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C'
,AD、A'
D'
分别是ΔABC和ΔA'
的角平分线.
〔1〕请证明AD=A'
;
〔2〕把上述结论用文字表达出来;
〔3〕你还能得出其他类似的结论吗?
图4-9
5.如图4-10,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.
〔1〕当直线l不与底边AB相交时,求证:
EF=AE+BF.
图4-10
〔2〕如图4-11,将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D,请你探究直线l在如下位置时,EF、AE、BF之间的关系.
①AD>BD;
②AD=BD;
③AD<BD.
图4-11
二、特殊三角形的性质和判定
1、等腰三角形的性质定理
等腰三角形的判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形〔等角对等边〕
等腰三角形的性质:
1等腰三角形的两底角相等〔等边对等角〕;
2等腰三角形“三线合一〞的性质:
顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;
3等腰三角形两底角的平分线相等,两腰上的高、中线也相等.
【典型例题2】
1.等腰三角形的两边长分别为3和6,那么这个等腰三角形的周长为〔 〕
A.12B.15C.12或15D.18
2.等腰三角形的一个角是80°
,那么它顶角的度数是〔 〕
A.80°
B.80°
或20°
C.80°
或50°
D.20°
3.△ABC中,AB=AC=x,BC=6,那么腰长x的取值X围是〔 〕
A.0<x<3B.x>3C.3<x<6D.x>6
4.如图,∠MON=43°
,点A在射线OM上,动点P在射线ON上滑动,
要使△AOP为等腰三角形,那么满足条件的点P共有〔 〕
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.如图,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,DE过O且平行于BC,△ADE的周长为10cm,BC的长为5cm,求△ABC的周长.
6、如以下列图,在△ABC中,∠B=90°
,M是AC上任意一点〔M与A不重合〕MD⊥BC,交∠ABC的平分线于点D,求证:
MD=MA.
【稳固练习2】
1.如图,直线AB∥CD,∠DCF=110°
且AE=AF,那么∠A等于〔 〕
A.30°
B.40°
C.50°
D.70°
2.以下说法错误的选项是〔 〕
A.顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等
B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C.斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等
D.两个等边三角形全等
3.如图,是一个5×
5的正方形网格,网格中的每个小正方形的边长均为1.点A和点B在小正方形的顶点上.点C也在小正方形的顶点上.假设△ABC为等腰三角形,满足条件的C点的个数为〔 〕
A.6B.7C.8D.9
4.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E,过点E作MN∥BC交
AB于M,交AC于N,假设BM+CN=9,那么线段MN的长为〔 〕
5.如图:
E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE,过D作DG∥AC交BC于G.求证:
〔1〕△GDF≌△CEF;
〔2〕△ABC是等腰三角形.
2、等边三角形的性质和判定定理
判定:
有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形;
三条边都相等的三角形是等边三角形;
三个角都是60°
的三角形是等边三角形;
有两个叫是60°
的三角形是等边三角形.
性质:
等边三角形的三边相等,三个角都是60°
.
【典型例题3】
1.以下说法中不正确的选项是〔 〕
A.有一腰长相等的两个等腰三角形全等
B.有一边对应相等的两个等边三角形全等
C.斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等
D.斜边相等的两个等腰直角三角形全等
2.如图,在等边△ABC中,∠BAD=20°
,AE=AD,那么∠CDE的度数是〔 〕
A.10°
B.12.5°
C.15°
3、如右图,△ABC和△BDE都是等边三角形,求证:
AE=CD.
【变式练习3】
1.以下命题:
①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形;
②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线;
③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线;
④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形.其中错误的有〔 〕
2.如图,AC=CD=DA=BC=DE.那么∠BAE是∠BAC的〔 〕
A.4倍B.3倍
C.2倍D.1倍
3.如图,等边△ABC的周长是9,D是AC边上的中点,E在BC的延
长线上.假设DE=DB,那么CE的长为.
4.如图,等边△ABC中,点D、E分别为BC、CA上的两点,
且BD=CE,连接AD、BE交于F点,那么∠FAE+∠AEF的度数
是〔 〕
A.60°
B.110°
C.120°
D.135°
5.如图①,M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上,且BM=CN,AM、BN交于点Q.
〔1〕求证:
∠BQM=60°
〔2〕如图②,如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上,其它条件不变,〔1〕中的结论是否仍然成立?
假设成立,给予证明;
假设不成立,说明理由.
6.如图,C为线段BD上一点〔不与点B,D重合〕,在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于一点F,AD与CE交于点H,BE与AC交于点G.〔1〕求证:
BE=AD;
〔2〕求∠AFG的度数;
〔3〕求证:
CG=CH.
3、直角三角形的有关性质定理
〔1〕直角三角形的有关知识.
●勾股定理:
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;
即如果∠C=90°
,那么a2+b2=c2
6.勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形;
即如果a2+b2=c2,那么∠C=90°
,此三角形为直角三角形
●在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
●在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半。
〔2〕互逆命题、互逆定理
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
【典型例题4】
1、说出以下命题的逆命题,并判断每对命题的真假:
〔1〕四边形是多边形;
〔2〕两直线平行,同旁内角互补;
〔3〕如果ab=0,那么a=0,b=0;
〔4〕在一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边相等
2.使两个直角三角形全等的条件是〔 〕
A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等
C.一条边对应相等D.两条边对应相等
3.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为〔 〕
A.7B.6C.5D.4
4.如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与
对角线BD重合,折痕为DG,那么AG的长为〔 〕
A.1B.
C.
D.2
5.如图,在△ABC中,∠C=90°
,∠B=30°
,AD是∠BAC的平分线,
假设CD=2,那么BD等于〔 〕
A.6B.4C.3D.2
6.如图,在4×
4正方形网格中,以格点为顶点的△ABC的面积等于3,
那么点A到边BC的距离为〔 〕
A.
B.
C.4D.3
7.如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,A,C,D三点在同一直线上,连接BD,AE,并延长AE交BD于F.〔1〕求证:
△ACE≌△BCD;
〔2〕直线AE与BD互相垂直吗?
请证明你的结论.
【变式练习4】
1.利用根本尺规作图,以下条件中,不能作出唯一直角三角形的是〔 〕
A.斜边和一锐角B.一直角边和一锐角
C.斜边和一直角边D.两个锐角
2.在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=9,BC=12,那么点C到AB的距离是〔 〕
D.
3.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,假设正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.那么最大的正方形E的面积是.
4.Rt△ABC中,∠C=90°
,且BC=
AB,那么∠A等于〔 〕
B.45°
C.60°
D.不能确定
5.:
如图,在△ABC中,∠A=30°
,∠ACB=90°
,M、D分别为AB、MB的中点.求证:
CD⊥AB.
【提高练习4】
1.如图.矩形纸片ABCD中,AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3.那么AB的长为〔 〕
A.3B.4C.5D.6
2.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,假设a,c的面积分别为5和11,那么b的面积为〔 〕
A.4B.6C.16D.55
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
b
6
8
10
c
22+1
32+1
42+1
52+1
3.X教师在一次“探究性学习〞课中,设计了如下数表:
〔1〕请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n〔n>1〕的代数式表示:
a=,b=,c=;
〔2〕猜想:
以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想.
4.如图,AC=BC=10cm,∠B=15°
,AD⊥BC于点D,那么AD的长为〔 〕
A.3cmB.4cm
C.5cmD.6cm
,∠B=15°
,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于D,BD=8,那么AC=.
6.,如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD、BE相交于点P.〔1〕求证:
△AEB≌△CDA;
〔2〕求∠BPQ的度数;
〔3〕假设BQ⊥AD于Q,PQ=6,PE=2,求BE的长.
三、线段垂直平分线
●线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
●线段垂直平分线逆定理:
到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
⏹三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等。
【典型例题5】
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
.AB的垂直平分线
DE交AB于点D,交BC于点E,那么以下结论不正确的选项是〔 〕
A.AE=BEB.AC=BEC.CE=DED.∠CAE=∠B
2.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于
AB
的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于
点D,连接AD.假设△ADC的周长为10,AB=7,那么△ABC的
周长为〔 〕
A.7B.14C.17D.20
3.三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等,那么这点一定是三角形的〔 〕
A.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点
C.三条高的交点D.三条角平分线的交点
4.如图,有A、B、C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,那么超市应建在〔 〕
A.在AC,BC两边高线的交点处
B.在AC,BC两边中线的交点处
C.在AC,BC两边垂直平分线的交点处
D.在∠A,∠B两内角平分线的交点处
5.如图,AD为∠BAC的角平分,线段AD的垂直平分线交AB于M,交AC于N,试说明MD∥AC.
6.如下列图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证:
BF=2CF.
7.如下列图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,D为BC边上的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点F,求证:
AB垂直平分DF.
【变式练习5】
1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°
,ED是AC的垂直平分线,交AC
于点D,交BC于点E.∠BAE=10°
,那么∠C的度数为〔 〕
B.40°
C.50°
D.60°
2.如图,在△ABC中,AC=29,AB的垂直平分线交AB于点D,
交AC于点E.△BCE的周长等于50,那么BC的长为〔 〕
A.2lB.22
C.23D.24
3.如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,FG垂直平分AC,
BC=13cm,那么△AEG的周长为〔 〕
A.6.5cmB.13cm
C.26cmD.15
如图,△ABC的∠A>∠ABC,边BC的垂直平分线DE
分别交AC,BC于D,E,那么AD+BD与BC的关系是〔 〕
A.大于B.小于
C.等于D.不能确定
5.如图,A、B表示两个仓库,要在A、B一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相等,码头应建在什么位置?
你能画图说明吗?
6.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,且DE⊥AB,△BCE的周长为8cm,且AC-BC=2cm,求AB、BC的长.
【提高练习5】
1.如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB、BC于D、E点.MN垂直平分AC,分别交AC、BC于M、N点.〔1〕假设∠BAC=100°
,求∠EAN的度数;
〔2〕假设∠BAC=70°
〔3〕假设∠BAC=α〔α≠90°
〕,直接写出用α表示∠EAN大小的代数式.
2.如图2,点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点,∠A=35°
那么∠D等于〔 〕
A.50°
B.65°
C.55°
D.70°
3.如图3,在△ABC中,AB=a,AC=b,BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E,那么△AEC的周长等于〔 〕
A.a+bB.a-bC.2a+bD.a+2b
4.如图有一块直角三角形纸片,∠ACB=90°
,两直角边AC=4,
BC=8,线段DE垂直平分斜边AB,那么CD等于〔 〕
A.2B.2.5C.3D.3.5
5.如图,∠ABC=50°
,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的
平分线交AD于E,连接EC;
那么∠AEC等于〔 〕
A.100°
B.105°
C.115°
D.120°
四、角平分线
●角平分线上的点到角两边的距离相等。
●角平分线逆定理:
在角内部,如果一点到角两边的距离相等,那么它在该角的平分线上。
⏹三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。
【典型例题6】
1.如图,∠POA=∠POB,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,OP=13,
OD=12,PD=5,那么PE=〔 〕
A.13B.12C.5D.1
2.三角形内有一点,它到三边的距离相等,那么这点是该三角形的〔 〕
A.三条中线交点B.三条角平分线交点
C.三条高线交点D.三条高线所在直线的交点
3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,∠ABC的平分线BD交AC于D,
假设CD=3cm,那么点D到AB的距离DE是〔 〕
A.5cmB.4cm
C.3cmD.2cm
4.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.
以下结论中不一定成立的是〔 〕
A.PA=PBB.PO平分∠APB
C.OA=OBD.AB垂直平分OP
5.如图,直线a、b、c,表示三条相互穿插的公路,现拟建一个
货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,那么可以供选择的
地址有〔 〕
A.一处B.四处
C.七处D.无数处
6.如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,连接EF,EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系,并证明你的结论.
【变式练习6】
1.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的
一个动点,假设PA=2,那么PQ的最小值为〔 〕
A.1B.2C.3D.4
2.如下列图,点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,
垂足分别是C、D,假设OE=4,∠AOB=60°
,那么DE=.
3.如图,利用尺规求作所有点P,使点P同时满足以下两个条件:
①点P到A,B两点的距离相等;
②点P到直线l1,l2的距离相等.〔要求保存作图痕迹,不必写出作法〕
如下列图,△ABC中,∠C=90°
,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF.求证:
CF=EB.
如图,∠B=∠C=90°
,M是BC的中点,DM平分∠ADC.〔1〕假设连接AM,那么AM是否平分∠BAD?
请你证明你的结论;
〔2〕线段DM与AM有怎样的位置关系?
请说明理由.
【提高练习6】
1.如图,∠AOB=30°
,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果
PC=6,那么PD等于〔 〕
A.4B.3C.2D.1
2.如图,在△ABC中,∠C=90°
,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,那么以下说法中正确的个数是〔 〕①AD是∠BAC的平分线;
②∠ADC=60°
③点D在AB的中垂线上;
④S△DAC:
S△ABC=1:
3.
3.如图,锐角三角形ABC中,BC>AB>AC,小靖依以下方法作图:
〔1〕作∠A的角平分线交BC于D点.〔2〕作AD的中垂线交AC于E点.〔3〕连接DE.根据他画的图形,判断以下关系何者正确?
〔 〕
A.DE⊥ACB.DE∥ABC.CD=DED.CD=BD
4.如以下列图左,在矩形ABCD中,点P在AB上,且PC平分∠ACB.假设PB=3,AC=10,那么△PAC的面积为.
如上图右,AB∥CD,O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点,OE⊥AC于点E,假设两平行线间的距离为6,那么OE=.
课后练习
一.选择题
1.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形〔〕的交点.
A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高
2.以下条件中能
判定△ABC≌△DEF的是()
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠DB.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
C.AC=DF,∠B=∠F,AB=DED.∠B=∠E,∠C=∠F,AC=DF
3.以下命题中正确的选项是()
A.有两条边相等的两个等腰三角形全等B.两腰对应相等的两个等腰三角形全等
C.两角对应相等的两个等腰三角形全等D.一边对应相等的两个等边三角形全等
4.以下各组数为三角形的三条边长,其
中能作成直角三角形的是()
A.2,3,4B.4,5,6C.1,
D.2,
,4
5.〔2021•XX〕如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°
,∠A=25°
,D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠,使B点落在AC边上的B′处,那么∠ADB′等于〔 〕
25°
30°
35°
40°
6.〔2021•潍坊〕轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°
方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°
方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°
方向上,那么C处与灯塔A的距离是〔 〕海里.
25
50
7.〔2021•XX〕如图,△ABC中,∠C=90°
,AC=3,∠B=30°
,点P是BC边上的动点,那么AP长不可能是〔 〕
A.3.5
4.2
C.5.8
7
第5题第6题第7题
8.△ABC中,A
B=AC,AB的垂直平分线交AC于D,△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm,那么△ABC的腰和底边长分别为()
A.24cm和12cmB.16cm和22cmC.20cm和16cmD.22cm和16cm9.〔2021•XX〕在Rt△ABC中,∠C=90°
10.〔2021•XX州〕如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为50和39,那么△EDF的面积为〔 〕
11
5.5
3.5
11.〔2007•XX〕如图,在△ABC中AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,EH=EB=3,AE=4,那么CH的长是〔 〕
1
12.〔2021•XX〕如图,:
∠MON=30°
,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,假设OA1=1,那么△A6B6A7的边长为〔 〕
A.6
B.12
32
64
第10题第11题第12题
二.填空题
13.〔2021•XX〕如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的角平分
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