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等比数列的概念教案
等比数列的概念教案
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等比数列的概念教案
这是等比数列的概念教案,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。
等比数列的概念教案第1篇
一、复习导入:
(1)等差数列的定义;
(2)等差数列的通项公式;
(3)计算公差d的方法;
(4)等差中项的定义及公式.
二、实践操作:
学生动手操作:
把一张纸连续对折5次,试写出每次对折后纸的层数.通过学生动手操作可得折纸的层数是2,4,8,16,32,让学生思考对折12次后纸张有4096层,一张普通纸张的厚度约为0.1毫米,那么对折12以后纸张高度为4.096米,大概平房那么高。
通过动手实践,让学生直观感受等比数列。
三、新课讲授:
1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比都等于同一个常数,则这个数列叫做等比数列,这个常数就叫做等比数列的公比.公比通常用字母“q”表示.
教师引导学生类比学习等差数列与等比数列的概念学习。
引导学生尝试类比学习的方法,培养学生自主学习的能力。
练习一、抢答:
下列数列是否为等比数列?
①8,16,32,64,128,256,…;
教师分析并强调:
求公比q一定要用后项除以前项,而不能用前项除以后项;
②1,1,1,1,1,1,1,…;
教师分析并强调:
q=1时,{an}为常数列.
③243,81,27,9,3,1…;
教师分析并强调:
公比可以是分数
④16,8,4,2,0,-2,…;
教师分析并强调:
等比数列中,各项和公比均不为0;
⑤1,-1,1,-1,1,-1,1,…;
教师举例并强调:
-1,1,-1,1,-1,1,…;与题目中数列公比相同,但由于首相不同,所以是两个不相同的数列。
⑥1,-10,100,-1000,….
教师强调:
判断等比数列的标准后一项与前一项的比值是否是同一个常数。
2.等比数列的通项公式
首项是a1,公比是q的等比数列{an}的通项公式可以表示为
an=a1qn-1.
根据这个通项公式,只要已知首项a1和公比q,便可求得等比数列的任意项an.
事实上,等比数列的通项公式中共有四个变量,知道其中三个,便可求出第四个.
练习二
已知一个等比数列的首项为1,公比为-1,求这个数列的第9项.
学生自行解决,并请同学上台讲解。
教师总结题型:
已知首相、公比和项数求第n项,直接套用公式。
练习三
求下列等比数列的第4项和第8项:
(1)5,-15,45,…;
(2)1.2,2.4,4.8,…;
教师引导学生总结:
看出首项,算出公比,写出通项,得出所求。
例1已知一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.
教师分析:
已知数列第3项和第4项,可以用首项和公比表示已知项,从而得到含有a1
和q的等式,这就是应用方程的思想解决等比数列问题。
解设这个数列的第一项是a1,公比是q,则
a1q2=12,①
a1q3=18.②
解①②所组成的方程组,得
q=,a1=,a2=a1q=X=8.
即这个数列的第1项是,第2项是8.
练习四、一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项.
2.一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项和第4项.
例2将20,50,100三个数分别加上相同的常数,使这三个数依次成等比数列,求它的公比q.
学生自主应用方程思想解决问题
3.等比中项的定义
在2与8之间插入一个数4,那么2,4,8成等比数列.
一般地,如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.
教师引导类比等差中项,学生自主归纳总结等比中项概念。
4.等比中项公式
如果G是a与b的等比中项,则G2=ab
容易看出,一个等比数列从第2项起,每一项(有穷等比数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
教师引导学生找到等比中项与等差中项的联系区别,从而加深已学概念的理解的基础上,进行知识的拓展,延续知识的承接性。
练习五
求下列各组数的等比中项:
(1)2,18;
(2)16,4.
四、课堂小结
1.等比数列的定义.
2.等比数列的通项公式.
3.等比中项的定义及公式.
4.等比数列定义与通项公式的应用.
五、当堂练习
1、求下列等比数列的第4项和第8项:
(1),,,…;
(2),1,,….
2、一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项和第4项.
六、课后作业
必写作业:
课后2、4题
选写作业:
课后5、6题
等比数列的概念教案第2篇
【教学目标】
知识目标:
正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比数列在生活中的应用。
能力目标:
通过对等比数列概念的归纳,培养学生严密的思维习惯;通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维能力并进一步培养学生善于思考,解决问题的能力。
情感目标:
培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度,实事求是的科学态度,调动学生的积极情感,主动参与学习,感受数学文化。
【教学重点】
等比数列定义的归纳及运用。
【教学难点】
正确理解等比数列的定义,根据定义判断或证明某些数列是否为等比数列
【教学手段】
多媒体辅助教学
【教学方法】
启发式和讨论式相结合,类比教学.
【课前准备】
制作多媒体课件,准备一张白纸,游标卡尺。
【教学过程】
【导入】
复习回顾:
等差数列的定义。
创设问题情境,三个实例激发学生学习兴趣。
1.利用游标卡尺测量一张纸的厚度.得数列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0)
2.一辆汽车的售价约15万元,年折旧率约为10%,计算该车5年后的价值。
得到数列15,15X0.9,15X0.92,15X0.93,…,15X0.95。
3.复利存款问题,月利率5%,计算10000元存入银行1年后的本利和。
得到数列10000X1.05,10000X1.052,…,10000X1.0512.
学生探究三个数列的共同点,引出等比数列的定义。
【新课讲授】
由学生根据共同点及等差数列定义,自己归纳等比数列的定义,再由老师分析定义中的关键词句,并启发学生自己发现等比数列各项的限制条件:
等比数列各项均不为零,公比不为零。
等差数列:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的.差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用d表示.数学表达式:
an+1-an=d
等比数列:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用q表示.数学表达式:
an?
1
an?
q
知晓定义的基础上,带领学生看书p29页,书上前面出现的关于等比数列的实
例。
让学生了解等比数列在实际生活中的应用很广泛,要认真学好。
在学生对等比数列的定义有了初步了解的基础上,讲解例一。
给出具体的数列,会利用定义判断是否为等比数列。
对
(1)(5)两小题着重分析.
例题一
判断下列数列是否为等比数列?
若是,找出公比;不是,请说明理由.
(1)1,4,16,32.
(2)0,2,4,6,8.
(3)1,-10,100,-1000,10000.
(4)81,27,9,3,1.
(5)a,a,a,a,a.
讲解例二,进一步熟悉定义,根据定义求数列未知项。
最后的小例一为了由利
用定义的求解转到利用定义证明,二为了让学生发现等比数列隔项同号的规律。
例题二
求出下列等比数列中的未知项:
(1)2,a,8;
(2)-4,b,c,?
;
?
已知数列2,x,d,y,8.是等比数列
①证明数列2,d,8.仍是等比数列.
②求未知项d.
通过两道例题的讲解,让学生有个缓冲,做个巩固练习。
当然此练习的安排,
也是为了进一步挖掘等比数列定义的本质,辨析找寻等差数列与等比数列的关系,将具体问题再推广到一般,并要求学生理解并掌握等比数列的判断证明方法。
练习
判断下列数列是等差数列还是等比数列?
(1)22,2,1,2-1,2-2.
(2)3,34,37,310.
引申:
已知数列{an}是等差数列,而bn?
2n
证明数列{bn}是等比数列.
由最后一例的证明,说明给出通项公式后可由定义判断该数列是否为等比数
列。
反过来若数列已经是等比数列了,能否由定义导出数列通项公式呢?
为下节课做铺垫。
【课堂小结】
由学生通过一堂课的学习,做个简单的归纳小结。
1理解.等比数列的定义,判断或证明数列是否为等比数列要用定义判断
2.等比数列公比q≠0,任意一项都不为零.
3.学习等比数列可以对照等差数列类比做研究.
【作业】
1.书p48.No.1,2;a
等比数列的概念教案第3篇
一、教学内容分析
本节课是人教A版《必修五》第二章数列第四节等比数列内容,共分两课时,本节是第一课时。
通过日常生活中的实例,讲解等比数列的概念,特别地要体现等比数列是一种特殊函数,通过递推公式、通项公式、图象来表达等比数列,把数列融于函数之中,体现了数列的本质和内涵。
等比数列的定义与通项不仅是本章的重点和难点,也是高中阶段培养学生逻辑推理的重要载体之一,为培养学生思维的灵活性和创造性打下坚实的基础。
本节课是在学生已经系统地学习了一种常用数列,即等差数列的概念、通项公式、递推公式和前n项和公式的基础上,开始学习另一种常用数列,即等比数列的相应知识,本节课对于进—步渗透数学思想,发展逻辑思维能力,提高学生的学科核心素养均有较好作用。
二、教学目标
理解等比数列的定义,了解等比中项的概念,掌握等比数列通项公式,通
过等比数列与其对应指数函数的关系进一步体会数列是一种特殊函数,能够熟练应用通项公式解决等比数列的相关问题。
通过对等比数列概念的探究和通项公式的推导,体会数形结合思想、化归思想、类比思想、归纳思想,培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力。
联系丰富的生活实例,培养学生从实际问题中抽象出等比数列模型的能力,并应用于生活实践,激发学生学习兴趣。
在等比数列学习中,体会由特殊到一般的认识事物的规律,鼓励学生勇于探索。
三、学习特征者分析
高一学生数学基础薄弱,在刚刚学完等差数列基础上,已经对数列这一全新的领域有了感性认识,然而对数学符号语言缺乏理性认识,综合性问题还难以解决,方向不明,方法不清,学生容易产生畏惧心理。
面对又一个新数列的学习,需要教师教学时不断激发学生学习兴趣,难点分散,常抓不懈,克服学生眼高手低的毛病,培养学生勇于克服困难的学习习惯。
四、教学策略选择与设计
本节课采取“探究—体验”的教学方法。
遵循“学生为主体,教师为主导,知识为主线,发展思维为根本”的原则,通过学生熟悉的问题引入课题,创设问题情境,拉近数学与学生学习实际的距离,为学生提供动手做、动眼看、动脑想和动口说的机会,让学生经历知识的发生、发展、应用过程。
采取小组合作、探究的学习方式,在提出问题、分析问题、解决问题、评价反馈各个环节提升问题解决的思维含量,感受概念的内涵与外延。
重视数学语言的表述与转换,提高对数学内容简洁性、严谨性的认识,教会学生清晰的思维、严谨的推理、规范的表达。
在学生动手操作的基础上辅以多媒体的直观演示,通过学生动手实践、动脑思考等方法探索数学知识获取认知体验,激发学生的学习兴趣,增强学生学习的信心,提升德育认知水平和认知能力。
教学重点与难点
重点:
等比数列的定义的理解及其通项公式的掌握。
难点:
等比数列的通项公式推导过程。
六、教学过程
(一)回顾复习、导入新课
数字竞猜:
在括号内填上适当的数字,使得下列数列成为有规律的数列。
(1)1,2,(),(),5,6…
(2)1,-2,-5,(),()
(3)1,2,(),(),16,32…
(4)1,-2,4,(),()
活动设计:
提问第一题,当学生在表述理由不清楚时,提醒学生仿照教师的表述方法完成第2、3、4题,使得数学表达更加条理。
从而引出课题:
等比数列。
这样,既巩固了旧知识,又引入了新知识,使得衔接自然,顺畅、不着痕迹。
(二)问题探究、形成概念
教师活动:
教师在黑板上利用思维导图板书等比数列的知识点,并指出这就是本节课的学习目标:
问题一:
等比数列是一种什么样的数列?
定义(文字语言):
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比。
公比通常用字母q表示。
活动设计:
由学生进行归纳,教师在大屏幕上展示,学生完成学案,并进行复述。
并指出等比数列的两个性质:
等比性和顺序性。
教师指出为什么要学习等比数列呢?
因为等比数列是一种特殊的数列,是一种重要的数学模型,体现了数学建模的思想。
(符号语言):
用表示第n+1项,表示第n项,用表示第n-1项,则
活动设计:
让学生说出两种符号语言,并提问的取值集合有什么不同?
学生活动:
你能举出几个等比数列的例子吗?
练习1:
判断下列数列是否是等比数列,如果是等比数列,求出公比q
①1,-3,-9,27,……
②3,3,3,3,……
③0,0,0,0,……
④0,1,2,4
⑤2,-4,8
⑥2,4
思考下列问题:
1、等比数列的项能出现0吗?
公比q能不能取0?
2、等比数列是无穷数列,还是有穷数列?
3、等比数列的项数至少几项?
4、如果三个数a,A,b成等比数列,如何用a,b来表示A?
5、公比等于1的等比数列是什么类型的数列?
常数列一定是等比数列吗?
、
活动设计:
教师引导学生根据刚才的例子思考这5个问题。
等比中项的推导教师要进行板书。
并指出等比中项就是我们初中所学习的比例中项。
易错点练习2:
等差中项与等比中项
①求出1与9的等差中项
②求出1与9的等比中项
③求出1与-9的等差中项
④求出1与-9的等比中项
提问学生:
等差项与等比中项有什么区别?
总结:
两个数的等差中项一定存在,且唯一。
两个数的等比中项不一定存在,当两个数同号时它们的等比中项存在,且有两个。
问题二:
如何用递推公式来刻画等比数列?
根据等比数列的定义可以得到等比数列的递推公式:
或者
练习:
写出数列1,-3,9,-27,……的一个递推公式
活动设计:
教师指出递推公式形式,并说明由除法变成乘法时,要注意。
由学生完成练习,并用两种形式、
问题三:
等比数列的通项公式是一种什么形式?
活动设计:
由等差数列的递推公式类比联想到等比数列的通项公式。
公式推导过程:
等比数列的首项是,公比是,根据等比数列的递推公式,可得,,,,……,归纳
活动设计:
小组合作,时间2分钟。
并提问。
(2)等比数列的首项是,公比是,则通项公式为
(3)等比数列的图象
①作出数列:
1,2,4,8,16,…,,…的图象
②作出数列:
4,4,4,4,…的图象
活动设计:
教师指出,我们知道数列是一种特殊的函数,每一个函数都有图象与之对应,那么等比数列的图象是什么样子的图象?
提问学生作图的基本步骤:
列表、描点、连线。
当描点结束后,提问学生,要不要连成一条直线。
当我们连成一条虚线以后,发现图象上的点都在一个函数图象上。
即当公比q≠1时,等比数列的图象是指数型函数当自变量在正整数范围内取值时相应的孤立点的集合。
当公比q=1时,等比数列的图象是常函数当自变量在正整数范围内取值时相应的孤立点的集合。
体现了数形结合的思想。
(三)知识应用、巩固新知
4.等比数列的应用
例1.在等比数列中
(1),,求
(2),,求公比
(3),,求
活动设计:
教师板书例1的第1题,第2、3题由学生进行板演。
例2由学生读题、审题、完成解答。
体现了方程的思想。
例2、
(1)一个细胞由1个分裂成2个,由2个分裂成4个,由4个分裂成8个……,写出细胞个数组成的数列的通项公式。
(2)庄子曰:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”意思:
“一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完”。
如果将“一尺之棰”视为一份,写出每日剩下的部分组成的数列的通项公式。
活动设计:
由学生进行读题、审题、说题,要分析好关键词语,找到数量关系。
解题步骤为:
首先判断数列的性质,如果这个数列是等比数列,找到首项和公比,进而解决相应的问题。
(四)课堂总结、问题延伸
(1)归纳类比
名称
等差数列
等比数列
定义
符号语言
中项
通项公式
(2)思维导图网络
布置作业:
习题2.4A组第1题、第2题、第3题
等比数列的概念教案第4篇
【教学目标】
知识目标:
正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比数列在生活中的应用。
能力目标:
通过对等比数列概念的归纳,培养学生严密的思维习惯;通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维能力并进一步培养学生善于思考,解决问题的能力。
情感目标:
培养学生勇于探索、善于猜想的学习态度,实事求是的科学态度,调动学生的积极情感,主动参与学习,感受数学文化。
【教学重点】
等比数列定义的归纳及运用。
【教学难点】
正确理解等比数列的定义,根据定义判断或*某些数列是否为等比数列
【教学手段】
多媒体辅助教学
【教学方法】
启发式和讨论式相结合,类比教学.
【课前准备】
制作多媒体课件,准备一张白纸,游标卡尺。
【教学过程】
【导入】
复习回顾:
等差数列的定义。
创设问题情境,三个实例激发学生学习兴趣。
1.利用游标卡尺测量一张纸的厚度.得数列a,2a,4a,8a,16a,32a.(a>0)
2.一辆汽车的售价约15万元,年折旧率约为10%,计算该车5年后的价值。
得到数列15,15X0.9,15X0.92,15X0.93,…,15X0.95。
3.复利存款问题,月利率5%,计算10000元存入银行1年后的本利和。
得到数列10000X1.05,10000X1.052,…,10000X1.0512.
学生探究三个数列的共同点,引出等比数列的定义。
【新课讲授】
由学生根据共同点及等差数列定义,自己归纳等比数列的定义,再由老师分析定义中的关键词句,并启发学生自己发现等比数列各项的限制条件:
等比数列各项均不为零,公比不为零。
等差数列:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用d表示.数学表达式:
an+1-an=d
等比数列:
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用q表示.数学表达式:
an?
1
an?
q
知晓定义的基础上,带领学生看书p29页,书上前面出现的关于等比数列的实
例。
让学生了解等比数列在实际生活中的应用很广泛,要认真学好。
在学生对等比数列的定义有了初步了解的基础上,讲解例一。
给出具体的数列,会利用定义判断是否为等比数列。
对
(1)(5)两小题着重分析.
例题一
判断下列数列是否为等比数列?
若是,找出公比;不
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