贝塞尔函数性质Word下载.docx
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t>
0
x(t-1)
xt-x
∞1x
e2t
=e2
⋅e2t
(
t)l
⋅(-)m⋅
m=02t
(-1)m
l!
xl+ml-m
()t
2
令l-m
=n,
则l=
m+n
→∑→
∑→
m+n=0
n=-m
n=-∞
x1∞∞
x2m+nn
(t-)=
∑∑
n=-∞m=0
(m+
n)!
=∑Jnn=-∞
(x)tn
(-1)k
2k+n
()
k!
(n+k)!
k=0
(x)=
n
J
k
f(z)=∑c(z-b)k,c
=1
f(z)
系式函数的性质
2πi⎰l(z
−b)k+1dz
(1)
=∑Jn(x)t
x(t-1)
e2t
一、母函数关
k=-∞
d
θ)
e
-π
问:
1.Jn
(x)
的积分表示?
J(x)=
2π
⎰
π
i(xsinθ-n
θ
或J(x)=1πcos(xsinθ-nθ)dθ
2.Jn(x)的微分式?
3.
Jν
(x()
ν≠n)有母函数关系吗?
二、递推公式:
Jν(x)
(-1)kx2k+ν
!
Γ(ν+k+1)
(2)(4)
⎧d
⎪dx
⎨d
⎪
⎩dx
[xνJν(x)]=xνJν-(x)
(2)
[x-νJν(x)]=-x-νJν+(x)
(3)
用途:
(1)可派生出其他递推公式
xJν'
(x)+νJν
xJν-1(x)
(4)
(x)-νJν(x)=-xJν+1(x)
(5)
←⎯?
⎯
2Jν'
(x)=Jν-1(x)-
Jν+1(x)
(6)
2ν
xJν
Jν-1
+
Jν+1
(x)
(7)
=n
(2)只要查
J0(x)和
J1(x)
表,可计算出任一
(x)=Jν-1
ν-1
ν
⎧
(x)-Jν+1(
[xJ(x)]=xJ
[xJν(x)]=-xJν+1(x)
-ν
(3)可用来计算含Jν(x)的积分
a3J(a)-2a2J(a)
⎰0
例1:
ax3J(x)dx=?
J1(x)=-J0'
(x)
-J0(x)+c
-J0(x)-2J2(x)+c
例2:
J1(x)dx=?
x)
例3:
⎰J3(x)dx=?
Q
ρ2R'
(ρ)+
ρR'
(ρ)+(k2ρ2
-n2)R(ρ)=0
→d(ρ
dρ
dR)+(k2ρ
n2
-
ρ)R=0
ddJ
(knρ)
n2n2n
m
[ρnm]+[(k)
dρdρ
ρ-ρ
]Jn(kmρ)=0
(9)
ddJ(knρ)
l
[ρnl]+[(kdρdρ
)ρ-ρ]Jn(kl
ρ)=0
(10)
J(kna)
=0,m
=1,2,L,l,L
[ρ
nm]+[(k)
ann
⎰0[(9)⋅Jn(kl
ρ)-(10)⋅Jn(kmρ)]dρ:
[(kn)2-(kn)2]ρJ(kρ)J(kρ)dρ
ml⎰0nmnl
=anρd
dJ(knρ)
and
dJ(knρ)
0
dρ
⎰Jn(km)ρ[ρ
nl]dρ-⎰
Jn(klρ)ρ[ρ
nm]dρ
=ρnρ
dJ(knρ)a-
aρdJ
(knρ)dJ
(knρ)ρ
Jn(km)nl0⎰nl
nm]d
-ρnρ
dJ(knρ)a+
Jn(kl)nm0⎰nm
nl]d
dρ
0dρdρ
(x)-νJν(x)
=-xJν+1(x
)(5)
=ρ[J(knρ)
nm
dJn
-
J(knρ)
nl
]
a
=0(QJn
(kna)
=1,2,L,l,L)
1.
若m≠l:
2.若m
=l,令m→l
lim
aJ(kna)J'
(kna)kn
=
kn→kn
(kn)2
-(kn)2
mlml
(ka)
=a
a2knJ'
(kna)J'
(kna)a2'
n2
=lim
lnmnl=
n+1l
2kn
2[Jn(kl
a)]
四、广义傅氏展开
若f(ρ)在[0,a]上有连续的一阶导数,分段连续
的二阶导数,且
f(ρ)
ρ=0→有界,f
(ρ)
ρ=a=0则
f(ρ)=
c=
Y
例4:
一半径为a高为h的均匀圆柱体,其下底和侧面保持温度为零度,上端温度为u0,求柱内的稳定温度分布。
⎧Δu=0,0≤ρ≤a,
(1)
⎪u(a,z)=0
⎪u
⎨(ρ,0)=0
解:
⎪u(ρ,h)=u
1.令
u(ρ,z)=
R(ρ)Z(z)
⎩0
⎧Z'
+μZ=0
⎩
(1)→
⎨ρ2R'
+ρR'
+(k2ρ2
-0)R=0
(2)→
R(a)=0
(7);
→Z(0)=0
(8)
2.解本征值问题(6)(7)得
x020
k=-μ
=(m),
Rm(ρ)=
J0(kmρ),m
=1,2,L
3.解方程(5):
⎧Z'
⎨
+μZ=0
→Zm
(z)
=cm
sinh(k0z)
⎩Z(0)=0
4.叠加,定系数:
u(ρ,
z)=
∑cm
m=1
sinh(k0z)J
(k0ρ)
→∑cm
sinh(k0h)J
=u0
1a0
cma2
J2(k0a)sinh(k0h)
⎰0u0ρJ0(kmρ)dρ
21mm
dx
令x=kρ
⎰0ρ0m
(k0)2
(k0a)
00
=aJ
k01
(k0a)
J(k
ρ)dρ=
mxJ
(x)dx
J1
(k0a)=0?
=1a0
21m2um
=0
(k0a)sinh(k0h)J(k0a)
mm1m
2usinh(k0z)J(k0ρ)
sinh(k0h)J(k0a)
x0
0m0m
u=
=∑Jn(x)t
五、小结(贝塞尔函数的性质)
(1)母函数关系式
(2)
[xJν(x)]=-xJν+1(x)
d
⎪dx
递推公式:
aρnn
a22n
(3)正交性
⎰0Jn(kmρ)Jn(kl
2Jn+1(kl
a)δml
f(ρ)J(kρ)dρ
ρ
(4)广义傅氏展开
n+1m
J2
a2
本节作业
习题15.2:
2(3)(4)
7
8
(1)
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- 关 键 词:
- 贝塞尔 函数 性质