的边长为,为边延长线上的一点,为的中点,的垂直平分线交边于,交边的延长线于.当时,与的比值是多少?
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
过作直线平行于交,分别于,,如图,则可得:
,因为,所以.可求出和的值,进而可求得与的比值.
(1)请按照小明的思路写出求解过程.
(2)小东又对此题作了进一步探究,得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗?
如果正确,请给予证明;
如果不正确,请说明理由.
22.
(1)解:
过作直线平行于交,分别于点,,
则,,.
∵,∴. 2分
∴,.
∴. 4分
(2)证明:
作∥交于点, 5分
则,.
∴.
∵,,
∴.∴. 7分
∴. 8分
M
10、(2010•湖北省咸宁)24.(本题满分12分)
如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,,,.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;
同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).
(1)当时,求线段的长;
(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;
(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值,若是,试求这个定值;
若不是,请说明理由.
(备用图1)
(备用图2)
Q
l
P
(第24题)
24.解:
(1)过点C作于F,则四边形AFCD为矩形.
∴,.
此时,Rt△AQM∽Rt△ACF.……2分
即,∴.……3分
(2)∵为锐角,故有两种情况:
①当时,点P与点E重合.
此时,即,∴.……5分
②当时,如备用图1,
此时Rt△PEQ∽Rt△QMA,∴.
由
(1)知,,
而,
∴.∴.
综上所述,或.……8分(说明:
未综述,不扣分)
(3)为定值.……9分
当>2时,如备用图2,
R
由
(1)得,.
∴. ∴.
∴. ∴.
∴四边形AMQP为矩形. ∴∥.……11分
∴△CRQ∽△CAB.
∴.……12分
11、五、石景山24题:
在△中,,是底边上一点,是线段上一点,且
∠.
(1)如图1,若∠,猜想与的数量关系为;
(2)如图2,若∠,猜想与的数量关系,并证明你的结论;
图1图2
(3)若∠,请直接写出与的数量关系.
【参考答案】24.解:
图
(1)
(2)
过点作∥交的延长线于点,
在上取点使得
∵
∴,
图
(2)
∴△≌△
由△∽△得
(3)结论:
y
x
25.(11·
漳州)(满分13分)如图,直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°
后得到△OCD.
(1)填空:
点C的坐标是(_,_),
点D的坐标是(_,_);
(2)设直线CD与AB交于点M,求线段BM的长;
(3)在y轴上是否存在点P,使得△BMP是等腰三角形?
若存在,
请求出所有满足条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(1)点C的坐标是(0,1),点D的坐标是(-2,0)………………4分
(2)方法一:
由
(1)可知CD==,BC=1
又∠1=∠5,∠4=∠3
∴△BMC∽△DOC………………6分
∴=即=
∴BM=………………8分
方法二:
设直线CD的解析式为y=kx+b
由
(1)得
解得
∴直线CD的解析式为y=x+1
又∠1=∠5,∠BCM=∠DCO
∵∴
∴M的坐标为(,)………………6分
过点M作ME⊥y轴于点E,则ME=,BE=
∴BM==………………8分
(3)存在………………9分
分两种情况讨论:
①以BM为腰时
∵BM=,又点P在y轴上,且BP=BM
此时满足条件的点P有两个,它们是P1(0,2+)、P2(0,2-)……………11分
过点M作ME⊥y轴于点E,∵∠BMC=90°
P3
·
P1
P2
1
5
则△BME∽△BCM
∴=
∴BE==
又∵BM=BP
∴PE=BE=
∴BP=
∴OP=2-=
此时满足条件的点P有一个,它是P3(0,)……………12分
②以BM为底时,作BM的垂直平分线,分别交y轴、BM于点P、F,
P4
由
(2)得∠BMC=90°
∴PF∥CM
∵F是BM的中点,
∴BP=BC=
∴OP=
此时满足条件的点P有一个,它是P4(0,)
综上所述,符合条件的点P有四个,它们是:
P1(0,2+)、P2(0,2-)、P3(0,)、P4(0,)……………13分
13.(2010•福建省莆田市)如图1,在Rt中,点D在边AB上运动,DE平分交边BC于点E,垂足为,垂足为N.
第24题
(1)当AD=CD时,求证:
(2)探究:
AD为何值时,与相似?
(3)探究:
AD为何值时,四边形MEND与的面积相等?
24.(本小题满分12分)
1分
又∵DE是∠BDC的平分线
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE 2分
∴DE∥AC 3分
(Ⅰ)当时,得
∴BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC,BE=EC.
又∠ACB=90°
∴DE∥AC. 4分
∴即
∴AD=5 5分
(Ⅱ)当时,得
∴EN∥BD
又∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高 6分
由三角形面积公式得AB·
CD=AC·
BC∴CD=
∴ 7分
综上,当AD=5或时,△BME与△CNE相似.
(3)由角平分线性质易得
即 8分
∴EM是BD的垂直平分线.
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE∴∠DBE=∠CDE
又∵∠DCE=∠BCD
∴ 9分
10分
即
11分
由式得
12分
14、(2012莆田市质检)24.(本小题满分12分)
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
AC=8,BC=6,点D是射线CA上的一个动点(不与A、C重合),DE⊥直线AB于E点,F是BD的中点,过点F作FH⊥直线AB于点H,连接EF,设AD=x.
(1)①(3分)若点D在AC边上,求FH的长(用含x的式子表示);
②(4分)若点D在射线CA上,△BEF的面积为S,求s与x的函数关系式,并写出x的取值范围.
(2)(5分)若点D在AC边上,点P是AB边上的一个动点,DP与EF相交于O点,当DP+FP的值最小时,猜想DO与PO之间的数量关系,并加以证明.
24.解:
(1)①
∵,,∴┅1分
方法一:
∵∴┅2分
∵,是的中点
∴∵∴
∴┅3分
∵,
∴∽∴
∴∴┅2分
∵,是的中点∴
∵∴∴┅3分
②∵∽∴∴┅4分
有两种情况:
(Ⅰ)当点在边上时,如图1:
∴┅5分
∴,()┅6分
(Ⅱ)当点在延长线上时,如图2:
同理得:
∴
∴,()┅7分
(2)猜想:
┅8分
作点关于的对称点,连接则于,连接交于,交于,此时的值最小时.连接.
∴又∵∥
∴四边形是平行四边形┅9分
如图3,在与中
∵
∴∽┅10分
∴∴┅11分
∴化简得:
┅12分
连接如图4:
∴∥且=┅10分
∴∽
∴┅11分∴┅12分
方法三:
取的中点,连接如图5:
∵,
∴四边形是平行四边形
∴┅10分
∴∥,∴,┅11分
∴∴┅12分
15、(2012•福建省莆田市)24.(本小题满分12分)
(1)(3分)如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,BD⊥AC于点D.
求证:
AB2=AD·
AC;
(2)(4分)如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,点D为BC边上的点,BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F.,求的值;
(3)(5分)在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合),直线BE⊥AD于点E,交直线AC于点F。
若,请探究并直接写出的所有可能的值(用含n的式子表示),不必证明.
如图①,∵ BD⊥AC,∠ABC=90°
,∠ADB=∠ABC
又∵∠A=∠A,∴△ADB∽△ABC………………(2分)
∴,∴AB2=AD·
AC ……………(3分)
如图②,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G.…………(4分)
∵BE⊥AD,∴∠CGD=∠BED=90°
,CG∥BF
又∵
∴ AB=BC=2BD=2DC,BD=DC
又∵ ∠BDE=∠CDG,∴ △BDE≌△CDG
∴ ED=GD= ………………………………………(5分)
由
(1)可得:
AB2=AE·
AD,BD2=DE·
AD
∴ ,∴AE=4DE ,∴(6分)
又∵ CG∥BF,……………………(7分)
如图③,过点D作DG∥BF交AC于点G……(4分)
∴ ,BD=DC=,AB=BC
∵ DG∥BF,∴ ,FC=2FG……(5分)
由
(1)可知:
∴ ……………………………………………………………(6分)
∵ DG∥BF,∴ ,∴ ……………………………(7分)
(3)①当点D在BC边上时,的值为n2+n.
②当点D在Bc延长线上时,的值为n2-n.
③当点D在cB延长线上时,的值为n-n2.
(注:
写对一种得1分,写对二种得3分,写对三种得5分)
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