高中数学 211《点到直线的距离2》教案 苏教版必修2Word文档格式.docx
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∴所求点的坐标为或.
点评:
本题主要利用两条平行直线之间的距离公式解决问题,是对上节课所学内容的一个复习与巩固.
例2:
求直线关于点对称的直线方程.
解题的关键是中心对称的两直线互相平行,并且两直线与对称中心的距离相等.
【解】设所求直线的方程为
由点到直线的距离公式可得
∴(舍去)或,
所以,所求直线的方程为.
本题也可以利用点与点的对称,设直线上任意一点
(在直线上,所以)与对称的点为则,解得,,然后将,的值代入求出所求直线,比较而言,此法注重轨迹的推导过程,而前面的方法比较简便,为求直线关于点对称的直线方程的基本方法(直线关于点对称的问题).
例3:
已知直线:
:
,求直线关于直线对称的直线的方程.
直线关于直线对称,可以在上任意取两个点,再分别求出这两个点关于直线的对称点,最后利用两点式求出所要求的方程.这里可以通过求出交点这个特殊点以简化计算.
【解】由,解得:
,∴过点,
又显然是直线上一点,设关于直线的对称点为,
则
解得:
,即,
因为直线经过点、,所以由两点式得它的方程为:
本题为求直线关于第三条直线对称的直线方程的基本方法(两条直线关于第三条直线对称的问题).
注意:
这里有一种特殊情况:
直线关于直线对称的直线方程为:
例4:
建立适当的直角坐标系,证明:
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离,故可考虑用点到直线的距离公式计算距离,因此必须建立直角坐标系.
【证明】设是等腰三角形,以底边
所在直线为轴,过顶点且垂直与的直线为轴,建立直角坐标系(如图).设,
(,),则.
直线的方程:
即:
设底边上任意一点为
(),
则到的距离
到的距离
.
故原命题得证.
本题主要利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明方面的运用,运用代数方法研究几何问题.
追踪训练一
1.点在轴上,若它到直线
的距离等于,则的坐标是或.
2.直线关于点对称的直线的方程为.
3.光线沿直线1:
照射到直线2:
上后反射,求反射线所在直线的方程.
∴过点,
因为直线经过点、,所以由两点式得它的方程为.
4.求证:
等腰三角形底边延长线上任一点到两腰(所在直线)的距离的差的绝对值等于一腰上的高.
要证明的结论中涉及的都是点到直线的距离,故可考虑用点到直线的距离公式计算距离,因此必须建立直角坐标系.
【证明】设是等腰三角形,以底边所在直线为轴,过顶点且垂直于的直线为轴,建立直角坐标系,如图,
设,,
则,直线方程为:
,即:
直线方程为:
设或是底边延长线上任意一点,
则到距离为
到距离为
当时,
∴当或时,,
【选修延伸】
一、数列与函数
例5:
分别过两点作两条平行线,求满足下列条件的两条直线方程:
(1)两平行线间的距离为;
(2)这两条直线各自绕、旋转,使它们之间的距离取最大值.
(1)两条平行直线分别过,
两点,因此可以设出这两条直线的方程之间(注意斜率是否存在),再利用两条平行直线之间的距离公式,列出方程,解出所要求的直线的斜率;
(2)这两条平行直线与垂直时,两直线之间距离最大.
【解】
(1)当两直线的斜率不存在时,方程分别为,满足题意.
当两直线的斜率存在时,设方程分别为
与,
与,由题意:
,解得,
所以,所求的直线方程分别为:
,.
综上:
所求的直线方程分别为:
或.
(2)结合图形,当两直线与垂直时,两直线之间距离最大,最大值为,同上可求得两直线的方程.此时两直线的方程分别为,.
(1)设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存在,利用平行直线之间的距离公式列出相应的方程,解出相应的未知数;
(2)体现了数形结合的思想,通过图形,发现问题的本质.
思维点拔:
对称问题
在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对称情况,这里大致可以分为:
点关与点对称,点关于直线对称,直线关于点对称,直线关于直线对称这四种情况,一旦确定为哪种情况后对应本节课的四种基本方法进行求解.
追踪训练二
1.两平行直线,分别过,
(1),之间的距离为5,求两直线方
程;
(2)若,之间的距离为,求的取值范围.
(1)当两直线的斜率不存在时,方程分别为,,不满足题意.
与,
由题意:
,解得或,
,:
(2).
第11课时点到直线的距离(2)
分层训练
1.的顶点,,
,则的面积为()
2.已知两点,到直线
的距离相等,则实数可取的不同值共有()
1个2个3个4个
3.直线上到点距离最近的点的坐标为 ( )
4.一个正方形的中心坐标是,一条边所在的直线方程为,则这个正方形的面积等于___________.
5.点在直线上,且到直线的距离为,的坐标为_____.
6.直线关于点对称的直线方程为________________.
7.变化时.两平行直线
与之间的距离最小值为__________.
8.光线经过射到轴上,反射后经过点,则入射光线所在直线的方程为
_______________.
9.已知直线到平行直线:
的距离分别为,,比值为:
,求直线的方程.
10.设动点的坐标满足方程,求证:
点到直线:
的距离之积为定值.
【证明】
拓展延伸
11.已知三角形三个顶点,,,求的平分线所在直线方程.
12.如图,已知正方形的中心,一边所在的直线方程为
求其它三边所
在直线的方程.
2019-2020年高中数学2.12《圆的方程1》教案苏教版必修2
1.认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法;
2.掌握圆的标准方程,并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径;
3.能根据所给条件,通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程.
1.以为圆心,为半径的圆的标准方程:
.
2.圆心在原点,半径为时,圆的方程则为:
;
3.单位圆:
圆心在原点且半径为1的圆;
其方程为:
交代一个圆时要同时交代其圆心与半径.
分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径:
⑴;
⑵
⑶
⑷
⑸
(如下表)
方程
圆心
半径
点评:
本题考察了对圆的标准方程的认识,根据圆的标准方程,可以写出相应的圆的圆心与半径.
(1)写出圆心为,半径长为的圆的方程,并判断点,是否在这个圆上;
(2)求圆心是,且经过原点的圆的方程.
通过圆心,半径可以写出圆的标准方程.
(1)∵圆心为,半径长为,
∴该圆的标准方程为:
把点代入方程的左边,
=右边,
即点的坐标适合方程,
∴点是这个圆上的点;
把点的坐标代入方程的左边,
即点坐标不适合圆的方程,
∴点不在这个圆上.
(2)法一:
∵圆的经过坐标原点,
∴圆的半径为:
因此所求的圆的方程为:
即.
法二:
∵圆心为,
∴设圆的方程为,
∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程
即,所以,
∴所求圆的标准方程为:
本题巩固了对圆的标准方程的认识,第二小题的解题关键在于求出半径,这里提供了两种方法.
(1)求以点为圆心,并且和轴相切的圆的方程;
(2)已知两点,,求以线段为直径的圆的方程.
(1)已知与圆心坐标和该圆与轴相切即可求出半径.(2)根据为直径可以得到相应的圆心与半径.
(1)∵圆与轴相切
∴该圆的半径即为圆心到轴的距离;
所以圆的标准方程为:
(2)∵为直径,
∴的中点为该圆的圆心即,
又因为
,所以,
∴圆的标准方程为:
本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径.对圆的标准方程的有一个加深认识的作用.
例4:
已知隧道的截面是半径为的圆的半圆,车辆只能在道路中心线的一侧行驶,车辆宽度为,高为的货车能不能驶入这个隧道?
建立直角坐标系,由图象可以分析,
关键
在于
写出
半圆的方程,
对应求出当
时的值,
比较得出结论.
【解】以某一截面半圆的
圆心为原点,半圆的直径
所在的直线为轴,
建立直角坐标系,如图所示,那么半圆的方程为:
将代入得
即离中心线处,隧道的高度低于货车的高度,因此,该货车不能驶入这个隧道.
本题的解题关键在于建立直角坐标系,用解析法研究问题.
思考:
假设货车的最大的宽度为,那么货车要驶入高隧道,限高为多少?
解:
将代入得,
即限高为.
1.写出下列各圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为;
(2)经过点,圆心为.
(1);
2.求以点为圆心,并且和轴相切的圆的方程.
【解】由题意:
半径,
所以圆的方程为:
3.圆的内接正方形相对的两个顶点为,,求该圆的方程.
【解】由题意可得为直径,
所以的中点为该圆的圆心即
∴,
4.求过两点,,且圆心在
直线上的圆的标准方程.
【解】设圆心坐标为,圆半径为,
则圆方程为,
∵圆心在直线上,
∴①
又∵圆过两点,,
∴②
且③
由①、②、③得:
∴圆方程为.
由圆的标准方程即可写出由圆心坐标及圆的半径,反之,由圆心坐标及圆的半径即可写出圆的标准方程.在解具体的题目时,要灵活运用平面几何及前面所学直线的有关知识.
第12课时圆的方程(1)
1.
的圆心坐标与
半径分别为( )
,,
,,
2.圆心为且与直线相切的圆的方程为( )
3.圆的周长和面积分别为()
4.若点在圆的内部,则实数的取值范围是()
5.若过点和,则下列直线中一定经过该圆圆心的是()
6.自点作圆的切线,则切线长为( )
7.已知圆的方程为
,确定下述情况下应满足的条件:
(1)圆心在轴上:
;
(2)圆与轴相切:
(3)圆心在直线上:
_________.
8.过点且与轴切于原点的圆的方程为________________.
9.求:
关于直线对称的的标准方程.
10.与直线相切于点,且圆心到轴的距离等于,求的方程.
11.若经过点,且和直线
相切,并且圆心在直线上,求的方程.
12.若与轴相切,圆心在直线上,且被直线截得的弦长为,求的方程.
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