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先后经三个平囲反射后出射光线为a。
並设,少.4C\CD\
分别为光线AB.BC.CD..DE的单位矢則
Afl'
=(cos<
r・.8"
cos#〉
式中S反射线,
y为4"
的方向角j由于3C为经紗平面的根据反射定律显然有
BCf=(cosavcos/79cos(-y)]
同理
■
CD"
=[cosa,cos(用—B)♦cos(—y)]
DEf—[cos(x—a)■cos(龙一0)>
cos(x-y)]
=(—cosa,—cos;
®
■—oosy)
因此
ABr=一DE'
即光线和反向平行。
<
2)再证明斜面的出射线和入射线平行且方向相反。
如附图(瞪)所示.设光线1以入射角几入射到斜面上•其折射光线2的折射角为八。
则根据
(1)的证明,光线2经三个直角面反射后的光线3必以入射角入射到斜面上•再次折射后的光线4的折射角也必为,2因此出射光线4必和入射光线1反向平行,
由
(1)■
(2)证明可知.经直角四面体棱镜二次折射和
三次反射的出射线和入射线方向相反°
如果入射线(即入射面)•垂直于某个直角交棱•则此时光线只经过二次折射和二次反射.但显然可见出射线与入射线方向相方的结论仍然成立。
四面直角体棱镜又叫直角锥棱镜)直角锥棱镜出射线与入射
线方向相反的这一特性,可以有效地利用来进行远距离激光测距'
设想登月飞船把一个由多只直角锥棱镜组成的反射器送到月球表面,则地球上许多国家就可以选择反射器中的某些直角锥作为自己的•'
合作目标”•用激北束测量月一地距离。
•4.光线射入如附图所示的棱镜.经两次折射和反射后射
(1)证明備向角与入射方向无艾.恒等F2a:
(2)在此情况下能否产生色散?
题4图
证两次折射和反射的入射角.折射角.反射角分别示于图中。
由几何关系和反射定律可得
*
兀,
"
=—l厶
=亍一[2”一(2“+0+亍4讥)]
=—征+2么+沪+/;
=亍一[用_(a+y-“〉]
f(2“"
+于一必门一于
=jr亠2a
逐次以均,仃.必.,2代入得
f4=電一2么一/?
+u
=x-2a—"
+(a—社)
=x—a一£
一応
=穴—&
—0—(—“+2a+Q亠*1>
=2—3。
二2"
—必
=-ii
又根据折射定律有
sint<
=nsint<
sin<
i—nsinz^•
于長得式中力为梭镜的折射率,因此偏向角为
/=r-Z4
ZfX
=用一[2用一(2a+—+£
:
4-—丄ii)J
»
乙
亍2cr+£
%+「1
=2a•
備向角恒等于2a,它与入射角和折射率死均无关.即与波长也无关。
这种棱镜虽然使光受到两次折射而仍无色散.因此.可用于要求无色散的光路假转系统,
5.试证明:
当一条光线通过平行平面玻璃板时.出射光线方向不变.只产生侧向平移。
当入射角几很小时.位移为
式中落为琐璃板的折射率,t为其厚度
证对平行平板上下表面分别两次运用折射定律,并考虑到
申板上F是同一介质•便可证明录后出射光线与当初入射光线的
方向一致。
如附图所示.根据几何关系可得側鬥色移童为
djf=虫8sin(几一门〉
―r-r(sifU»
Co$IjCOS;
•■5S
=/(~
cosfijrfn存cos/i
利用折射定律
上式可改写为
sinh=力sinD
女"
佔(1-
Kh<
h<
l的条件下.戟小角近緻
sinti^tn8»
办~8«
岛~1
于是有
6.证朗X光线相催鏡过几个平行分界面的多SWM时,岀射光线的方向只与入射方向及两边的折射率有关・与中«
*®
*媒质无关。
ii因为界面郵是平行的•所区光线在同~层媒质中上界面的折射角与下界面的入射角相等。
如图所示・由折射定律有
m・;
sini2=sinti
…心…加••
sinij=sini?
sin/1
心
..心丨••〃i..
sim^二sinii
由此町见,最后出射光线的方向只与当初入射方向及两边介质的折射率有关0
•7.顶角a很小的棱镜称为光楔〉证明光楔使垂直入
射的光线产生偏向角6=5=
1)血其中〃是光楔的折射率.
证由于光线垂直入射•故
比线在第~个界面不发生折射.
flk
仅在第二个界面有折射'
1:
1
如图.根据折射定律rasin/j=sin22以及儿何关系Qua.故-••J
Msina=stnn
当住很小时,有
sina.sin:
/〜讨
则上式可写成
na^il
所以偏向角为
d二〃一门=““=。
=(幷_
1Ja题7图
这个近似公代•在干涉、衍射、偏振中经常要用到.我们应晋记住它-
8.附图所示是•种求折射线方向的追迹作图法「例如为了
求)t线通过梭镜的路径.如图(〃)所示.可如图(a〉以。
为
中心作二圆弧,半径正比于折射利,*(设"
〉八。
作O尺平行于入射线DE,作平行于棱撓第一界面的法线小M侧0P的方向即为第一次折射后光线丘尸的方向外再作QP平行于
第二界面的祛线则OQ的方向即为出射线PG的方向-从而<ROQ^6为偏向角。
试论证此法的依据。
证如图所示.由题意知图
(a)中fi,i(,h,H分别为
第一界面与第二界面的入射角和折射角。
故只需论证和冷
“分别满足折射定律即町。
应用正弦定理于dORP、则有
sin(x一和)
sinf(
OP
nzsinfI=nsin/)z
应用正弦定理于JOPQ,则有
sin(x—,5)OP•n
二jr=—
sini:
OQri
即
故几.“和q.a分别满足折射定律。
.由于qRude,oquFG.即为偏向角。
9・利用上题的图.证明朵小偏向角的存住・並证明棱镜折射率的计算公式为
.sin[(a+dm)/2]
Esin(<
r/2)
式中几,为最小僞向角。
证在上题图)中.有儿何关系iz+i(-a因此上题光线追迹图・(a)中
H9图
OPn
JRPQ-a如本题附图所示.在比线追迹图中LRPQ是恒定的•它正是稜镜顶角a,设厶RPO=x.则lOPQ-ct—x^由于两圓/弧的半轮正比于折射率“n\即
设—_
OP=n、OR—nf
RP=人=hix)
QP=h=?
2(x)則由余弦定理可側连接土Q两点的弦长为
d(jc)=RQ=Z?
+Z5—2Z>
Zicosa
由儿何兌累(参见空附聖吋得上式中
h^AP-^AR
—ncosx—■—n2sin2x<
a>
li=ncos{a-x)-•Jnf2—n2sinJ(a-x>
(b)
产生址小倍向角时《即Z/?
OQ=dw时)d取极小值.其必耍条
件是
dx
「dh
ax
211cosar-2
dX
整理得
•
(
:
1、一
ZiCosa)卑1"
■*(A/iCO$<
af)
X
注意到
dly
n1sinxcosx
Jnri-n2sin2x
=-[-«
$in(a-x>
dx
当all时,由式(a),<
A)得
A=I2由式(W>
(。
得
dk・dh
=—■■・
dxdx
把以上两式代入式(C得
可以证明
a一
二兰〉0,故—ft是产生最小僞向角的
必要条杵,也是产生最小侑向角的充分条件。
“号时,b二>
从追迹图上题图(。
)所示可知,当才二乙RPO=初2时,有h=ii=亠(+ar)
v?
1
釘二b=—a
把以上两式代入折射定律表达式•
nfsinii=«
sin
则得
/sin[5十几)/2]
n-n一―t—
sin(a/2)
10.已知棱镜顶角为60°
测得最小偏向角为53T4X求棱镜的折射率。
解把数据代入上题所得公式,并取沪=1,即得
.a+.60°
+53°
14,
冷5
sin—-—sin
n==
a
sinT
11.顶角为50°
的三棱镜的最小偏向角是35°
如果把它浸入水中,最小偏向角等于多少?
(水的折射率为1.33)e
解设棱镜的折射率为刃,水的折射率为d.先求得
・50°
+35°
1.60
sin一2—
.50*
a+几
5,0亠—厂
再由71=死‘&
8inT
a+岛rsin—二—
・么1.60.
^1?
33
—sm—555——sin25
nf21.33
=0.5080
=sin^10.5080=30°
32z
最后求出此棱镜放在水中的廉小偏向角为
tfm=U°
4'
12.
如附图所示■在水中有两条平行光线1和2,光线2射到水和平行平板玻璃的分界面上。
问:
(1)
光线2.能否进入空气?
两光线射到空气中是否还平行?
(2)如果光线1发生全反射,
解由题6结论光线经
平行分界面的多层介质时,
出射方向只与两边的折射率有关。
可知本题光线1和2射到空气中仍保持平行。
如图所示,当13=90°
时.也有2=90°
■所単光线
12R
不能进入空气•光线2在玻璃与空气的界尬上发生全反射
13.计算光在下列嫌质之间步行时的全反射辎界角:
(1>
从玻璃到空气,(2〉从水到空气;
(3〉从玻璃到水。
解设空气、水.玻璃的折射率分别为?
'
=1-000,心=1.333*3=1.516o
则
(1)iH=sin"
1—^sin-
m
1.000
1.516
I丄型?
=48o36z
1发生全反射时,光奴2也
(2>
小=血」2=几
认=畑瓷“n"
鵲=61*
■14・设光导纤维玻璃芯和外套的折射率分别为拓和心
(川〉力),垂直端面外媒质的折射率为如(见附图〉。
试证明,能
使光线在纤维内发生全反射的入射光束的最大孔径角必满足下式:
(仇血伤称为纤维的数值孔径)解根据折射定律,得到n{lsintfi=msinffi=川cos02
二加"
1-sin2tfi题14图
因为光线在玻璃芯和外套的界面上发生全反射的条件为
沏弘>
4r
所以,欲使光线在纤维内发生全反射,仙必需满足
n0siafit<
m-(S^)1
故数值孔径为
=J—n\_n\
光导纤维的数值孔径反映集光本领,是导光传誓的重要性能参数之一。
15・光导纤维外套由折射率为1.52的冕玻璃做成,芯线由折射率为1・66的庆石璇璃做成,求垂直端面的数值孔径。
解据上题给出的光导纤维数值孔径公式,算出
1.66-1.527
WuSintfi=J
=0.667
*16-极限法测液体折射率的装置如附图(G所ABC是直角棱镜,其折射率啟为已知。
将待测薇体涂一薄层于其上表面AB,再覆盖一块毛玻璃。
用扩展光源在掠入射的方向魚明。
从棱镜的力C面出射的光线的折射角将有一下限厂。
如用望远镜观察,则在视场中岀现有明显分界线的半明半暗区。
试证明,待测液体的折射率算可按下式算出:
证毛玻璃的作用是增加散射,以使液层
射的光线1'
■其共辄光线1在面的入射角
C169
n~Jrin"
用这种方法测液体的折射率.側量范围受到什么限制?
上表面处处为散射源。
如图3)所示,在面入射角较小的光线,在/1C面出射时折射角较大。
以折射角下限厂出
为90°
o出肘方向观察用的是一架接收平行光用的望远镜,它能接收从/C面出射的一察列不同方向的平行光束,同一方向的平行光在望远镜中会聚于一点。
由
于/C面出射光线的折
射角有一下限厂,因此在视场中出现有明显分界统的半明半
对图(0)中的E点写出折射定律为
nxsmZDEF=sint
(加中的D点写出折射定律为
njsinZEDF=nsin90°
又因为
ZEDF二90°
-ZDEF
故由以上三式得'
n-/ZfSinZ.EDF=n^cosZDEF
二4/-sin汀、•••ni
n'
和是极限法测液体折射率的限制条件。
如果液体相对棱镜是高折射率.经面一次折射后就有各种方向的平行光束,它们在AC面出射时就不可能在望远镜中出现有明显分界线的半明半暗区。
2息更斯原理
1•在空气中钠黄光的波长为5893A,问^
(1)其频率为梦少?
(2)在折射率为1.52的玻璃中其波长为多少?
解
(1)光频.
C丄二3X10:
/一"
I_声-58^93x10^
=5.09x10,4Hz
式中九为光谱线的真空波长。
(2)同一谱线在介质中的光波长
[—久。
_5893
X二■—二
n1.52±
3877久
•2・在熔凝石英中波长为5500A的光频率为多少?
己知折射率为1.460。
解光频
3.74x10'
4Hz
携线
F
线
D
媒质
ft'
空
水
真空
折射率
1)
1.337
1.333
波长(久)
4861
(3636>
5893
4421)
频率
(6・l?
x10,4>
(6.17x10'
4)
(5.09xl0H)
5.09X1014
光速(ms)
3x101)
2.24xW1)
(3x101)
(2.25*10'
)
解设f.c.-农,A,拜分别为光的频率.真空中光速.介质中光速.真空中波长、介质中波长、介质的拆射率。
根据下列关系式:
代入表中所给有关数据,把计算结果填入表中空白(括号内数据)。
从以上三题的数字计算中我们应该看到,
1)可见光波段的光频很高,量级达irH#相当于光扰动
的周期为102Ps量级。
对干如此高频的振荡.目前尚无接收器能瞬时响应.这就导致光讯号接收时的一系•列统计平均问题。
2)波速等干频率乘以波长的公式,对任何波动都是普遍成立的,它是波动的一个运动学公式,不涉及波动的动力学机制■因而与介质无关。
但是波速的具体取值却与介质注质有关。
那么,当波速随介质而改变时,是频率变而波长不变■还是波长变而频率不变,或者是频率和波长都要变呢?
须知,对于线性介质来说,波场中的扰动频率取决干波源,它反映波源的固有属性,而与介质无关。
空间波长这个物理量正是反映波动与介质的相互作用.
它是与介质有关的,自然也就与频率有关了。
总之,波源(光源)所激发的某条谱线,其时间频率与介原无关,空间披长随介质而变,因而波速随介质而变,这是物挙分析的结果。
n
(3)光频极高.光速极大前卩使在介质中),真空光速恒
为常数(与光频无关)等是光波的特点。
由干接收器时间响应能
力的限制,至今所有光频的数据都是通过光波长的测量再加上折
射率因素而间接获得的a
*•拖着棒的一端在水中以速度©
移动,Q比水波的速率
“大。
用惠更斯作图法证明,在水中出现一圆锥形波前,其半顶
角“由下式给出:
•船后的弓形波,超音速飞机在空气中产生的冲击波,都是这样产
生的。
证由干棒对水的撞击(压缩),使棒端沿途各点先后成为
水波源。
如附
所示,
设棒端在水中依次经过
Ai,Ai9力■点,则
当棒端到达4点时,4,
4,4…发出的水波面
分别是半卷为“
4儿
面。
作这些球面的包络面,即为宏观技面(总扰动的水波面)。
设总扰动的水波面与次波面分别相切干Cl,0,0…各点,则
14
AxCiAiCiAiCiu
MM•••«
••■(MB
Aj4jAyjfitv
即宏观波面是以埸点4•为頂点的備面,称为“马,锥角大
小由
确定。
3费马原理
1-20证明反射光朿的方向是等光程方向二即旺明附
中
=L
iAiBtCi}
sler
it如圏,分别由
入射点凤亠向光线匚2'
作垂线.垂屋标为石,Ci送然_AiBi=AtA/,C'
fCim方;
左l又根据反It定律可证厶Ax5与△C$&
£
i是两个全等三角形*即B工Cf=A\百I
所以光程
L(AiB\Ch)=ni(.AA\.+A!
Bi+BiC\>
m(A2B1+BiCi+CTC2)
是相等的稔
这表明反射定律绐出的反射光束的方向,正好与等光程〈从入射光算起)要求的方向是一致的煌
1-21证明折射尢束的方向是等光程方向。
即证明上题附
L<
ABi£
O=L(AiBiD^
由次波源E向光线2"
作垂线,垂足标为Q山
显然
D4£
)2=3\Qi
再比较不瓦,药可两段的光程,在直角三角形
ADiBiBi中,有
3=B\Bisin/i9rB\)=B\BiriysinZi.
BtDiz=BiB2sin129L(JBzDi)=B\Bzn2Sin/2由折射定律可知
nisinn=msintz于是L(A!
Bi)=Z所以光程
LAtB\=mAtA\+n■A{Bi+mBiD\.
LQA1B2D2)二mA2B24-niBiD'
i+niDiD1是相等的。
这表明折射定律给出的折射光束的方向,正好与等光程(从入射光算起)要求的方向是一致的。
-lOOlx(勒克斯)
fo-35lx
2・若上題中电灯上町
以垂直上下移动,问怎样的高度使〃点的照度最大。
解如图
设照明处3与
灯泡垂足4的距离为人灯泡位
『不同高度将同时改变距离尸
和倾角氛选"
为变量,则厂Km趴照度公式直写为
11光度学基本概念
1•在离桌面l・Om处有蛊10瞅德拉的电灯厶设Z町看作是各向同性的点光源,求桌面上两点的照度(见附图)。
按点光源照明时的照度公式
ms
並以I100(坎德拉),3*彳二350・1,r4=1.0m,cos血二co$45r*=1/Z2、2代入分别算出4,B两点的照度为
对上式求导得
dep
sintf(2^3sin2^)
解得
sin0=
则可得
毗时横向固定距离处的照度最大。
以Z=l・Om代入得
0.7m
(1)设天空为亮度均匀的朗伯体,其亮度为3,试证明,柱篤天水面上的照度E=*B°
(2)
在上面的计算中,与我们假设天空是怎样形状的发光面有无关系?
与被照射面的位置有无关系?
(3)试证明,一个理想漫射体受到照度为E的辐射时,反射光的亮度B=
H3图(G
证
(1)如附图若天空为朗伯体,由互易关系,亮度为£
的天空照射在水平面元dU上的光通量如‘等于亮度为力的面发射于整个天空上的光通量的■于是水平面元的照度为
=B
/寿二需二壽\fBds^dQ
2%
0•
=<
B
(2、以上论证表明,面元的照度决定于投射于该面元的总光通量,也就决定于亮度为£
的假想面元向实际面光源所张立
体角范围内所发射的光通量•显然,这个光通最数值与实际朗伯体的形状无关,而与立体角的大小有关。
因此上面的计算结果与天空形状和水平被照面的位置均无关。
按这个概念就町以对图◎)儿种情况下的照度大小作出正确的判断。
结果应当是
E、二E厂E产E"
FBiFE严E:
(4)
题:
{图(厂
U)如果引入面发光度的慨念.此题更易于证明二对
个面光源来说•某处dS面元向外辐射的总光通蜀为•则定义
为面光源该处的面发光度。
对m体来说.如果庇度为§
•则
J0-
Jj5//Scos8dQ=BdS
=itBdS
所以亮度〃与面发光度7?
的关系为
R-xB
当然•面光源既町以是貢•实的发光休•也川以是被照明的反g、f物如果忽略吸收.反肘物的照度便等于它作为光源的面发光度.即R=如果它又是一个漫射体,当作朗伯体处理•则其亮度
4・阳光垂直照射地面时,照度为lOMxc若i人为人阳的亮度与比流方向无关•并忽略大气对光的吸收,只已知地球轨道半径为L5XlOKkm.k阳的直牲为l.ix10-km,求人阳的亮度。
解一设地面的照度为E.地球的轨道半從为名•足阳的、卜径为r由球对称件和太阳的总比通ht为
-E\nZ'
人阳的面发比度为
0Ez-
r\'
二"
\jr-r
山面发光度对亮度的关系得太阳的亮度h
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