随机过程的微分及积分.docx
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随机过程的微分及积分
随机过程的微分和积分
9在高等数学中,数列的收敛与极限是微积分的基础。
9在随机过程中,随机序列的收敛与极限的则是随机过程微积分的基础。
随机序列收敛的几种定义
9在“处处收敛”的定义中,Ω中只要有“一个”ξi对应的样本序列不收敛,则随机序列{X(n}就不是“处处收敛”的。
9这个条件一般的随机序列都不容易满足。
{}(ixn
2、以概率1收敛(“几乎处处收敛”
almost.every.where
若随机序列{X(n}相对试验E的所有可能结果ξ∈Ω满足:
则称:
随机序列{X(n}“以概率1收敛”于随机变量X。
简记:
{lim(}1.{(}nPXnXaeXnX
→∞==⎯⎯⎯→
5、均方收敛(平均意义下的收敛)Mean.square设随机序列{X(n}对所有的n=1,2,…二阶矩存在,随机变量X的二阶矩也存在。
若{X(n}、X满足:
limE{X(n−X}=02n→∞则称:
随机序列{X(n}“均方收敛”于随机变量X。
l记作:
⋅i⋅mX(n=X,或:
n→∞X(n⎯⎯→X⎯M⋅S
均方收敛的充要条件(柯西准则)若随机序列{X(n}和随机变量X的二阶矩均存在,则{X(n}均方收敛于X的充要条件是:
n→∞m→∞limE{X(n−X(m}=022只需要对随机序列{X(n}的一个方差E[X(n−X(m]进行检验,比较方便。
进行检验方便在随机过程中运用的是均方收敛。
四种收敛模式之间的关系a⋅eeM⋅SPda⋅eePdM⋅S
随机过程的均方连续
1、定义若二阶矩过程在t∈T上满足Δt→0limE{[X(t+Δt−X(t]}=02则称X(t在t∈T上,“在均方意义下”连续。
或称该二阶矩过程X(t具有“均方连续性”。
常表示为l⋅i⋅mX(t+Δt=X(tΔt→0t∈T或者简称过程m.s连续。
(21ttRX(2若X(t在t∈T上均方连续,则在t1=t2=t上一般连续。
]
(([](([,(212121••==tXtXEtYtYEttRY2、Y(t的自相关函数
根据自相关函数的定义,有
随机过程的均方积分
1、均方积分的定义
若二阶矩过程X(t满足:
0]([(lim2
1
0,0=−Δ′∑−=∞→→ΔYttXEniiinti∫∑=Δ′⋅⋅=−=∞→→Δbanii
intdt
tXttXmilYi((10,0则称过程X(t是均方可积的。
而随机变量
为过程X(t在确定区间[a,b]上的“均方积分”。
2、均方可积的条件
∞<∫∫bab
aXdtdtttR2121,(
随机过程积分的期望和自相关函数
3、积分的方差D[Y]=E[Y]−E[Y]22=∫=∫bbaa∫RX(t1,t2dt1dt2−∫E[X(t1]dt1⋅∫E[X(t2]dt2aabbbbaa∫[RX(t1,t2−E[X(t1]⋅E[X(t2]]dt1dt2=∫bbaa∫CX(t1,t2dt1dt2
4、积分的自相关函数(t1,t2∈Tt因为过程的变上限积分∫X(λdλ=Y(t←为随机过程,:
0则过程的积分Y(t的自相关函数:
RY(t1,t2=E[Y(t1Y(t2]=E[∫X(λdλ⋅∫X(νdν]00t1t2=∫t1t20∫0E[X(λX(ν]dνdλ=∫t1t20∫0RX(λ,νdνdλ
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- 关 键 词:
- 随机 过程 微分 积分