浙江省温州市2014届高三第一次适应性考试(一模)数学(理)试题.docx
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2014年温州市高三第一次适应性测试数学(理科)试题2014.2
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知角的终边与单位圆交于点,,则()
A. B. C. D.
2.已知集合,,则中所含元素的个数为()
A.2 B.3 C.4 D.6
3.在复平面内,复数对应的点在()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.设,,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
第5题图
5.已知某几何体的三视图(单位:
)如图所示,则此几何体的体积是()
A.1 B.3C.5D.7
6.已知,,且,则的
最大值是()
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
7.在5×5的棋盘中,放入3颗黑子和2颗白子,它们均不在同一行且不在同一列,则不同的排列方法种数为()
A.150B.200C.600D.1200
8.对于函数,若存在实数,使得成立,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
9.已知,分别为双曲线,的左、右焦点,若在右支上存在点,使得点到直线的距离为,则该双曲线的离心率的取值范围是()
A. B. C. D.
10.已知数列为等比数列,,,,则的取值范围是()
A. B. C.D.
第13题图
二、填空题:
本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.已知函数,则.
12.设,在二项式的展开式中,含的项的系数与含的项的系数相等,则的值为.
13.某程序框图如图所示,若输入的,则输出的结果是.
14.直线与曲线的交点个数是.
15.现有三个小球全部随机放入三个盒子中,设随机变量为三个盒子中含球最多的盒子里的球数,则的数学期望为.
第16题图
16.如图,矩形ABCD中,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在△ADE翻转过程中,正确的命题是.
①|BM|是定值;
②点M在圆上运动;
③一定存在某个位置,使DE⊥A1C;
④一定存在某个位置,使MB∥平面A1DE.
17.平面向量,,满足,,,,则的最小值为.
三、解答题:
本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)△中,角,,所对的边分别为,,.若,.
(Ⅰ)求角的取值范围;
(Ⅱ)求的最小值.
19.(本题满分14分)已知数列中,,.
(Ⅰ)求证:
数列是等差数列,并求的通项公式;
(Ⅱ)设,,试比较与的大小.
第20题图
20.(本题满分14分)如图,平面平面,
四边形为矩形,.为的中点,
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若与平面所成的角为,
求二面角的余弦值.
21.(本题满分15分)抛物线在点,处的切线垂直相交于点,直线与
椭圆相交于,两点.
(Ⅰ)求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离;
(Ⅱ)设点到直线的距离为,试问:
是否存在直线,使得,,成等比数列?
若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
22.(本题满分15分)设,函数.
(Ⅰ)当时,求在内的极大值;
(Ⅱ)设函数,当有两个极值点时,总有
,求实数的值.(其中是的导函数.)
2014年温州市高三第一次适应性测试数学(理科)试题
参考答案2014.2
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
D
C
D
B
C
D
二、填空题:
本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.12.113.514.2个15.16.①②④17.
三、解答题:
18(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由正弦定理,得,即.………………2分
由,得,………………4分
又>,故为锐角,所以.………………6分
(Ⅱ)………………9分
,……………12分
由,得,故,
所以(当时取到等号)
所以的最小值是0.……………14分
19.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)因,………3分
故数列是首项为-4,公差为-1的等差数列,……………5分
所以,即.…………7分
(Ⅱ)因,故,则,…………9分
于是,…………11分
从而,…………12分
所以,当时,;当时,.…………14分
20.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
连结,因,是的中点,
故.
又因平面平面,
故平面,…………2分
于是.
又,
所以平面,
所以,…………4分
又因,
故平面,
所以.…………6分
(Ⅱ)解法一:
由(I),得.不妨设,.…………7分
因为直线与平面所成的角,
故,
所以,为等边三角形.…………9分
设,则,分别为,的中点,也是等边三角形.
取的中点,连结,,则,,
所以为二面角的平面角.…………12分
在中,,,…………13分
故,
即二面角的余弦值为.…………14分
解法二:
取的中点,以为原点,,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系.不妨设,,则,,,,…………8分
从而,.
设平面的法向量为,
由,得,
可取.…………10分
同理,可取平面的一个法向量为
.………12分
于是,……13分
易见二面角的平面角与互补,
所以二面角的余弦值为.…………14分
21.(本小题满分15分)
解:
(I)抛物线的焦点,………1分
椭圆的左焦点,………2分
则.………3分
(II)设直线,,,,,
由,得,………4分
故,.
由,得,
故切线,的斜率分别为,,
再由,得,
即,
故,这说明直线过抛物线的焦点.………7分
由,得,
即.………8分
于是点到直线的距离.……9分
由,得,………10分
从而,………11分
同理,.………12分
若,,成等比数列,则,………13分
即,
化简整理,得,此方程无实根,
所以不存在直线,使得,,成等比数列.………15分
22.(本小题满分15分)
解:
(Ⅰ)当时,,
则,………2分
令,则,
显然在内是减函数,
又因,故在内,总有,
所以在上是减函数…………4分
又因,…………5分
所以当时,,从而,这时单调递增,
当时,,从而,这时单调递减,
所以在的极大值是.…………7分
(Ⅱ)由题可知,
则.…………8分
根据题意,方程有两个不同的实根,(),
所以,即,且,因为,所以.
由,其中,可得
注意到,
所以上式化为,
即不等式对任意的恒成立…………10分
(i)当时,不等式恒成立,;
(ii)当时,恒成立,即.
令函数,显然,是上的减函数,
所以当时,,所以;…………12分
(iii)当时,恒成立,即.
由(ii),当时,,所以…………14分
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