12年中考数学专题复习(二)圆Word格式.doc
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⑤平分弦所对的优弧.这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质.
推论2:
圆的平行弦所夹的弧相等.
2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论.
在同圆或等圆中,四组量:
①两个圆心角;
②两条弧;
③两条弦;
④两条弦心距.其中任一组量相等,则其余三组量也分别相等.即在同圆或等圆中:
圆心角相等
3.圆周角
①定义:
顶点在圆上,且两边与圆相交的角.
②定理及推论
定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
90o的圆周角所对的弦是直径.
推论3:
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
推论4:
圆内接四边形定理:
圆的内接四边形对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角.
三、直线和圆的位置关系:
1.直线和圆的位置关系的定义及有关概念
(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交(图1),这时直线叫圆的割线.
(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切(图2)
这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.
·
O
图2
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离(图3)
图1
2.直线和圆的位置关系性质和判定
如果⊙O的半径,圆心O割直线的距离为,那么
(1)直线和⊙O相交(图
1);
(2)直线和⊙O相切(图2);
(3)直线和⊙O相离(图3).
图3
四、切线的判定和性质:
(一)切线的判定
1.切线判定定理:
经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;
2.和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;
3.经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线.
(二)切线的性质
1.切线的性质定理,圆的切线垂直于经过切点的半径;
推论1:
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;
推论2:
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
2.切线的性质:
(1)切线和圆只有一个公共点;
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;
(3)切线垂直于过切点的半径;
(4)经过圆心垂直于切线的直线过切点;
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
五、三角形的内切圆
1.三角形的外接圆
过三角形三个顶点的圆,叫做三角形的外接圆,三条边中垂线的交点,叫做三角形的外心。
三角形的外心到各顶点的距离相等.
2.外心的位置
锐角三角形的外心在三角形内部,钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边中点,外接圆半径(C为斜边长)
3.三角形的内切圆
到三角形三条边距离都相等的圆,叫三角形的内切圆,三角形中,三个内角平分线的交点,叫三角形的内心,三角形内心到三条边的距离相等,内心都在三角形的内部.若三角形的面积为,周长为a+b+c,则内切圆半径为:
,当为直角三角形的直角边,为斜边时,内切圆半径或.
4.圆内接四边形的性质
(1)圆内接四边形的对角互补;
(2)圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角.
注意:
①圆内接平行四边形为矩形;
②圆内接梯形为等腰梯形.
六、切线长定理:
1.切线长概念:
在经过圆外一点的切线上,这点和切点之间的线段的R,叫做这点到圆的切线长.
2.切线长和切线的区别
切线是直线,不可度量;
而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间的距离,可以度量.
3.切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
A A
O A
C A
D A
B A
P A
要注意:
此定理包含两个结论,如图,PA、PB切⊙O于A、B两点,①PA=PB②PO平分.
4.两个结论:
圆的外切四边形对边和相等;
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长.
七、弦切角定理:
1.弦切角概念:
理解体弦切角要注意两点:
①角的顶点在圆上;
②角的一边是过切点的弦,角的边一边是以切点为端点的一条射线.
2.弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弦对的圆周角,该定理也可以这样说:
弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半.
3.弦切角定理的推论:
P
A
B
C
D
推论:
如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角相等.
八与比例线段相关的定理(了解)
1.相交弦定理及其推论:
(1)定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.
如图,AB,CD相交余E,则AE·
EB=CE·
DE
(2),推论:
如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成
T
的两条线段的比例中项.如上右图,有AE·
EB=CE成立
2,切割线定理及其推论
(1)定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆
交点的两条线段长的比例中项.如上左图,PT切⊙O,PAB是⊙O的一条
割线,则有PT=PA·
PB成立.
(2)推论:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点
的两条线段长的积相等.
如上右图,有PA·
PB=PC·
PD成立.
九圆中的相关计算
1.弧长公式:
半径为R的圆,其周长是,将圆周分成360份,每一份弧就是1o的弧,1o弧的弧长应是圆周长的,而为,因此,的弧的弧长就是,于是得到公式:
。
2.
(1)扇形的定义:
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形(如图)。
(2)扇形的周长:
(3)扇形的面积:
如图,阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。
S扇形=
m
由上面两公式可知S扇形=.可据已知条件灵活选用公式。
3.弓形的面积
(1)由弦及其所对的劣弧组成的图形,S弓形=S扇形-S△OAB。
(2)由弦及其所对的优弧组成的弓形,S弓形=S扇形+S△OAB。
十.两圆的位置关系:
1圆与圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图形
O1
O2
公共点
0个
1个
2个
d、r、R的关系
d>
R+r
d=R+r
R-r<
d<
d=R-r
R-r
外公切线
2条
1条
0条
内公切线
2.两圆连心线的性质
(1)如果两圆相切,那么切点位于这两个圆的连心线上.
(2)相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦.
3.两圆的公切线
(1)与两圆都相切的直线,叫做这两个圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时,这条公切线叫做这两个圆的外公切线;
两个圆在公切线的两旁时,这条公切线叫做这两个圆的内公切线;
公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线(段)的长;
(2)两圆的两条外公切线长相等;
(3)两圆的两条内公切线长相等,且交点位于这两个圆的连心线上;
(4)两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接.
考点扫描归纳
1角度的计算
1.(2010年山东省青岛市)如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=24°
,则∠BOC=°
.
2、(2010年安徽省B卷)13.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧),点O是这段弧的圆心,C是弧AB上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是m.
3、(2010福建德化)如图,点B、C在⊙上,且BO=BC,则圆周角等于()
A.B.C.D.
第1题图
第2题图第3题图
4.(2010年北京崇文)是圆O的直径,是圆O的弦,=48,则=.
5.(2010年门头沟区)如图,于,若,则 度.
第5题
第4题图
6.(2010年重庆潼南县)如图,已知AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∠C=15°
则∠BOC的度数为()
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
7.(2010年兰州市)有下列四个命题:
①直径是弦;
②经过三个点一定可以作圆;
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;
④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有
A.4个B.3个C.2个D.1个
8.(2010年安徽中考)如图,△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径,∠ACB=500,点D是BAC上一点,则∠D=_______________
第8题第9题第10题
9.(2010重庆市)如图,△ABC是⊙O的内接三角形,若∠ABC=70°
,则∠AOC的度数等于()
A.140°
B.130°
C.120°
D.110°
10.(2010年四川省眉山市)如图,∠A是⊙O的圆周角,∠A=40°
,则∠OBC的度数为_______.
11.(2010年福建省晋江市)如图,、、是⊙上的三点,且是优弧上与点、点不同的一点,若是直角三角形,则必是( ).
A.等腰三角形 B.锐角三角形
C.有一个角是的三角形 D.有一个角是的三角形
第12题图
第11题
第14题图
第13题图
12.(2010年浙江省绍兴市)如图,⊙O是正三角形的外接圆,点在劣弧上,=22°
则的度数为_____________.
13.(2010年宁德市)如图,在⊙O中,∠ACB=34°
,则∠AOB的度数是().
A.17°
B.34°
C.56°
D.68°
14.(2010年山东省青岛市)如图,点A、B、C在⊙O上,若∠BAC=24°
15.(2010江苏泰州,18,3分)如图⊙O的半径为1cm,弦AB、CD的长度分别为,则弦AC、BD所夹的锐角=.
(第17题)
第15题图第16题图
16.(2010年安徽芜湖市)如图所示,在圆⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°
,则BC的长为()
A.19B.16C.18D.20
17.(2010浙江省喜嘉兴市)如图,A、B、C是⊙O上的三点,已知∠O=60º
,则∠C=()
A.20º
B.25º
C.30º
D.45º
(第18题)
18.(2010年浙江省金华). 如图,△ABC内接于⊙O,∠A=40°
,则∠BOC的度数为()
A.20°
B.40°
C.60°
D.80°
19.(2010年兰州市)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在
半圆上.点A、B的读数分别为86°
、30°
,则∠ACB的大小为
A.15B.28C.29 D.34
20.(2010年兰州市)(本题满分6分)小明家的房前有一块矩形的空地,
空地上有三棵树A、B、C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛
的边上.
(1)(本小题满分4分)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)(本小题满分2分))若△ABC中AB=8米,AC=6米,∠BAC=,试求小明家圆形花坛的面积.
21(2010江苏宿迁)(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,每个小方格的边长为1个单位长度.在第一象限内有横、纵坐标均为整数的A、B两点,且OA=OB=.
(1)写出A、B两点的坐标;
(2)画出线段AB绕点O旋转一周所形成的图形,并求其面积(结果保留π).
22.(2010江西)如图,以点P为圆心的圆弧与X轴交于A,B;
两点,点P的坐标为(4,2)点A的坐标为(2,0)则点B的坐标为.
第21题图
E
图
(1)
2垂径定理的相关计算与证明
1.(2010年台湾省)如图
(1),AB为圆O的直径,C、D两点均在圆上,其中OD
与AC交于E点,且OD^AC。
若OE=4,ED=2,则BC长度为
(A)6(B)7(C)8(D)9。
2(2010年毕节地区)如图,AB为⊙O的弦,⊙O的半径为5,OC⊥AB于点D,
交⊙O于点C,且CD=l,则弦AB的长是.
3(2010年浙江绍兴)已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是()
A.3B.4C.6D.8
4.(2010年浙江省绍兴市)如图,已知△ABC,分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧在直线BC上方交于点D,连结AD,CD.则有()
A.∠ADC与∠BAD相等
B.∠ADC与∠BAD互补
C.∠ADC与∠ABC互补
D.∠ADC与∠ABC互余
5(2010年宁德市)如图,在直径AB=12的⊙O中,弦CD⊥AB于M,且M是半径OB的中点,则弦CD的长是_______(结果保留根号).
6.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为()
A.2cm B.cm C.cm D.cm
7.(2010年广西桂林适应训练)如图,圆弧形桥拱的跨度AB=12米,拱高CD=4米,则拱桥的半径为( ).
第6题图
.
(第8题)
M
第5题图
A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米
7题图
8.(2010年广州市中考六模)、如图:
AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8,那么AE的长为.
第3题
9.(2010年河南模拟)如图,是一张电脑光盘的表面,两个圆心都是O,大圆的弦AB所在的直线是小圆的切线,切点为C,已知大圆的半径为5cm,小圆的半径为1cm,则弦AB的长是多少?
10(2010日照市).(本题满分10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC与E,交BC与D.求证:
(1)D是BC的中点;
(2)△BEC∽△ADC;
(3)BC2=2AB·
CE.
11(2010珠海)21.如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连结PA、PB、PC、PD.
(1)当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?
并证明;
(2)若cos∠PCB=,求PA的长.
12.(2010年山东省济宁市)如图,为外接圆的直径,,垂足为点,的平分线交于点,连接,.
(1)求证:
;
(第19题)
(2)请判断,,三点是否在以为圆心,以为半径的圆上?
并说明理由.
13、(2010年宁波)如图,AB是⊙O的直径,弦DE垂直平分半径OA,C为垂足,弦DF与半径OB相交于点P,连结EF、EO,若,。
y
F
第13题
(1)求⊙O的半径;
(2)求图中阴影部分的面积。
3圆与多边形
1.(2010年山东省济南市)如图,正六边形螺帽的边长是2cm,这个扳手的开口a的值应是( )
A.cm B.cm
C.cm D.1cm
G
H
图
(2)
2.(2010年台湾省)如图
(2),有一圆内接正八边形ABCDEFGH,若△ADE
的面积为10,则正八边形ABCDEFGH的面积为
(A)40(B)50
(C)60(D)80。
3(2010年毕节地区)如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为
16cm2,则该半圆的半径为( )
A.cmB.9cm
C.cmD.cm
4.(2010年兰州市)如图,正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为
A. B.C. D.
5.(2010年安徽省芜湖市)一个正多边形的每个外角都是36°
,这个正多边形的边数是__________.
第6题图2
第6题图1
6.(2010山东德州)粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔,总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD),已知每支粉笔的直径为12mm,由此估算矩形ABCD的周长约为_______mm.(,结果精确到1mm)
7.(2010浙江省喜嘉兴市)如图,已知⊙O的半径为1,PQ是⊙O的直径,n个相同的正三角形沿PQ排成一列,所有正三角形都关于PQ对称,其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合,第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点,…,最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上.
(1)如图1,当n=1时,求正三角形的边长a1;
(2)如图2,当n=2时,求正三角形的边长a2;
(3)如题图,求正三角形的边长an(用含n的代数式表示).
4弧长与面积的相关计算
1.(2010年福建省晋江市)已知圆锥的高是,母线长是,则圆锥的侧面积是 .
2、(2010福建德化)已知圆锥的底面半径是3cm,母线长为6cm,则侧面积为________cm2.(结果保留π)
3、已知圆锥的底面半径为3,侧面积为15,则这个圆锥的高为▲
4.(2010年台湾省)如图(十三),扇形AOB中,=10,A
A’
O’
图(十三)
图(十四)
Ð
AOB=36°
若固定B点,将此扇形依
顺时针方向旋转,得一新扇形A’O’B,其中A点在上,
如图(十四)所示,则O点旋转至O’点所经过的轨迹长度为
(A)p(B)2p
(C)3p(D)4p。
5.(2010福建泉州市惠安县)已知圆锥的底面半径是3,母线长是4,则圆锥的侧面积是.
6.(2010年兰州市)现有一个圆心角为,半径为的扇形纸片,用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计).该圆锥底面圆的半径为
A.B.C.D.
7.(2010年广东省广州市)一个扇形的圆心角为90°
.半径为2,则这个扇形的弧长为________.(结果保留)
8.(2010年四川省眉山市)已知圆锥的底面半径为4cm,高为3cm,则这个圆锥的侧面积为__________cm2.
9.(2010年福建省晋江市)已知圆锥的高是,母线长是,则圆锥的侧面积是 .
10.(2010年浙江省绍兴市)水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠(不考虑管道两端的情况),需计算带子的缠绕角度(指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分).若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为.
11.(2010江苏泰州,12,3分)已知扇形的圆心角为120°
,半径为15cm,则扇形的弧长为cm(结果保留).
12.(2010年山东省济宁市)如图,如果从半径为9cm
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