隐圆问题.doc
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隐圆问题.doc
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隐圆问题
一【问题背景】
有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里,隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系.解题时,需要我们通过分析探索,发现这些隐藏的圆(简称隐圆),再利用和圆有关的一些知识进行求解.
二、【范例】
1.点和隐圆
例1在平面直角坐标系中,已知圆:
,点在圆上,且
,则的最大值是.
分析与解:
圆即,圆心为,半径为.
如图,取中点,连结,则结合垂径定理和勾股定理
易得.因此动点在以为圆心,为半径的圆上运
动,此圆方程为:
.
另一方面,由于为的中点,所以,
则,因而只要求圆上一动点到定点距离的最大值,易知此最大值为,故的最大值是.
说明:
的最小值是.
例2在平面直角坐标系中,已知圆,点,为圆上的不同的两点,且,若,则的最小值为.
解:
如图,取中点,连结,,
则,
设,因为为的中点,所以,
则,
又因为,所以,
即,所以,
故点在以为圆心,半径的圆上运动,显然定点在此圆内,因而求的最小值即为求定点与圆:
上一点距离的最小值,易知此最小值为,故的最小值为.
说明:
的最大值为.
2.直线和隐圆
例3已知动点与两个定点的距离之比为,那么直线的斜率的取值范围是.
解:
先求动点的轨迹方程.设,由得,
整理得,即动点在以为圆心,为半径的圆上运动.
当直线与圆相切时,设斜率为,则其方程为,
根据得,结合图形可知,直线的斜率的取值范围是.
说明:
到两定点距离之比(不为)等于已知数的动点轨迹为圆,这个圆称为阿波罗尼斯圆.
例4在平面直角坐标系中,设点,若存在点,使得,则实数的取值范围是.
解:
设,则,
整理得,即动点在以为圆心,为半径的圆上运动.
另一方面,由知动点在线段的垂直平分线上运动,因而问题就转化为直线与圆有交点,
所以,故实数的取值范围是.
3.圆和隐圆
例5在平面直角坐标系中,点,直线.设圆的半径为,圆心在上.
若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
解:
设,则圆方程为
又设,,即
这说明既在圆上,又在圆上,因而这两个圆必有交点,即两圆相交或相切,
,
解得,即的取值范围是.
图3
例6已知,若过轴上的一点可以作一直线与相交于两点,且满足,求的取值范围.
解法1:
如图3,过点作的直径,连结,
要存在满足条件的点,只要存在点即可.
由于,,所以,
因而点在以为圆心,为半径的
上运动,这说明点同时在和上,因而两个圆必有交点,
,
解得的取值范围是.
解法2:
设,则.
因为点在上,所以,即(),
这表明点在方程()表示的圆上,又点在上,因此这两个圆有公共点,
,
解得的取值范围是.
三、【练习】
1.在平面直角坐标系中,若满足的点都在以坐标原点为圆心,为半径的圆及其内部,则实数的取值范围是________
答案:
2.若圆上至少有三个不同点到直线:
的距离为,则直线斜率的取值范围是___________.
答案:
3.在平面直角坐标系中,若与点的距离为且与点的距离为的直线恰有两条,则实数的取值范围为__________
答案:
4.若实数成等差数列,点到动直线上的射影为,已知点,则线段长度的最大值为____________
答案:
5.已知和是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点是,动点分别在和上,且,过三点的动圆所形成的区域的面积为__________
答案:
解析:
三点的动圆在以为直径的圆上,以的中点为圆心,M点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,所以动圆所形成的区域是是以为圆心,为半径的圆.
4
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