仁华图形分割题目9资料下载.pdf
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图二分成了4个梯形,是基于仁华考题正三角形分成3个等腰梯形的灵感,难度在于面积相等的构造。
再看如下一系列的题,作为思考题,答案下期公布(提示:
网格化哦)思考题:
将上底4,下底8,高4的等腰梯形进行分割:
1)分成4个直角三角形;
2)分成三个三角形,使它们的面积的比是1:
2:
3;
3)分成两个等腰梯形,两个等腰直角三角形;
4)分成一个等腰梯形,五个等腰三角形;
5)分成5个等腰三角形;
有的图形分割问题还离不开等积变形的知识,还记得一道经典的杯赛题吗?
3、过三角形边上一点做一条直线,平分三角形面积。
我上课时会讲这道题的两个加强版:
1)过三角形边上一点做2条直线,3等分三角形面积;
2)过正n边形边上一点做一条直线,平分正n边形面积。
DABCEABCPDDABC【分析】不妨设P点在BC上,取BC中点D,连AP,过D作DE平行AP交AC于E,连PE,则PE为所求。
此题证明起来并不困难,正是用等积变形的知识,AP和DE平行,所以ADE面积等于PDE的面积,那么PCE的面积等于ADC的面积等于ABC面积的一半。
只要理解的这种方法的精髓,那么那两个所谓的加强版也不是很强了,自己动手试试。
4、将长方形分割成两个全等的直角梯形和两个全等的三角形(每个图形面积一样)加强:
将长方形分割成两个全等的等腰梯形和两个全等的三角形(每个图形面积一样)
【分析】这类问题不是很困难,因为突破口比较明显,容易上手。
要求面积都相等,那自然每块面积是整个的四分之一,图一是最容易想到的,把长方形的一半分成两个直角三角形,另一半分成两个直角梯形,但此方法解决不了加强版,由仁华考题可知,想构造出两个等腰梯形必须有两条平行线但不能有直角。
那么先找到两条长边的中点,这样,四分之一的面积和平行线就都构造出来了,如果想要直角梯形,就过中心作两条平行线的垂线;
如果想要等腰梯形,就如图三,先作一个等腰三角形,再过中心作腰的平行线。
日本奥赛也曾考过这种构造类几何问题:
5、把一个三角形分成三部分,再拼成一个长方形(或菱形)
【分析】这道题又是看起来很难,不知如何下手构造。
但如果分两步构造,第一步:
三角形分成两部分拼成一个平行四边形;
第二步,平行四边形分成两部分拼成一个长方形或菱形。
那么每一步就不是很难了。
如图,取AB和AC中点D,E,连DE,那么ADE绕E点旋转180至CFE,那么四边形BDFC是一个平行四边形,这样第一步就完成了;
过D作DH垂直BC,将BDH平移至CFG,那么四边形DHGF就是长方形(构造菱形需要一个条件:
中线大于某一边,图中是BEBC,在DE上找点M使BM=BC,将BDM平移至CFN,那么四边形BMNC就是菱形)FDECBAFDECBAGHMFDECBAN这道题的构造需要三角形中线和中位线的知识,这对中国小学生来说有点难,但日本小学就已经开始学我们初中的平面几何知识了,这是典型的中位线性质和倍长中线构造全等和平行四边形的知识,培养良好的逻辑思维和严谨的推理是学好几何的关键。
6、(2004年第2届走美杯团体决赛第15题)请将给定的正方形划分成8部分,每部分都是锐角三角形.【分析】正方形内的点,如果发出少于等于4条线,四个角之和为360,由抽屉原理,至少有一个角大于等于90则不是锐角。
所以正方形内的点至少发出5条线,同理,正方形边上的点至少发出2条线,正方形顶点至少发出1条线,那正方形内只能有2个点(若只有1个点,边上的点发不出2条线;
若有3个点,分出多于8个三角形),边上有2个点,左图为把一个正方形分割成8个锐角三角形的方法,其中点G及H要在右图的黄色区域内。
走美六年级的决赛题,其背景也是初中的知识:
以三角形ABC一边AB为直径作圆,如果另一点C在圆内,则角ACB是钝角;
如果另一点C在圆上,则角ACB是直角;
如果另一点C在圆外,则角ACB是锐角。
7、思考题:
如何把直角梯形ADBC,角ABC=90度分割成与原梯形相似并全等的四个小梯形1)AB=AD=1/2BC;
2)BC=CD=2AD;
ADBCDBCA
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- 图形 分割 题目