创新设计一轮复习 第十章 第4节Word文档格式.docx
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若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
P(A∪B)=1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)=1.
(3)不可能事件的概率P(F)=0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=1-P(B).
[微点提醒]
1.任一随机事件A都是样本空间Ω的一个子集,称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素.
2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
3.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)在大量的重复实验中,概率是频率的稳定值.( )
(3)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1.( )
(4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.(必修3P123A3改编)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65
解析 由表知[10,40)的频数为2+3+4=9,
所以样本数据落在区间[10,40)的频率为=0.45.
答案 B
3.(必修3P121T5改编)某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )
A.是互斥事件,不是对立事件
B.是对立事件,不是互斥事件
C.既是互斥事件,也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
解析 “至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况,这两种情况再加上“全是男生”构成全集,且不能同时发生,故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件,也是对立事件.
答案 C
4.(2019·
北京十八中月考)将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上恰有5次”是( )
A.必然事件B.随机事件
C.不可能事件D.无法确定
解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0~10,都有可能发生,正面向上5次是随机事件.
5.(2018·
全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
解析 某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付,它们彼此是互斥事件,所以不用现金支付的概率为1-(0.15+0.45)=0.4.
6.(2019·
潍坊调研)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是________.
解析 乙不输包含两人下成和棋和乙获胜,且它们是互斥事件,所以乙不输的概率为+=.
答案
考点一 样本点与样本空间
【例1】将一枚质地均匀的骰子相继投掷两次,请回答以下问题:
(1)写出样本点和样本空间;
(2)用A表示随机事件“至少有一次掷出1点”,试用样本点表示事件A;
(3)用Aj(j=1,2,3,4,5,6)表示随机事件“第一次掷出1点,第二次掷出j点”;
用B表示随机事件“第一次掷出1点”,试用随机事件Aj表示随机事件B.
解
(1)首先确定样本点,用1,2,3,4,5,6表示掷出的点数,用(i,j)表示“第一次掷出i点,第二次掷出j点”,则相继投掷两次的所有可能结果如下:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
注意到(1,2)和(2,1)是不同的样本点,分别表示“第一次掷出1点,第二次掷出2点”和“第一次掷出2点,第二次掷出1点”这两个随机事件,因此样本空间共有36个样本点.把每个样本点称为基本事件.样本空间为
Ω=
={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}.
(2)因为随机事件A=“至少有一次掷出1点”,则A包括上述样本空间中所有出现1的样本点,因此
A=.
(3)Aj={(1,j)},j=1,2,3,4,5,6.因为这些事件任何一个发生事件B就发生,所以B=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
规律方法 1.在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.关于样本空间的几点说明:
(1)样本空间中的元素可以是数也可以不是数;
(2)样本空间中的样本点可以是有限多个的,也可以是无限多个的.仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间;
(3)建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间Ω={H,T},它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.
【训练1】写出下列随机试验的样本空间Ω.
(1)同时掷三颗骰子,记录三颗骰子点数之和Ω=________.
(2)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数,Ω=________.
答案
(1){3,4,5,…,18}
(2){10,11,12,…}
考点二 随机事件的关系
【例2】
(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人,每个人分得一张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A.是对立事件B.是不可能事件
C.是互斥但不对立事件D.不是互斥事件
(2)设条件甲:
“事件A与事件B是对立事件”,结论乙:
“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析
(1)显然两个事件不可能同时发生,但两者可能同时不发生,因为红牌可以分给丙、丁两人,综上,这两个事件为互斥但不对立事件.
(2)若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1;
投掷一枚硬币3次,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不一定是对立事件,如:
事件A:
“至少出现一次正面”,事件B:
“出现3次正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.
答案
(1)C
(2)A
规律方法 1.准确把握互斥事件与对立事件的概念:
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件,但也可以同时不发生;
(2)对立事件是特殊的互斥事件,特殊在对立的两个事件不可能都不发生,即有且仅有一个发生.
2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;
两个事件,若有且仅有一个发生,则这两个事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
【训练2】从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( )
A.①B.②④C.③D.①③
解析 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况:
一奇一偶,两个奇数,两个偶数.
其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况,它与两个都是偶数构成对立事件.
又①②④中的事件可以同时发生,不是对立事件.
考点三 随机事件的频率与概率
【例3】(2017·
全国Ⅲ卷)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;
如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;
如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计
了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40]
天数
16
36
25
7
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
解
(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表中数据可知,最高气温低于25的频率为=0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,
若最高气温低于20,则Y=200×
6+(450-200)×
2-450×
4=-100;
若最高气温位于区间[20,25),则Y=300×
6+(450-300)×
4=300;
若最高气温不低于25,则Y=450×
(6-4)=900,
所以,利润Y的所有可能值为-100,300,900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
规律方法 1.概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.
2.随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数,这个常数就是概率.
提醒 概率的定义是求一个事件概率的基本方法.
【训练3】如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
选择L1的人数
6
12
18
选择L2的人数
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解
(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
∴用频率估计相应的概率为p==0.44.
(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,
故由调查结果得频率为
L1的频率
0.1
0.2
0.3
L2的频率
0.4
(3)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;
B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.由
(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,
P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.
同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,
P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.
考点四 互斥事件与对立事件的概率
【例4】经统计,在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下:
排队人数
1
5人及5人以上
概率
0.16
0.04
求:
(1)至多2人排队等候的概率;
(2)(一题多解)至少3人排队等候的概率.
解 记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,
所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)法一 记“至少3人排队等候”为事件H,
则H=D∪E∪F,
所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
法二 记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
规律方法 1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.
2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:
一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和;
二是间接法,先求该事件的对立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题,多考虑间接法.
【训练4】(一题多解)一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
解 法一 (利用互斥事件求概率)
记事件A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},
A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},
则P(A1)=,P(A2)==,P(A3)==,
P(A4)=,
根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,
由互斥事件的概率公式,得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为
P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+=.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)
=++=.
法二 (利用对立事件求概率)
(1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1+A2的对立事件为A3+A4,所以取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)
=1--=.
(2)因为A1+A2+A3的对立事件为A4,
所以P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-=.
[思维升华]
1.随机试验、样本空间与随机事件的关系
每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.
2.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
3.对立事件不仅两个事件不能同时发生,而且二者必有一个发生.
4.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:
(1)直接法:
将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算.
(2)间接法:
先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(),即运用逆向思维(正难则反).
[易错防范]
1.易将概率与频率混淆,频率随着试验次数变化而变化,而概率是一个常数.
2.正确认识互斥事件与对立事件的关系,对立事件是互斥事件,是互斥事件中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
3.需准确理解题意,特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为,则比赛5场,甲胜3场
B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈
C.随机试验的频率与概率相等
D.天气预报中,预报明天降水概率为90%,是指降水的可能性是90%
解析 由概率的意义知D正确.
答案 D
2.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )
A.互斥但非对立事件B.对立事件
C.相互独立事件D.以上都不对
解析 由于每人一个方向,事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生,但能同时不发生,故是互斥事件,但不是对立事件.
答案 A
3.设事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则A,B之间的关系一定为( )
A.两个任意事件B.互斥事件
C.非互斥事件D.对立事件
解析 因为P(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.
4.(2018·
石家庄模拟)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )
A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08
解析 记“抽检的产品是甲级品”为事件A,是“乙级品”为事件B,是“丙级品”为事件C,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.
5.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A.B.C.D.1
解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”为事件B,“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C,则C=A∪B,且事件A与B互斥.
由于P(A)=,P(B)=.
所以P(C)=P(A)+P(B)=+=.
二、填空题
6.传说古时候有一个农夫正在田间干活,忽然发现一只兔子撞死在地头的木桩上,他喜出望外,于是拾起兔子回家了,第二天他就蹲在木桩旁守候,就这样日复一日,年复一年,但再也没有等着被木桩碰死的兔子,原因是____________________.
答案 兔子碰死在木桩上是随机事件,可能不发生
7.(2019·
济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________.
解析 ∵事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,
∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为
p=1-P(A)=1-0.65=0.35.
答案 0.35
8.(2019·
北京东城区调研)经统计,在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表:
≥5
则该营业窗口上午9点钟时,至少有2人排队的概率是________.
解析 由表格知,至少有2人排队的概率p=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.
答案 0.74
三、解答题
9.黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表:
血型
A
B
AB
O
该血型的人数所占的比例
28%
29%
8%
35%
已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若他因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
解
(1)任找一人,其血型为A,B,AB,O型血分别记为事件A′,B′,C′,D′,它们是互斥的.由已知,有P(A′)=0.28,P(B′)=0.29,P(C′)=0.08,P(D′)=0.35.
因为B,O型血可以输给B型血的人,故“任找一个人,其血可以输给小明”为事件B′∪D′,根据概率加法公式,得P(B′∪D′)=P(B′)+P(D′)=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“任找一个人,其血不能输给小明”为事件A′∪C′,且P(A′∪C′)=P(A′)+P(C′)=0.28+0.08=0.36.
10.某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
60
50
30
20
10
(1
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- 创新设计一轮复习 第十章 第4节 创新 设计 一轮 复习 第十