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高考临近给你提个醒
集合与简易逻辑
1.区分集合中元素的形式:
函数的定义域
函数的值域
函数图象上的点集
方程的根(零点)
例1.集合,,则
例2.集合,,
例3.集合,集合,则
2.研究集合必须注意集合元素的特征,即集合元素的三性:
确定性、互异性、无序性。
例4.已知集合,集合,且,则
3.集合的性质:
①任何一个集合都是它本身的子集,记为。
②空集是任何集合的子集,记为。
③空集是任何非空集合的真子集,记为。
注意:
若条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况。
例5.集合,如果,实数的取值范围
集合的运算:
④、;
、。
⑤。
⑥对于含有个元素的有限集合,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数
依次为:
、、、。
例6.满足条件的集合共有个。
4.研究集合之间的关系,当判断不清时,建议通过“具体化”的思想进行研究。
例7.已知,,则。
5.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
例8.设函数在区间上至少存在一个实数,使,求实数的取值范围
6.命题是表达判断的语句。
判断正确的叫做真命题;判断错误的叫做假命题。
①命题的四种形式及其内在联系:
原命题:
如果,那么;
逆命题:
如果,那么;
否命题:
如果,那么;
逆否命题:
如果,那么;
②等价命题:
对于甲、乙两个命题,如果从命题甲可以推出命题乙,同时从命题乙也可以推出命题甲,既“甲乙”,那么这样的两个命题叫做等价命题。
③互为逆否命题一定是等价命题,但等价命题不一定是互为逆否命题。
④当某个命题直接考虑有困难时,可通过它的逆否命题来考虑。
例9.“”是“”的条件。
⑤注意命题“如果,那么”的否定与它的否命题的区别:
命题“如果,那么”的否定是“如果,那么”;否命题是“如果,那么”。
*例10.“若和都是偶数,则是偶数”的否命题是否定是
7.常见结论的否定形式:
原结论
是
都是
一定
或
且
大于
小于
否定形式
不是
不都是
不一定
且
或
不大于
不小于
原结论
至少一个
至多一个
至少个
至多个
对所有都成立
对任何不成立
否定形式
一个也
没有
至少两个
至多个
至少个
存在某不成立
存在某成立
8.充要条件:
条件
结论
推导关系
判断结果
是的充分条件
是的必要条件
且
是的充要条件
在判断“充要条件”的过程中,应注意步骤性:
首先必须区分谁是条件、谁是结论,然后由推导关系判断结果。
不等式
1.基本性质:
(注意:
不等式的运算强调加法运算与乘法运算)
①且;
②推论:
ⅰ.;ⅱ.且;
③;
④推论:
ⅰ.;ⅱ.且、同号;
ⅱ.;ⅲ.;
⑤,;
⑥;
2.解不等式:
(解集必须写成集合或区间的形式)
①一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤:
ⅰ.分解因式找到零点;ⅱ.画数轴标根画波浪线;ⅲ.根据不等号,确定解集;
注意点:
ⅰ.分解因式所得到的每一个因式必须为x的一次式;ⅱ.每个因式中的系数必须为正。
②绝对值不等式去绝对值:
ⅰ.;ⅱ.;
ⅲ.;ⅳ.或;
ⅴ.;
③幂、指、对不等式去掉幂、指、对符号解不等式:
解对数不等式时,应注意些什么问题?
(化成同底、利用单调性、注意同解变形)
④解含参数的不等式时,定义域是前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键。
而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结:
综上所述
⑤对于不等式恒成立问题,常用“函数思想”、“分离变量思想”以及“图象思想”。
例1.已知不等式对一切恒成立,求的取值范围
3.基本不等式:
①,则,当且仅当时,等号成立。
,则,当且仅当时,等号成立。
综上,若,则,当且仅当时,等号成立。
*②若,则,当且仅当时,等号成立。
*③。
例2.已知正数、满足,则的取值范围是
例3.函数的最小值为
例4.若,则的最小值是
例5.正数、满足,则的最小值为
4.不等式的证明:
①比较法:
作差→因式分解或配方→与“”比较大小→
②综合法:
由因导果。
③分析法:
执果索因;基本步骤:
要证即证即证。
④反证法:
正难则反。
⑤最值法:
,则恒成立;,则恒成立。
函数
1.九个基本函数必须熟练掌握:
强调函数图象和性质
正比例函数,反比例函数,一次函数,二次函数,幂、指、对函数,三角函数,反三角函数。
2.反函数:
当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。
①求反函数的步骤掌握了吗?
ⅰ.解方程,用表示;ⅱ.交换与,写成反函数的形式;ⅲ.注明反函数的定义域。
②你还记得反函数的四个性质吗?
ⅰ.互换性;;ⅱ.对称性;ⅲ.单调一致性;ⅳ.还原性。
例1.函数过点,则的反函数的图象一定经过点
③若原函数在定义域上单调,则一定存在反函数;但一个函数存在反函数,则此函数不一定单调。
你能写出一个具体的函数吗?
例如:
分段函数:
或等。
3.函数的要素:
定义域、值域、对应法则
①定义域:
ⅰ.给出函数解析式,求函数的定义域(即求使函数解析式有意义的的范围)
(1);
(2);
(3);(4);
(5);(6);
(7);(8);
ⅱ.使实际问题有意义的自变量的范围。
例2.锐角中,则的值等于,的取值范围为
ⅲ.求复合函数的定义域:
若的定义域为,则的定义域由不等式解出;
若的定义域为,则的定义域相当于时的值域;
例3.函数的定义域为
例4.若函数的定义域为,则函数的定义域为
例5.若函数的定义域为,则函数的定义域为
②值域:
函数的值域(或最值)有哪几种常用解题方法?
ⅰ.二次函数型或可化为二次函数型;ⅱ.单调性;ⅲ.基本不等式;ⅳ.换元法;ⅴ.数形结合;
例6.函数的值域为
例7.设,,,成等差数列,,,,成等比数列,则的取值范围是
例8.函数的值域为
例9.函数的值域为
3.函数的基本性质:
①奇偶性:
ⅰ.定义判断奇偶性的步骤:
⑴定义域是否关于原点对称;⑵对于任意,判断与的关系:
若,也即为偶函数
若,也即为奇函数
ⅱ.图象判断奇偶性:
函数图象关于原点对称奇函数;函数图象关于轴对称偶函数;
ⅲ.判断函数的奇偶性时,注意到定义域关于原点对称了吗?
ⅳ.如果奇函数在处有定义,则。
ⅴ.一个函数既是奇函数又是偶函数,则该函数必为:
(其中定义域关于原点对称)
ⅵ.如果两个函数都是非零函数(定义域相交非空),则有:
奇+奇奇;奇+偶非奇非偶;偶+偶偶;奇奇偶;奇偶奇;偶偶偶。
②单调性:
设任意,且,则无单调性
减函数;增函数;
在比较与大小时,常用“作差法”,比较与的大小。
ⅰ.奇函数的图象在轴两侧的单调性一致;偶函数的图象在轴两侧的单调性相反。
ⅱ.互为反函数的单调性一致。
ⅲ.增函数+增函数增函数;减函数+减函数减函数。
ⅳ.复合函数单调性由“同增异减”判定。
例10.函数的单调递增区间为
ⅵ.注意函数“单调性”、“奇偶性”的逆用(即如何体现函数的“奇偶性”、“单调性”)
例11.已知奇函数是定义在上的减函数,若,求实数的取值范围
③最大值和最小值:
参见函数的值域
当取的中位数时,函数取最小值
④函数的零点:
对于函数,如果存在实数,当时,,那么就把叫做函数的零点。
注:
零点是数;
用二分法求零点的理论依据是:
①函数在闭区间上连续;②
那么,一定存在,使得。
(反之,未必)
以下性质不是函数的基本性质
⑤周期性:
对于函数,如果存在一个非零常数,使得对于任意时,恒有成立,那么函数叫做周期函数,非零常数叫做该函数的周期。
ⅰ.任意,,则ⅱ.任意,,则
ⅲ.任意,,则
例12.定义在上的偶函数满足,且在上是减函数,若、是锐角三角形的两个内角,则与的大小关系为
*ⅳ.若图像有两条对称轴、(),则必是周期函数,且一周期为。
*ⅴ.若图像有两个对称中心、(),则是周期函数,且一周期为。
*ⅵ.如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴(),则函数必是周期函数,且一周期为。
例13.已知定义在上的函数是以为周期的奇函数,则方程在上至少有个实数根。
⑥对称性:
ⅰ.点关于轴的对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为。
ⅱ.点关于轴的对称点为;函数关于轴的对称曲线方程为。
ⅲ.点关于原点的对称点为;函数关于原点的对称曲线方程为
ⅳ.两函数与的图像关于直线对称。
ⅴ.函数满足,则函数的图象关于直线对称。
例14.二次函数满足,且方程有等根,则
例15.己知函数,若的图像是,它关于直线对称图像是,关于原点对称的图像为,则对应的函数解析式是
例16.函数与函数的图象关于点对称,则
ⅵ.形如的图像是双曲线,对称中心是点,两条渐近线分别为,。
例17.已知函数图象与:
关于直线对称,且图象关于点对称,则
4.函数图象变换:
①平移变换:
ⅰ.函数的图象函数的图象;
ⅱ.函数的图象函数的图象;
②伸缩变换:
ⅰ.函数的图象函数的图象;
ⅱ.函数的图象函数的图象;
③对称变换:
ⅰ.函数的图象函数的图象;
ⅱ.函数的图象函数的图象;
ⅲ.函数的图象函数的图象;
ⅳ.函数的图象函数图象;
ⅴ.函数的图象函数图象;
例18.要得到的图像,只需作关于_____轴对称的图像,再向_____平移个单位而得到。
例19.将函数的图象向右平移个单位后又向下平移个单位,所得图象如果与原图象关于直线对称,那么()
(A),;(B),;(C),;(D),;
5.常见的抽象函数模型:
①正比例函数模型:
┄┄┄。
②幂函数模型:
┄┄┄;。
③指数函数模型:
┄┄┄;。
④对数函数模型:
┄┄;。
⑤三角函数模型:
┄┄┄。
6.三个二次(哪三个二次)的关系以及应用掌握了吗?
①在研究三个二次时,你注意到二次项系数非零了吗?
②如何利用二次函数来研究一元二次方程、一元二次不等式的问题。
③一元二次函数的研究强调数形结合,那么数形结合该从哪些方面去研究?
(开口、对称轴、定义域以及偏移度)
④特别提醒:
二次方程的两根即为不等式解集的端点值,也是二次函数图象与轴交点的横坐标。
7.研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗?
8.研究函数的性质注意在定义域内进行了吗?
9.解对数函数问题时注意到真数以及底数的限制了吗?
10.指数运算法则:
ⅰ.;ⅱ.;ⅲ.;
11.对数运算法则:
;;
;;;
三角
1.三角比的定义你还记得吗?
2.三角公式你记住了吗?
①同角三角比的关系:
商数关系、倒数关系、平方关系;
②诱导公式:
奇变偶不变,符号看象限。
③你能用“小三角形”进行同角三角比的转换吗?
3.三角化简,强调哪两点?
①切、割化弦;②化繁为简。
4.三角条件求值你注意到两个关系了吗?
(角的关系、名的关系)
例如:
;;
例1.已知,,则
例2.已知、为锐角,,,,则关于的函数
关系为
5.在三角中,你知道“”等于什么吗?
。
6.重要公式:
①;②
③;④;
例3.当函数取最大值时,
7.你还记得在弧度制下弧长公式以及扇形的面积公式吗?
你注意到了扇形的弧长与周长的
区别了吗?
()
弧长公式:
;周长公式:
;面积公式:
;
例4.已知扇形的周长是,该扇形的中心角是弧度,求该扇形的面积
8.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗?
会用它们解斜三角形吗?
如何实现边
角互化?
正弦定理:
余弦定理:
;;
面积公式:
;
大边对大角:
;
锐角中:
若,则;
钝角中:
若,则;
直角中:
若,则;
例5.在中,若,则(注意几解)
在中,若,则(注意几解)
*9.三角形与向量综合的有关结论:
①在中,给出,是的外心;(外心:
中垂线的交点)
②在中,给出,是的重心;(重心:
三边中线的交点)
③在中,给出,是的垂心;(垂心:
高的交点)
④在中,给出,所在直线经过的内心;
⑤在中,给出,等于已知是中边的中线;
例6.是所在平面内一点,且满足,则的形状为
例7.若为边的中点,所在平面内一点,满足,设,则
例8.若是的外心,且,则角
10.你能迅速画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象吗?
你知道三角函数线吗?
能写出它们的单调区间及其取最值时的集合吗?
(别忘了);
能给出三角函数的对称轴、对称点吗?
11.会用五点法画函数“”的草图吗?
哪五点?
会根据图象求出参数、、、的值吗?
12.形如、的最小正周期会求吗?
有关函数周期的定义还记得吗?
周期函数有何性质?
13.反三角的处理思想是什么?
(回归思想:
①设、②化、③范围,回到三角范围求解)
14.你能熟练的画出反三角函数:
、、的图象吗?
并结合图象,你能说明反三角函数的性质吗?
15.在三角函数中求一个角时,注意考虑两方面要求:
①先求出某一个三角函数值;②再判定角的范围。
16.三角不等式或三角方程的通解一般式你注明“”了吗?
17.在用反三角表示直线的倾斜角、两直线的夹角、异面直线所成角、线面角、二面角、向量夹角时,是否注意到它们的范围?
直线的倾斜角:
;两直线的夹角:
;异面直线所成角:
;线面角:
;二面角:
;向量夹角:
;
数列:
1.数列的本质是什么?
(定义在正整数集或其子集上的函数)。
2.等差数列的通项公式与一次函数有什么关系?
等比数列的通项公式与指数函数有什么关系?
3.等差数列的求和公式有几个?
等比数列的求和公式应注意什么?
4.设是数列的前项和,则“是等差数列”的充要条件是“,其中公差”。
设是数列的前项和,则“是非常数等比数列”的充要条件是“,其中公比是”。
5.常数列:
是公差的等差数列;
非零常数列既是等差数列,又是等比数列;既是等差数列又是等比数列的数列必为非零常数列
6.若是等差数列,则是等比数列();若是等比数列,则是等差数列;
7.对于等差、等比数列,你是否掌握了类比思想?
8.等差数列、等比数列有哪些重要性质?
你注意到它们的性质的关键在于下标以及结构特征了吗?
等差数列
等比数列
定
义
从第二项起,后一项减前一项的差是同一个常数,则该数列为等差数列。
1.
从第二项起,后一项与前一项的比是同一非零常数,则该数列为等比数列。
1.
通项
公式
前项和
公式
通项公式与前项和公式之间的关系:
性
质
1.
2.
1.
2.
3.若,
则:
3.若,
则:
4.若是公差为的等差数列,则:
是公差为的等差数列。
4.若是公差为的等差数列,则:
是公比为的等比数列。
5.,分别是公差为,的等差数列,、是常数,则:
是公差为的等差数列。
5.,分别是公比为,的等比数列,、是非零常数,则:
是公比为的等比数列;
是公比为的等比数列。
例1.已知是等比数列,且的前项和,则
例2.在等比数列中,,,公比是整数,则
9.无论是在等差数列还是在等比数列中,共有五个关键量:
、、、、或,
如果已知其中三个量,则可由及的公式,求出其余两个量(知三求二);
10.求数列通项公式有哪几种典型类型?
①或型(定义等差或等比数列利用公式)
②已知或型(累计求和或累计求积)
③已知()型(等式左右两边同时减去)
④已知和,求项,则:
(是否注意到“”?
)
⑤利用迭代、递推的方法
⑥数学归纳法证明(用数学归纳法证明问题的关键是什么?
是否具有从特殊到一般的思维模式)
例3.数列满足,,,,则
例4.数列满足,,,,则
例5.数列满足,,则
例6.数列满足,则
11.求数列的最大、最小项的方法:
注意点:
由于是正整数,注意等号成立。
①函数思想(特别是,利用数列的单调性);
②作差比较法:
;
③
例7.数列的通项公式为,则的最大项为
例8.的通项公式为,则的最大项为
例9.的通项公式为,则的最大项为
12.求数列前项和有哪几种典型类型?
①通过判断“等差或等比数列”利用求和公式求解。
②通过判断“等差等比”型分组拆项求和。
③通过判断“等差等比”型错位相减法。
④通项或表达式为分式时,常用裂项相消求和法。
常用裂项方法:
⑤倒序相加法,或倒序相乘法,强调配对思想。
⑥对于数表型问题,找规律,再操作。
⑦对于奇偶项的不同,分类讨论,分别求和。
(注意项数、公差、公比的变化)
例10.
例11.函数,则
13.你会根据数列项的关系来研究“数列和的最值”以及“数列积的最值”吗?
例12.等差数列中,,,问该数列中多少项和最大?
并求此最大值。
例13.若是等差数列,首项,,,则使前项和成立的最大正整数是
14.数列换元应注意哪两个原则?
(最小下标原则以及下标一致原则)。
15.极限有哪几种典型类型?
分别如何处理?
①(c为常数);②;③;
④;⑤
16.极限的运算性质有哪些?
如果:
,,则:
①;②;
③;④为有限数;
注:
极限的四则运算应满足:
项数有限且每一项都有极限
18.?
();若存在,则满足什么条件?
(或)
上述与等比数列的公比有什么区别吗?
19.无穷等比数列的“各项和”就是“所有项和”,也就是数列和的极限。
它的前提是等比数列的公比满足:
且,则各项和为。
*20.存款单利问题:
(零存整取储蓄(单利)本利和计算模型)
若每期存入本金元,每期利率为,则期后本利和为:
;
分期付款复利问题:
若贷款元,采用分期等额还贷款,从借款日算起,一期后为第
一次还款日,如此下去,分次还清,如果每期利率为(按复利),那么每期等额还贷款元应满足:
;
复数
1.你还记得复数是怎样定义的吗?
①虚数单位:
四次一循环
注:
易知;;;
②复数的代数形式:
形如的数叫做复数,记为:
。
叫做复数的实部,记为:
;
叫做复数的虚部,记为:
,注意:
复数的虚部是一个实数。
注:
虚数不能比较大小;能比较大小的复数是实数
③,,则称、为共轭复数,记为:
,或。
注:
实数的共轭复数就是本身,即
④;是纯虚数
⑤数的分类:
2.解复数问题的指导思想是什么?
(根据复数相等的充要条件,将复数问题转化为实数问题求解)
设,,则(把复数问题转化为实数问题)
3.复数的性质有哪些?
①共轭的性质:
ⅰ.;ⅱ.;ⅲ.;ⅳ.;
②模的性质:
ⅰ.;ⅱ.;ⅲ.;
ⅳ.;ⅴ.;
ⅵ.
③幂的运算法则:
(注:
n、m为整数)
ⅰ.;ⅱ.;ⅲ.;
ⅴ.;;
ⅵ.;
的本质:
方程的三个根是1和,其中叫做立方虚根。
的运算满足三次一循环:
;;()
4.你还记得实系数一元二次方程的求根公式吗?
“共轭虚根定理”的前提是什么,结论是什么?
①实系数一元二次方程:
ⅰ.当时有两个实数根:
;
ⅱ.当时有一对共轭虚根:
;
②无论还是,韦达定理都成立:
注意:
(1)实系数一二次方程中,以下公式和定理适用:
求根公式;利用判别式判断根的情况与个数;韦达定理;共轭虚根定理(即虚根成对出现)
(2)虚系数一元二次方程中:
仅韦达定理可用;
(3)已知是一元二次方程的两根,则
ⅰ.若,则或
ⅱ.若,则或
矩阵
1.矩阵:
由个数(;)按顺序排成的行、列矩形数表叫做矩阵,记为:
,简记为:
,读做:
矩阵.
2.元素:
矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,记为。
3.单位矩阵:
主对角线上元素均为,其余元素均为的方矩阵,叫做单位矩阵,记为。
例如:
阶单位矩阵:
;阶单位矩阵:
。
4.负矩阵:
将矩阵中每一个元素变为其相反数,所得的矩阵称为矩阵的负矩阵,记为:
。
5.零矩阵:
所有的元素都为的矩阵,称为零矩阵。
6.相等矩阵:
若两个矩阵是同类型,即,,当且仅当它们对应位置的元素都相等,即时,则称这两个矩阵相等,记做:
。
7.矩阵的和(差):
两个同类型矩阵、对应位置上的元素相加(减),设,所得到的矩阵称为矩阵、的和,记做:
。
注:
矩阵相等、矩阵加减运算,前提条件是两矩阵的行数与列数相同。
矩阵加法运算律:
①交换律:
②结合律:
;
8.数与矩阵相乘:
设为任意实数,将矩阵的所有元素都与相乘得到的矩阵叫做矩阵与实数的乘积矩阵,记作:
。
注:
实数与矩阵的乘法运算律:
如果、是两个同类矩阵,、是任意实数,那么:
①实数关于矩阵加法的分配律:
;
②矩阵关于实数加法的分配律:
;
③实数关于实数与矩阵乘法的结合律:
;
9.矩阵的乘积:
当且仅当矩阵的列数与矩阵的行数相等时,定义矩阵的任意
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