数学新学案同步精致讲义选修21北师大版第三章 圆锥曲线与方程 1 12 椭圆的简单性质一.docx
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数学新学案同步精致讲义选修21北师大版第三章圆锥曲线与方程112椭圆的简单性质一
1.2 椭圆的简单性质
(一)
学习目标
1.依据椭圆的方程研究椭圆的简单性质,并正确地画出它的图形.2.依据几何条件求出椭圆方程,并利用椭圆方程研究它的性质、图形.
知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点
思考 在画椭圆图形时,怎样才能画的更准确些?
答案 在画椭圆时,可先画一个矩形,矩形的顶点为(-a,b),(a,b),(-a,-b),(a,-b).
梳理 椭圆的简单性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
图形
焦点坐标
(±c,0)
(0,±c)
对称性
以x轴,y轴为对称轴的轴对称图形,以原点为对称中心的中心对称图形
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0),
B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
范围
|x|≤a,|y|≤b
|x|≤b,|y|≤a
长轴、短轴
长轴A1A2的长为2a,短轴B1B2的长为2b
知识点二 椭圆的离心率
椭圆的焦距与长轴长度的比称为椭圆的离心率,即=e,因为a>c,故椭圆离心率e的取值范围为(0,1),当e趋近于1时,椭圆越扁,当e趋近于0时,椭圆越圆.
1.椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a.(×)
2.椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(×)
3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1.(×)
4.设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).(√)
类型一 椭圆的简单性质
例1 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
解 由已知得+=1(m>0),
因为0<m2<4m2,
所以>,
所以椭圆的焦点在x轴上,并且长半轴长a=,
短半轴长b=,半焦距c=,
所以椭圆的长轴长2a=,短轴长2b=,
焦点坐标为,,
顶点坐标为,,,,
离心率e===.
反思与感悟 从椭圆的标准方程出发,分清其焦点位置,然后再写出相应的性质.
跟踪训练1 已知椭圆C1:
+=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上.
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;
(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质.
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
解
(1)由椭圆C1:
+=1,可得其长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0),离心率e=.
(2)椭圆C2:
+=1.性质如下:
①范围:
-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:
关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:
长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:
(0,6),(0,-6);⑤离心率:
e=.
类型二 由简单性质求椭圆的标准方程
例2
(1)椭圆以两坐标轴为对称轴,并且过点(0,13),(-10,0),则焦点坐标为( )
A.(±13,0)B.(0,±10)
C.(0,±13)D.(0,±)
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案 D
解析 由题意知,椭圆的焦点在y轴上,
且a=13,b=10,则c==,故选D.
(2)已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是___________________________________________________________.
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案 +=1
解析 由已知,得焦点在x轴上,且
∴
∴所求椭圆的标准方程为+=1.
反思与感悟 此类问题应由所给的简单性质充分找出a,b,c所应满足的关系式,进而求出a,b,在求解时,需注意椭圆的焦点位置.
跟踪训练2 根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆方程:
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);
(2)焦点在x轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为6.
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的几何特征求方程
解
(1)当焦点在x轴上时,设椭圆方程为+=1(a>b>0).
依题意,有解得
∴椭圆方程为+=1.
同样地可求出当焦点在y轴上时,
椭圆方程为+=1.
故所求的椭圆方程为+=1或+=1.
(2)依题意,有
∴b=c=6,
∴a2=b2+c2=72,
∴所求的椭圆方程为+=1.
类型三 求椭圆的离心率
例3 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a,b,c的齐次关系式得离心率
解 设椭圆方程为+=1(a>b>0).
∵F1(-c,0),∴P(-c,yp),代入椭圆方程得
+=1,∴y=,
∴|PF1|==|F1F2|,即=2c,
又∵b2=a2-c2,∴=2c,
∴e2+2e-1=0,又∵0<e<1,∴e=-1.
反思与感悟 求解椭圆的离心率,其实质就是构建a,b,c之间的关系式,再结合b2=a2-c2,从而得到a,c之间的关系式,进而确定其离心率.
跟踪训练3 设椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a,b,c得离心率
答案 D
解析 由题意可设|PF2|=m(m>0),结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=====.
1.椭圆9x2+y2=36的短轴长为( )
A.2B.4C.6D.12
考点 椭圆的简单性质
题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性
答案 B
解析 原方程可化为+=1,所以b2=4,b=2,从而短轴长为2b=4.
2.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a,b,c得离心率
答案 A
解析 不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,B为椭圆的上顶点.
依题意可知,△BF1F2是正三角形.
∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,
|BF2|=a,∠OF2B=60°,
∴e==cos60°=,
即椭圆的离心率e=,故选A.
3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+y2=1
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的性质求方程
答案 C
解析 依题意知,所求椭圆的焦点位于x轴上,
且c=1,e==,即a=2,b2=a2-c2=3,
因此椭圆的方程是+=1.
4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的方程是________________________________________________________________________.
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的性质求方程
答案 +=1
解析 由已知,得a=4,b=2,且椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程是+=1.
5.求椭圆25x2+16y2=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
解 将椭圆方程变形为+=1,
得a=5,b=4,所以c=3,
故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=10,2b=8,
离心率e==,
焦点坐标为(0,-3),(0,3),
顶点坐标为(0,-5),(0,5),(-4,0),(4,0).
求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法:
若已知a,c可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法:
若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.
一、选择题
1.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
答案 B
解析 由2x2+3y2=m(m>0),得+=1,
∴c2=-=,∴e2=,∴e=.
2.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程是( )
A.+=1B.x2+=1
C.+y2=1D.+=1
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的性质求方程
答案 B
解析 由已知c=,b=1,∴a2=b2+c2=6,且焦点在y轴上,
∴椭圆的标准方程为+x2=1.
3.椭圆4x2+49y2=196的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A.7,2,B.14,4,
C.7,2,D.14,4,
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
答案 B
解析 先将椭圆方程化为标准形式为+=1,
其中b=2,a=7,c=3.
4.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4,则椭圆的方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的特征求方程
答案 A
解析 依题意得c=2,a+b=10,又a2=b2+c2,所以解得a=6,b=4.
5.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于( )
A.B.C.D.
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的特征求方程
答案 B
解析 ∵a2=2,b2=m,e====,∴m=.
6.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是( )
A.B.
C.D.-
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
答案 C
解析 椭圆方程可化简为+=1,
由题意,知m>0,∴<,∴a=,
∴椭圆的长轴长2a=.
7.设F1,F2是椭圆E:
+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a,b,c得离心率
答案 C
解析 设直线x=与x轴交于点M,则∠PF2M=60°,在Rt△PF2M中,|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=-c,故cos60°===,
解得=,
故离心率e=.
二、填空题
8.A为y轴上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,△AF1F2为正三角形,且AF1的中点B恰好在椭圆上,则此椭圆的离心率为________.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a,b,c得离心率
答案 -1
解析 如图,连接BF2.因为△AF1F2为正三角形,且B为线段AF1的中点,
所以F2B⊥BF1.
又因为∠BF2F1=30°,|F1F2|=2c,
所以|BF1|=c,|BF2|=c,
由椭圆定义得|BF1|+|BF2|=2a,
即c+c=2a,所以=-1,
所以椭圆的离心率e=-1.
9.若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是____________.
考点 由椭圆的简单性质求方程
题点 由椭圆的特征求方程
答案 +=1
解析 ∵x=1是圆x2+y2=1的一条切线,
∴椭圆的右焦点为(1,0),即c=1.
设P,则kOP=,∵OP⊥AB,∴kAB=-2,则直线AB的方程为y=-2(x-1),它与y轴的交点为(0,2).∴b=2,a2=b2+c2=5,故椭圆的方程为+=1.
10.已知椭圆C的上、下顶点分别为B1,B2,左、右焦点分别为F1,F2,若四边形B1F1B2F2是正方形,则此椭圆的离心率e=________.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a,b,c得离心率
答案
解析 因为四边形B1F1B2F2是正方形,所以b=c,
所以a2=b2+c2=2c2,所以e==.
11.在△ABC中,tanA=,B=.若椭圆E以AB为长轴,且过点C,则椭圆E的离心率是________.
考点 椭圆的离心率问题
题点 求a,b,c得离心率
答案
解析 由tanA=,得sinA=,cosA=.
又B=,∴sinB=,cosB=,
则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
=×+×=.
由正弦定理,得|BC|∶|CA|∶|AB|=sinA∶sinB∶sinC=1∶∶2.
不妨取|BC|=1,|CA|=,|AB|=2.
以AB所在直线为x轴,AB中点O为原点建立直角坐标系(C在x轴上方),D是C在AB上的射影.
可求得|AD|=,|OD|=,|CD|=,
∴点C.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),
则a2=2,且+=1,解得b2=,
∴c2=a2-b2=2-=,
∴e2==,又∵0<e<1,∴e=.
三、解答题
12.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0),其焦距与长轴长的比值是,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长及顶点坐标.
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆方程求顶点、焦点、长短轴、离心率
解 椭圆方程可化为+=1.
因为m>0,所以m-=>0,
所以m>,所以a2=m,b2=,
所以c==.
由=,得=,解得m=1,
所以a=1,b=,则椭圆的标准方程为x2+=1,
所以椭圆的长轴长为2,短轴长为1,
四个顶点的坐标分别为(-1,0),(1,0),,.
13.已知椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,斜率为k的直线l过左焦点F1且与椭圆的交点为A,B,与y轴的交点为C,且B为线段CF1的中点,若|k|≤,求椭圆离心率e的取值范围.
考点 由椭圆方程研究简单性质
题点 由椭圆的特征求参数
解 依题意得F1(-c,0),直线l:
y=k(x+c),
则C(0,kc).
因为点B为线段CF1的中点,所以B.
因为点B在椭圆上,所以+=1,
即+=1.
所以+=1,所以k2=.
由|k|≤,得k2≤,即≤,
所以2e4-17e2+8≤0.解得≤e2≤8.
因为0 即e的取值范围是. 四、探究与拓展 14.已知c是椭圆+=1(a>b>0)的半焦距,则的取值范围是( ) A.(1+∞)B.(,+∞) C.(1,)D.(1,] 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的特征求参数 答案 D 解析 椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形,两直角边长分别为b,c,斜边为a,由直角三角形的两直角边之和大于斜边得b+c>a,∴>1,又∵2=≤=2(当且仅当b=c时,取等号),∴1<≤,故选D. 15.设F1,F2分别是椭圆E: +=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2的周长为16,求|AF2|; (2)若cos∠AF2B=,求椭圆E的离心率. 考点 椭圆离心率问题 题点 求a,b,c得离心率 解 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2的周长为16, 所以由椭圆定义可得4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8, 故|AF2|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则k>0且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义,得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2中,由余弦定理,得 |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B, 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k), 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k,|AB|=4k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1A⊥F2A, 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c=a,所以椭圆E的离心率e==.
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