最新珍藏初中数学二次函数教案名师优秀教案.docx
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最新珍藏初中数学二次函数教案名师优秀教案
珍藏初中数学二次函数教案
精品初中试卷
6.1二次函数,1,
教学目标,
(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯
重点难点,
能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
教学过程,
一、试一试
1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2(试将计算结果填写在下表的空格中,另
AB长x(m)123456789
BC长(m)12
2面积y(m)48
2(x的值是否可以任意取?
有限定范围吗?
3(我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定,y是x的函数,试写出这个函数的关系式,
对于1.,可让学生根据表中给出的AB的长,填出相应的BC的长和面积,然后引导学生观察表格中数据的变化情况,提出问题:
(1)从所填表格中,你能发现什么,
(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?
让学生思考、交流、发表意见,达成共识:
当AB的长为5cm,BC的长为10m时,围成的矩形面积最大;最大面积为50m2。
对于2,可让学生分组讨论、交流,然后各组派代表发表意见。
形成共识,x的值不可以任意取,有限定范围,其范围是0,x,10。
对于3,教师可提出问题,
(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?
(2)面积y等于多少?
并指出y=x(20,2x)(0,x,10)就是所求的函数关系式(
二、提出问题
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件(该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件。
将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
精品初中试卷
在这个问题中,可提出如下问题供学生思考并回答:
1(商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?
[利润=(售价,进价)×销售量]
2(如果不降低售价,该商品每件利润是多少元?
一天总的利润是多少元?
[10,8=2(元),(10,8)×100=200(元)]
3(若每件商品降价x元,则每件商品的利润是多少元?
一天可销售约多少件商品?
[(10,8,x);(100,100x)]
4(x的值是否可以任意取?
如果不能任意取,请求出它的范围,
[x的值不能任意取,其范围是0?
x?
2]
5(若设该商品每天的利润为y元,求y与x的函数关系式。
[y=(10,8,x)(100,100x)(0?
x?
2)]
将函数关系式y=x(20,2x)(0,x,10,化为:
y=,2x2,20x(0,x,10)„„„„„„„„„„„
(1)
将函数关系式y=(10,8,x)(100,100x)(0?
x?
2)化为:
y=,100x2,100x,20D(0?
x?
2)„„„„„„„„
(2)
三、观察;概括
1.教师引导学生观察函数关系式
(1)和
(2),提出以下问题让学生思考回答;
(1)函数关系式
(1)和
(2)的自变量各有几个?
(各有1个)
(2)多项式,2x2,20和,100x2,100x,200分别是几次多项式?
(分别是二次多项式)
(3)函数关系式
(1)和
(2)有什么共同特点?
(都是用自变量的二次多项式来表示的)
(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点,
让学生讨论、交流,发表意见,归结为:
自变量x为何值时,函数y取得最大值。
2(二次函数定义:
形如y=ax2,bx,c(a、b、、c是常数,a?
0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项(
四、课堂练习
1.(口答)下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=5x,1
(2)y=4x2,1
(3)y=2x3,3x2(4)y=5x4,3x,1
2(P3练习第1,2题。
五、小结
1(请叙述二次函数的定义(
2,许多实际问题可以转化为二次函数来解决,请你联系生活实际,编一道
精品初中试卷
二次函数应用题,并写出函数关系式。
六、作业:
略
6.2二次函数的图象与性质
(1)[教学目标]
2会用描点法画出二次函数的图象,概括出图象的特点及函数的性质(y,ax
[教学过程]
[新课引入]
3y,y,2x,1x我们已经知道,一次函数,反比例函数的图象分别
2y,x是、,那么二次函数的图象是什么呢,
2y,x
(1)描点法画函数的图象前,想一想,列表时如何合理选值,以什么数为中心,当x取互为相反数的值时,y的值如何,
2y,x
(2)观察函数的图象,你能得出什么结论,
[例题精讲]
例1(在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有何共同点,有何不同点,
22
(1)
(2)y,2xy,,2x
解列表
„„x-3-2-10123
2y,2x„„188202818
2„„y,,2x-18-8-20-2-8-18分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是抛物线,如图26(2(1(
共同点:
都以y轴为对称轴,顶点都在坐标原点(
2不同点:
的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左边,y,2x
精品初中试卷
曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升(
2的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对称轴的左y,,2x
边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降(回顾与反思在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接(
2k,k,4x,0例2(已知是二次函数,且当时,y随x的增大而增大(y,(k,2)x
(1)求k的值;
(2)求顶点坐标和对称轴(
2,k,k,4,2解
(1)由题意,得,解得k=2(,k,2,0,
2
(2)二次函数为,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴(y,4x
2例3(已知正方形周长为Ccm,面积为Scm(
(1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象;2
(2)根据图象,求出S=1cm时,正方形的周长;
2(3)根据图象,求出C取何值时,S?
4cm(
分析此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C的取值应在取值范围内(
12S,C(C,0)解
(1)由题意,得(16
列表:
„C2468
1192S,C„141644
描点、连线,图象如图26(2(2(
2
(2)根据图象得S=1cm时,正方形的周长是4cm(
2(3)根据图象得,当C?
8cm时,S?
4cm(
回顾与反思
(1)此图象原点处为空心点(
(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y((3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分(
[当堂课内练习]
1(在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、
精品初中试卷
对称轴和顶点坐标(
1222
(1)
(2)(3)y,xy,3xy,,3x3
222(
(1)函数的开口,对称轴是,顶点坐标是;y,x3
12
(2)函数的开口,对称轴是,顶点坐标y,,x4
是(
3(已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数,并画出图象的草图(
6(2二次函数的图象与性质
(2)[教学目标]
2会画出这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质(y,ax,k
[教学过程]
[例题精讲]
22例1(在同一直角坐标系中,画出函数与的图象(y,2xy,2x,2解列表(
„„x-3-2-10123
2„„y,2x188202818
2y,2x,2„„20104241020
描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26(2(3所示(
精品初中试卷
回顾与反思当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系,反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系,探索观察这两个函数,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同
22的,又有哪些不同,你能由此说出函数与的图象之间的关y,2xy,2x,2系吗,
22例2(在同一直角坐标系中,画出函数与的图象,并说y,,x,1y,,x,1
22明,通过怎样的平移,可以由抛物线得到抛物线(y,,x,1y,,x,1解列表(
„„x-3-2-10123
2y,,x,1„„-8-3010-3-8
2„„y,,x,1-10-5-2-1-2-5-10描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26(2(4所示(
22可以看出,抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到y,,x,1y,,x,1的(
22回顾与反思抛物线和抛物线分别是由抛物线y,,x,1y,,x,1
2向上、向下平移一个单位得到的(y,,x
22探索如果要得到抛物线,应将抛物线作怎样的平y,,x,4y,,x,1
精品初中试卷
移,
2回顾与反思(a、k是常数,a?
0)的图象的开口方向、对称轴、顶y,ax,k
点坐标归纳如下:
开口方向对称轴顶点坐标
2a,0y,ax,k
a,0
[当堂课内练习]
1(在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
111222y,x,y,x,2,y,x,2(222
观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位
12y,x,k置(你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗,2
12y,x,92(抛物线的开口,对称轴是,顶点坐标4
12y,x是,它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的(4
23(函数,当x时,函数值y随x的增大而减小(当x时,y,,3x,3
函数取得最值,最值y=(
6(2二次函数的图象与性质(3)[教学目标]
2会画出这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质(y,a(x,h)
[教学过程]
[新课引入]
22我们已经了解到,函数的图象,可以由函数的图象上y,ax,ky,ax
12y,(x,2)下平移所得,那么函数的图象,是否也可以由函数平移而得2
精品初中试卷
12呢,画图试一试,你能从中发现什么规律吗,y,x2
[例题精讲]
例1(在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象(
111222,,,并指出它们的开口方向、对称轴y,xy,(x,2)y,(x,2)222
和顶点坐标(
解列表(
„„x-3-2-10123
111992y,x„„20222222
11125252y,(x,2)„„02822222
2511192y,(x,2)„„82022222
描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26(2(5所示(它们的开口方向都向上;对称轴分别是y轴、直线x=-2和直线x=2;顶点坐标分别是(0,0),(-2,0),(2,0)(
回顾与反思对于抛物线
12y,(x,2),当x时,函数值y随x的增大而减小;当x时,2
函数值y随x的增大而增大;当x时,函数取得最值,最值y=(
精品初中试卷
111222探索抛物线和抛物线分别是由抛物线y,xy,(x,2)y,(x,2)222
12向左、向右平移两个单位得到的(如果要得到抛物线,应将抛物y,(x,4)2
12线作怎样的平移,y,x2
22例2(不画出图象,你能说明抛物线与之间的关系吗?
y,,3xy,,3(x,2)
22解抛物线的顶点坐标为(0,0);抛物线的顶点坐y,,3xy,,3(x,2)标为(-2,0)(
22因此,抛物线与形状相同,开口方向都向下,对称轴y,,3xy,,3(x,2)
22x,,2分别是y轴和直线(抛物线是由向左平移2个y,,3(x,2)y,,3x单位而得的(
2(a、h是常数,a?
0)的图象的开口方向、对称轴、回顾与反思y,a(x,h)
顶点坐标归纳如下:
开口方向对称轴顶点坐标
2a,0y,a(x,h)
a,0
[当堂课内练习]
21(画图填空:
抛物线的开口,对称轴是,顶点坐标y,(x,1)
2是,它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的(y,x
2(在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象(
222,,,并指出它们的开口方向、对称轴y,,2xy,,2(x,3)y,,2(x,3)
和顶点坐标(
精品初中试卷
6(2二次函数的图象与性质(4)[教学目标]
221(掌握把抛物线平移至+k的规律;y,axy,a(x,h)
22(会画出+k这类函数的图象,通过比较,了解这类函数的性质(y,a(x,h)
[教学过程]
[新课引入]
2由前面的知识,我们知道,函数的图象,向上平移2个单位,可以得y,2x
22到函数的图象;函数的图象,向右平移3个单位,可以得到y,2x,2y,2x
22函数的图象,那么函数的图象,如何平移,才能得到函y,2(x,3)y,2x
2数的图象呢,y,2(x,3),2
[例题精讲]
例1(在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象(
111222y,xy,(x,1),2y,(x,1),,,并指出它们的开口方向、对称轴222
和顶点坐标(
解列表(
„„x-3-2-10123
191192y,x„„20222222
19112y,(x,1)„„82022222
51332,,y,(x,1),2„„60-202222
精品初中试卷
描点、连线,画出这三个函数的图象,如图26(2(6所示(
它们的开口方向都向,对称轴分别为、、,顶点坐标分别为、、(请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系(
2回顾与反思二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数+ky,a(x,h)中k的值;左右平移,只影响h的值,抛物线的形状不变,所以平
移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径(此外,图象的平移
与平移的顺序无关(
探索你能说出函数
2h、k是常数,+k(a、y,a(x,h)
a?
0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗,试填写下表(
开口方向对称轴顶点坐标
2a,0+ky,a(x,h)
a,0
2例2(把抛物线向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到y,x,bx,c
2抛物线,求b、c的值(y,x
2分析把抛物线向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到y,x,bx,c
22抛物线,也就意味着把抛物线向下平移2个单位,再向右平移4y,xy,x
2个单位,得到抛物线(那么,本题还可以用更简洁的方法来解,y,x,bx,c
b,,8,请你试一试(,c,14,
[当堂课内练习]
精品初中试卷
221(将抛物线如何平移可得到抛物线y,2(x,4),1y,2x()
A(向左平移4个单位,再向上平移1个单位
B(向左平移4个单位,再向下平移1个单位
C(向右平移4个单位,再向上平移1个单位
D(向右平移4个单位,再向下平移1个单位
322(把抛物线向左平移3个单位,再向下平移4个单位,所得的抛物线y,,x2
的函数关系式为(
1122y,1,2x,x3(抛物线可由抛物线y,,x向平移个单位,再22
向平移个单位而得到(
6(2二次函数的图象与性质(5)[教学目标]
221(能通过配方把二次函数化成+k的形式,从而y,ax,bx,cy,a(x,h)确定开口方向、对称轴和顶点坐标;
2(会利用对称性画出二次函数的图象(
[教学过程]
[新课引入]
22我们已经发现,二次函数的图象,可以由函数的y,2(x,3),1y,2x图象先向平移个单位,再向平移个单位得到,因此,可以直接得出
2:
函数的开口,对称轴是,顶点坐标y,2(x,3),1
2是(那么,对于任意一个二次函数,如,你能很容y,,x,3x,2易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象吗,[例题精讲]
2例1(通过配方,确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐y,,2x,4x,6
标,再描点画图(
2解y,,2x,4x,6
精品初中试卷
2,,2(x,2x),6
2,,2(x,2x,1,1),62,,,,2(x,1),1,6
2,,2(x,1),8
因此,抛物线开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,8)(由对称性列表:
„„x-2-101234
2y,,2x,4x,6„„-1006860-10
描点、连线,如图26(2(7所示(
回顾与反思
(1)列表时选值,应以对称轴x=1为中心,函数值可由对称性得到,(
(2)描点画图时,要根据已知抛物线的特点,一般先找出顶点,并用虚线画对称轴,然后再对称描点,最后用平滑曲线顺次连结各点(
2探索对于二次函数,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐y,ax,bx,c
标吗,请你完成填空:
对称轴,顶点坐标(
2例2(已知抛物线的顶点在坐标轴上,求a的值(y,x,(a,2)x,9
分析顶点在坐标轴上有两种可能:
(1)顶点在x轴上,则顶点的纵坐标等于0;
(2)顶点在y轴上,则顶点的横坐标等于0(
22
(2)a,a,22()9,x,,,解,y,x,(a,2)x,924
2,,aa,2(,2),9,则抛物线的顶点坐标是(,,24,,
精品初中试卷
a,2当顶点在x轴上时,有,,,02
a,,2解得(
2(a,2)当顶点在y轴上时,有,9,,04
a,4a,,8解得或(
2所以,当抛物线的顶点在坐标轴上时,有三个值,分别ay,x,(a,2)x,9
是–2,4,8(
[当堂课内练习]
21(
(1)二次函数的对称轴是(y,,x,2x
2
(2)二次函数的图象的顶点是,当x时,y,2x,2x,1
y随x的增大而减小(
2)抛物线的顶点横坐标是-2,则=((3ay,ax,4x,6
12(,,1)2(抛物线的顶点是,则、c的值是多少,ay,ax,2x,c3
6.3用函数的观点看一元二次方程,1,教学目标,
1(通过探索,使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
2(使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题,提高学生用数学的意识。
3(进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想。
重点难点,
重点:
使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。
难点:
进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点(教学过程,
一、引言
在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,如拱桥
精品初中试卷
跨度、拱高计算等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义。
本节课,请同学们共同研究,尝试解决以下几个问题。
二、探索问题
问题1:
某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内,柱高为0.8m。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图
(1)所示。
根据设计图纸已知:
如图
(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平
4距离x(m)之间的函数关系式是y,,x2,2x,。
5
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水
池内?
教学要点
1(让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题
(1)就是求函
4数y,,x2,2x,最大值,问题
(2)就是求如图
(2)B点的横坐标;5
2(学生解答,教师巡视指导;
3(让一两位同学板演,教师讲评。
问题2:
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示,现测得,当水面宽AB,1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m。
这时,离开水面1.5m处,涵洞宽ED是多少?
是否会超过1m?
教学要点
1(教师分析:
根据已知条件,要求ED的宽,只要求出FD的长
度。
在如图(3)的直角坐标系中,即只要求出D点的横坐标。
因
为点D在涵洞所成的抛物线上,又由已知条件可得到点D的纵坐标,所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。
2(让学生完成解答,教师巡视指导。
3(教师分析存在的问题,书写解答过程。
解:
以AB的垂直平分线为y轴,以过点O的y轴的垂线为x轴,建立直角坐标系。
这时,涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式为:
y,ax2(a,0)
精品初中试卷
(1)
AB因为AB与y轴相交于C点,所以CB,,0.8(m),又OC,2.4m,所以点B的坐2
标是(0.8,,2.4)。
因为点B在抛物线上,将它的坐标代人
(1),得,2.4,a×0.82所以:
a,15,4
15因此,函数关系式是y,,x2
(2)4
因为OF,1.5m,设FD,x1m(x1,0),则点D坐标为(x1,,1.5)。
因为点D的坐
152标在抛物线上,将它的坐标代人
(2),得,1.5,,x12x12,x145
10,?
5
1010x1,,不符合假设,舍去,所以x1,。
55
1022ED,2FD,2×x1,2×,10?
×3.162?
1.26(m)555
2所以涵洞ED是10m,会超过1m。
5
问题3:
画出函数y,x2,x,3/4的图象,根据图象回答下列问题。
(1)图象与x轴交点的坐标是什么;
3
(2)当x取何值时,y,0?
这里x的取值与方程x2,x,,0有什么关系?
4(3)你能从中得到什么启发?
教学要点
1(先让学生回顾函数y,ax2,bx,c图象的画法,按列表、描点、连线等步骤
3画出函数y,x2,x,的图象。
4
2(教师巡视,与学生合作、交流。
3(教师讲评,并画出函数图象,如图(4)所示。
4(教师引导学生观察函数图象,回答
(1)提出的问题,
13得到图象与x轴交点的坐标分别是(,,0)和(,0)。
22
5(让学生完成
(2)的解答。
教师巡视指导并讲评。
6(对于问题(3),教师组织学生分组讨论、交流,各组选派代表发表意见,全班交流,达成共识:
从“形”的方
精品初中试卷
33面看,函数y,x2,x,的图象与x轴交点的横坐标,即为方程x2,x,,0的44
3解;从“数”的方面看,当二次函数y,x2,x,的函数值为0时,相应的自变量4
3的值即为方程x2,x,,0的解。
更一般地,函数y,ax2,bx,c的图象与x轴交4
点的横坐标即为方程ax2,bx,c,0的解;当二次函数y,ax2,bx,c的函数值为0时,相应的自变
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