全国中考数学压轴题精选.docx
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全国中考数学压轴题精选
51.(08湖南郴州27题)(本题满分10分)如图10,平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4,E为BC边上的一个动点(不与B、C重合).过E作直线AB的垂线,垂足为F.FE与DC的延长线相交于点G,连结DE,DF..
(1)求证:
ΔBEF∽ΔCEG.
(2)当点E在线段BC上运动时,△BEF和△CEG的周长之间有什么关系?
并说明你的理由.
(3)设BE=x,△DEF的面积为y,请你求出y和x之间的函数关系式,并求出当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
AD
F
MBCxE
图10
(08湖南郴州27题解析)
(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以ABDG1分所以BGCE,GBFE
所以△BEF∽△CEG²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²3分
(2)△BEF与△CEG的周长之和为定值.²²²²²²²²²²²²²²²²²4分理由一:
过点C作FG的平行线交直线AB于H,
因为GF⊥AB,所以四边形FHCG为矩形.所以FH=CG,FG=CH
因此,△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH
由BC=10,AB=5,AM=4,可得CH=8,BH=6,
所以BC+CH+BH=24²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分理由二:
由AB=5,AM=4,可知DA在Rt△BEF与Rt△GCE中,有:
F4343EFBE,BFBE,GEEC,GCCE,5555MC1212BEx所以,△BEF的周长是BE,△ECG的周长是CE55
又BE+CE=10,因此BEF与CEG的周长之和是24.²²²²²²²²²²²6分
43(3)设BE=x,则EFx,GC(10x)55
11436222所以yEFDGx[(10x)5]xx²²²²²²²²²8分2255255
655121配方得:
y.(x)22566
55所以,当x时,y有最大值.²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²9分6
121最大值为.²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分6
52(08湖南郴州28题)(本题满分10分)
如图13,在平面直角坐标系中,圆M经过原点O,且与x轴、y轴分别相交于A8,0、B0,6两点.
69
(1)求出直线AB的函数解析式;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在⊙M上,开口向下,且经过点B,求此抛物线的函数解析式;
(3)设
(2)中的抛物线交x轴于D、E两点,在抛物线上是否存在点P,使得
1
SABC?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.10
(08湖南郴州28题解析)解:
(1)设AB的函数表达式为ykxb.SPDE
3
08kb,k,
∵A8,0,B0,6,∴∴4
6b.b6.
3
∴直线AB的函数表达式为yx6.²²²²²²²²²²²²²²²²²²²3分
4
(2)设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点,依题意知这一点就是抛物线的顶点C。
又设对称
AO2OB2826210.
因为⊙M经过O、A、B三点,且AOB90,AB为⊙M的直径,∴半径MA=5,∴N为AO
轴与x轴相交于点N,在直角三角形AOB中,AB
的中点AN=NO=4,∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2,∴C点的坐标为(-4,2).设所求的抛物线为yaxbxc
2
1b
4,a,2a2
则216a4bc,b4,6c.c6.
12
∴所求抛物线为yx4x6²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²7分
2
12
(3)令x4x6.0,得D、E两点的坐标为D(-6,0)、E(-2,0),所以DE=4.
2
1
又AC=25,BC4,直角三角形的面积SABC25420.
2
111
假设抛物线上存在点px,y使得SPDESABC,即DEy20,y1.
10210
当y1时,
x42;当y1时,x4.故满足条件的存在.它们是
P,P24,P341,P441.²²²²²²²10分14
53(08湖南湘潭26题)(本题满分10分)已知抛物线yax2bxc经过点A(5,0)、B(6,-6)和原点.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若过点B的直线ykxb与抛物线相交于点C(2,m),请求出OBC的面积S的值.(3)过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D,在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上,任取一点P,过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F,交直线DC于点E.直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED(如图),是否存在点P,使得OCD与CPE相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
y
6
42
D
CE
P
F
12-GA
5
x
70-4
-6
B
25a5bc0(08湖南湘潭26题解析)解:
(1)由题意得:
36a6bc02分
c0
a1解得b5²²²²²²²²²²²²²3分
c0
故抛物线的函数关系式为yx5x²²²4分
(2)C在抛物线上,252m,m65分
,B、C在直线ykxb上C点坐标为(2,6)
62kb解得k3,b1266kb
²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分直线BC的解析式为y3x12
设BC与x轴交于点G,则G的坐标为(4,0)22
11SOBC464624²²²²²²²²²²²²²²²²²²7分22
(3)存在P,使得OCD∽CPE²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²8分
设P(m,n),ODCE90
故CEm2,EP6n
ODDCODDC若要OCD∽CPE,则要或CEEPEPCE
6262即或m26n6nm2
解得m203n或n123m
m203nn123m又(m,n)在抛物线上,或22nm5mnm5m
10mm12m2613m22,,,或解得
n16n26n50n26
19
1050故P点坐标为()和(6,6)²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分39
(只写出一个点的坐标记9分)
54.(08湖南永州25题)(10分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a
>0)与坐标轴交于点A、B、C且OA=1,OB=OC=3.
(1)求此二次函数的解析式.
(2)写出顶点坐标和对称轴方程.
2(3)点M、N在y=ax+bx+c的图像上(点N在点M的右边),且
MN∥x轴,求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径.
71
(08湖南永州25题解析)
(1)依题意A(1,,0)B(3,,0)C(0,3)分别代入yaxbxc²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²1分解方程组得所求解析式为yx2x3²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分
(2)yx2x3(x1)4²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²5分2222
4),对称轴x1²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²7分顶点坐标(1,
(3)设圆半径为r,当MN在x轴下方时,N点坐标为(1r,²²²²²²²²8分r)
把N点代入yx2x
3得r
同理可得另一种情形r2²²²²²²²²²²²²²²²²²²9分
10分
55.(08吉林长春27题)(12分)已知两个关于x的二次函数y1与当xk时,y217;且二次函数y2的图象的对称轴是直
y2,y1a(xk)22(k0),y1y2x26x12线x1.
(1)求k的值;
(2)求函数y1,y2的表达式;
(3)在同一直角坐标系又因为当xk时,y217,即k6k1017,
解得k11,或k27(舍去),故k的值为1.
(2)由k1,得y2x6x10a(x1)(1a)x(2a6)x10a,所以函数y2的图象的对称轴为x
于是,有22222222222a6,2(1a)2a61,解得a1,2(1a)
2,y22x24x11.所以y1x2x1
(3)由y1(x1)2,得函数y1的图象为抛物线,其开口向下,顶点坐标为(1,2);由y22x4x112(x1)9,得函数y2的图象为抛物线,其开口向上,顶点坐标为(1,9);
故在同一直角坐标系▲,数量关系为▲.
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90º,点D在线段BC上运动.
试探究:
当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?
画出相应图形,并72222
说明理由.(画图不写作法)
BEC
图甲
F
E
A
F
B
图乙第28题图
E
C
图丙
(3)若AC
=BC=3,在
(2)的条件下,设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P,求线段CP长的最大值.(08江苏盐城28题解析)
(1)①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等;②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90º.
∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC,∴∠DAB=∠FAC,又AB=AC,∴△DAB≌△FAC,∴CF=BD∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90º,AB=AC,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º.即CF⊥BD
(2)画图正确
A当∠BCA=45º时,CF⊥BD(如图丁).
F理由是:
过点A作AG⊥AC交BC于点G,∴AC=AG
可证:
△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45º
C∠BCF=∠ACB+∠ACF=90º.即CF⊥BDBGDE
(3)当具备∠BCA=45º时,图丁
过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q,(如图戊)
F∵DE与CF交于点P时,∴此时点D位于线段CQ上,
∵∠BCA=45º,可求出AQ=CQ=4.设CD=x,∴DQ=4—x,A
CPx
容易说明△AQD∽△DCP,∴CPCD,∴,E
4x4DQAQ
P
x21QBDCCPx(x2)21.
图戊44
∵0<x≤3∴当x=2时,CP有最大值1.57.(08江西省卷24题)(本大题9分)已知:
如图所示的两条抛物线的解析式分别是
y1ax2ax1,y2ax2ax1(其中a为常数,且a0).
(1)请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论;..
(2)当a
12
时,设y1axax1与x轴分别交于M,N两点(M在N的左边),2
y2ax2ax1与x轴分别交于E,F两点(E在F的左边),观察M,N,E,F四点
坐标,请写出一个你所得到的正确结论,并说明理由;..
l1,l2(3)设上述两条抛物线相交于A,B两点,直线l,l1,l2都垂直于x轴,分别经过A,B两点,l在直线l1,l2之间,且l与两条抛物线分别交于C,D两点,求线段CD的最大值.
(08江西省卷24题解析)
(1)解:
答案不唯一,只要合理均可.例如:
①抛物线y1axax1开口向下,或抛物线y2axax1开口向上;
2
2
73
②抛物线y1axax1的对称轴是x
2
12
,或抛物线y2axax1的对称轴是2
1;2
2
③抛物线y1axax1经过点(0,1);1),或抛物线y2ax2ax1经过点(0,x
④抛物线y1axax1与y2axax1的形状相同,但开口方向相反;⑤抛物线y1axax1与y2axax1都与x轴有两个交点;
⑥抛物线y1axax1经过点(11),或抛物线y2axax1经过点(1,1);等等.²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²3分
2
2
22
22
11111
时,y1x2x1,令x2x10,22222
解得xM2,xN1.²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²4分
1111
y2x2x1,令x2x10,解得xE1,xF2.²²²²²²²5分
2222
点M与点F对称,点N与点E对称;①xMxF0,xNxE0,
M,N,E,F四点横坐标的代数和为0;②xMxFxNxE0,
③MN3,EF3,.²²²²²²²²²²²²²6分MNEF(或MENF)(3)a0,
抛物线y1ax2ax1开口向下,抛物线y2ax2ax1开口向上.²²²²7分
(2)当a
根据题意,得CDy1y2(axax1)(axax1)2ax2.²²²²8分²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²9分当x0时,CD的最大值是2.
说明:
1.第
(1)问每写对一条得1分;
2.第
(2)问中,①②③任意写对一条得1分;其它结论参照给分.58(08江西省卷25题)(本大题10分)如图1,正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1,点E,F分别在线段AB,AD上滑动,设点G到CD的距离为x,到BC的距离为y,记.HEF为(当点E,F分别与B,A重合时,记0)
(1)当0时(如图2所示),求x,y的值(结果保留根号);
(2)当为何值时,点G落在对角线AC上?
请说出你的理由,并求出此时x,y的值(结果保留根号);
边上滑动”.当滑动一周时,请使用(3)的结果,在图4中描出部分点后,勾画出点G运动所形成的大致图形.
2
2
2
sin151.732,
0.259,sin75A(F
D
图1
B(E图2
74
图3
图4
C
(08江西省卷25题解析)解:
(1)过G作MNAB于M交CD于N,GKBC于K.ABG60,BG1,
H
D1A(F),BM.
MG22MN1,y.
2分x12CB(E)K
(2)当45时,点
G在对角线AC上,其理由是:
²²²²²²²²²²²²²3分
过G作IQ∥BC交AB,CD于I,Q,
过G作JP∥AB交AD,BC于J,P.
AC平分BCD,GPGQ,GIGJ.DGEGF,Rt△GEI≌Rt△GFJ,GEIGFJ.
GEFGFE60,AEFAFE.
EAF90,AEFAFE45.Q即45时,点G落在对角线AC上.4分(以下给出两种求x,y的解法)
方法一:
AEG4560105,GEI75.
sin75在Rt△GEI中,GIGE
GQIQGI1,.²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²5分²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分方法二:
当点G在对角线AC上时,有
1,²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²5分2解得x1xy1²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²6分xy1(3)8分
(4)由点G所得到的大致图形如图所示:
75
HAD
BC²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²10分说明:
1.第
(1)问中,写对x,y的值各得1分;
2.第
(2)问回答正确的得1分,证明正确的得1分,求出x,y的值各得1分;
3.第填对其中4空得1分;
3.图形大致画得正确的得2分.
59(08山东济南24题)(本小题满分9分)
已知:
抛物线yax2bxc(a≠0),顶点C(1,3),与x轴交于A、B两点,A(1,0).
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对
称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P
与A、B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断
PMPN是否为定值?
若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.BEAD
(3)在
(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作
FG⊥EP,FG分别与边.AE、BE相交于点F、G(F与A、E不重合,G
PAEF与E、B不重合),请判断是否成立.若成立,请给出证第24题图
PBEG
明;若不成立,请说明理由.
(08山东济南24题解析)解:
(1)设抛物线的解析式为ya(x1)23......1分
3将A(-1,0)代入:
0a(11)23∴a....................2分4
3339∴抛物线的解析式为y(x1)23,即:
yx2x..............3分4424
PMPN
(2)是定值,...........................................4分1BEAD
∵AB为直径,∴∠AEB=90°,∵PM⊥AE,∴PM∥BE
PMAP∴△APM∽△ABE,∴①BEAB
PNPB同理:
②..............................................5分ADAB
PMPNAPPB①+②:
....................................6分1BEADABAB
(3)∵直线EC为抛物线对称轴,∴EC垂直平分AB
∴EA=EB
∵∠AEB=90°
∴△AEB为等腰直角三角形.
∴∠EAB=∠EBA=45°...........7分
如图,过点P作PH⊥BE于H,
由已知及作法可知,四边形PHEM是矩形,
∴PH=ME且PH∥ME76
在△APM和△PBH中∵∠AMP=∠PHB=90°,∠EAB=∠BPH=45°
∴PH=BH
且△APM∽△PBHPAPM∴PBBH
PAPMPM∴①..........8分PBPHME
在△MEP和△EGF中,
∵PE⊥FG,∴∠FGE+∠SEG=90°
∵∠MEP+∠SEG=90°∴∠FGE=∠MEP
∵∠PME=∠FEG=90°∴△MEP∽△EGFPMEF∴②MEEG
PAEF由①、②知:
..............................................9分PBEG
(本题若按分类证明,只要合理,可给满分)
60.(08浙江杭州24)在直角坐标系xOy中,设点(A0,t),点(Qt,b)。
平移二次函数ytx
的图象,得到的抛物线F满足两个条件:
①顶点为Q;②与x轴
相交于B,C两点(∣OB∣<∣OC∣),连结A,B。
(1)是否存在这样的抛物线F,使得OA
出判断,并说明理由;
(2)如果AQ∥BC,且tan∠ABO=
的解析式。
(08浙江杭州24题解析)∵平移ytx的图象得到的抛物线F的
顶点为Q,
∴抛物线F对应的解析式为:
yt(xt)b.---2分∵抛物线与x轴有两个交点,∴tb0.---1分令y0,得OBt
∴|OB||OC||(t
即t2b
22OBOC?
请你作3,求抛物线F对应的二次函数222b,OCttb,tbbb2)(t)||t|t2OA2,tttt2,所以当b2t3时,存在抛物线F使得|OA|2|OB||OC|.--2分
2
(2)∵AQ//BC,∴tb,得F:
yt(xt)t,
解得x1t1,x2t1.---1分在RtAOB中,
1)当t0时,由|OB||OC|,得B(t1,0),
当t10时,由tanABOt3|OA|,解得t3,2|OB|t1
2此时,二次函数解析式为y3x18x24;---2分
t3|OA|3,解得t,2|OB|t15
31848此时,二次函数解析式为yx2+.---2分
x+525125当t10时,由tanABO
77
2)当t0时,由|OB||OC|,将t代t,可得t
(也可由x代x,y代y得到)
所以二次函数解析式为y3,t3,53218x+x–48或y3x218x24.---2分.525125
61.(08广东中山22题)将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.
(1)填空:
如图9,AC=,BD=;四边形ABCD是梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).
(3)如图10,若以AB所在直线为x轴,过点A垂直于AB的直线为y轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向x轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.C图9图10(08广东中山22题解析)解:
(1
)
分
等腰;„„„„„„„„„„2分
(2)共有9对相似三角形.(写对3-5对得1分,写对6-8对得2分,写对9对得3分)①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似,分别是:
△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对)
②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对)
③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对)
所以,一共有9对相似三角形.„„„„„„„„„„„„„„„„5分
(3)由题意知,FP∥AE,
∴∠1=∠PFB,
又∵∠1=∠2=30°,
∴∠PFB=∠2=30°,
∴FP=BP.„„„„„„„„„„6分
过点P作PK⊥FB于点K,则FKBK
∵AF=t,AB=8,
∴FB=8-t,BK121(8t).2
1在Rt△BPK中,PKBKtan2(8211∴△FBP的面积SFBPK(
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