信号分析与处理涂然-第8课资料下载.pdf
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为什么求和限变了?
离散傅氏级数进入正题进入正题回过头去刚才那个连续周期信号的展开可作离散化00()()jktkxtXke01()()NjknxnXke00()()kxnXke实它其实是后才有它的离散傅氏级数进入正题进入正题回过头去实际的推导是考虑到离散傅里叶级数的频域是的周0k考虑到离散傅叶级数的频域是的周期为的周期函数,是k的周期为N的周期函数所以我们只取一个周期的N个谐波分量就足以02所以我们只取一个周期的N个谐波分量就足以表示原信号,记为(当然每个系数不知道)0100()()NjknkxnXke0k离散傅氏级数进入正题进入正题回过头去0100()()NjknkxnXke实际的推导是然后,就是去凑频域变换的形式,先两边这样0k然后,就是去凑频域变换的形式,先边这样001()0()()NjnrjkrnxneXke0k00111()0()()NNNjnrjkrnthenxneXke0000()()nnkxneXke011()()NNjkrnXke0()000()jknXke离散傅氏级数进入正题进入正题回过头去0100()()NjknkxnXke实际的推导是而由复指数数的正交性0k而由复指数数的交性01()NjkrnNkre00nekr00111()00000()()()NNNjnrjkrnkxneXkeNXr000nkn离散傅氏级数进入正题进入正题回过头去最终得到一对和刚才一模一样01001()()NjknnXkxneN0n1()()NjknXk000()()jknkxnXke离散傅氏级数离散傅里叶级数变换对离散傅里叶级数变换对DFSDiscreteFourierSeries011()()NjknXkxne()()DFSxnXk00()()nXkxneN0()()DFSxnXk0100()()NjknkxnXke0()()IDFSXkxn()()DFSXk0k0()()DFSxnXk几个例子几个例子典型例子例1例1已知一离散正弦序列,分别求()cosxnn当
(1)及
(2)时傅里叶级数表达式及频谱图2/3傅叶级数表达式及频谱图典型例子解:
对于()cosxnn就是,这三者是一个东西T()序列要为周期必须满足上面的关系序列要为周期,必须满足上面的关系2thereisnoDFSfor2thereisnoDFSfor典型例子解:
对于()cosxnn就是,这三者是一个东西但对于T()/3但对于/322616N所以基本频率就是6N所以基本频率就是203N典型例子解:
对于()cosxnn就是,这三者是一个东西再由T()再由531()()jknXk3001()cos()63jnXkne2453333111111()()62222jkjkjkjkjkeeeee62222121coscoscos012345kkkk1coscoscos0,1,2,3,4,5633kk典型例子解:
对于()cosxnn就是,这三者是一个东西由此可得T()由此可得011,5()2kXk0()200,2,3,4k画图的时候注意频时以n(时域)和k(频域)为轴画周期都为N为轴画,周期都为N典型例子解:
最终图形为011,5()2kXk0()200,2,3,4k典型例子例2例2已知一周期序列,周期N=6,如下()xn求频谱及时域表达式()xn0()Xk典型例子解:
知道周期,当然就知道基本频率023N直接套级数展开公式03N直接套DFS级数展开公式5301()()6jknXkxne06n典型例子解:
结合原图53001()()6jknnXkxne0,1,.,5k06n5331(0)
(1)(5)jkjkxxexe(0)
(1)(5)6xxexe53311jkjk112k33116jjee112cos63k典型例子解:
结合原图0,1,.,5k000111(0),(),
(2)0,(3)XXXX000(),(),(),()2361(4)0(5)andXX00(4)0,(5)3andXX可直接画频谱图可直接画频谱图典型例子解:
结合原图000111(0),(),
(2)0,(3)XXXX000(),(),(),()2361(4)0(5)andXX00(4)0,(5)3andXX典型例子解:
结合原图000111(0),(),
(2)0,(3)236XXXX236001(4)0,(5)3andXX31112()()NjknnXk000112()()coscos2633jknknxnXken().1,1,1,0,0,0,1,1,1,0.xnDFSDFS的性质的性质性质主要性质主要性质线性性质若0()(),DFSxnXk0()()DFSynYk则00()()()()DFSaxnbynaXkbYk基本性质性质主要性质主要性质周期卷积性质对于两周期为N信号若0()(),DFSxnXk0()()DFShnHk则00()()()()DFSxnhnXkHk001()()()()DFSxnhnXkHkN周期卷积运算符号周期卷积运算符号性质主要性质主要性质周期卷积性质若0()(),DFSxnXk0()()DFShnHk则00()()()()DFSxnhnXkHk001()()()()DFSxnhnXkHkN1()()()()()()Nxnhnhnxnxkhnk0()()()()()()kxnhnhnxnxkhnk性质主要性质主要性质周期卷积性质若0()(),DFSxnXk0()()DFShnHk特别注意1()()()()()()Nhhkhk0()()()()()()kxnhnhnxnxkhnk性质主要性质主要性质位移性质若0()()DFSxnXk则00()()jkmDFSxnmeXk性质主要性质主要性质帕斯瓦尔定理若0()(),DFSxnXk0()()DFShnHk111NN则1100001()()()()NNnkxnhnXkHkN特别地,如()()xnhn特别地,如()()xnhn11221()()NNxnXk000()()nkxnXkN性质例1例1已知连续周期信号,现以采样间()6cosxtt隔对它进行采样,求采样后周期序列的频谱并与原始信号的频谱进行比较0.25T()xt谱并与原始信号的频谱进行较()性质解:
已知,则0000012,0.2524Tf08TandNT24T025()()|6cos()6cos()TnxnxtnT0.25()()|6cos()6cos()4TxnxtnT性质解:
已知,则0000012,0.2524Tf08TandNT24T025()()|6cos()6cos()TnxnxtnT0.25()()|6cos()6cos()4TxnxtnT1711Njkjk174400011()()()8NjknjknnnXkxnexneN性质解:
已知,则0000012,0.2524Tf08TandNT24T025()()|6cos()6cos()TnxnxtnT0.25()()|6cos()6cos()4TxnxtnT317k031,7,()00,2,3,4,5,6kXkk性质解:
汇总031,7,()00,2,3,4,5,6kXkk00,2,3,4,5,6k回去看原始信号回去看原始信号()6cos()xtt3()jtjtee031()0kXkother性质解:
汇总031,7,()00,2,3,4,5,6kXkk00,2,3,4,5,6k回去看原始信号回去看原始信号31()kXk0()0Xkother02性质思考思考周期采样序列的傅里叶级数频谱的一个周期就是连续周期原始信号的频谱这个结论对于任何情况都正确吗?
这个结论对于任何情况都确吗性质例2例2已知连续周期信号,()2cos64cos10xttt现以采样频率:
样点/周期;
样点/周期对它进行采样,求采样后周期序列的频谱并与原始116sf28sf对进行采样,求采样后周期序列的频谱并与原始信号的频谱进行比较()xt性质解:
注意到本题给出的是两种采样频率,但单位是“样点/周期”,并没直接给出采样时间间隔T()26410()2cos64cos10xtttcos8cos2tt01211/16&
1/8ssTTTcos8cos2tt111()()|2cos(6)4sin(10)tnTxnxtnn11()()|2cos(6)4sin(10)1616stnTxnxtnn352cos()4sin()nn2cos()4sin()88nn性质解:
同时基本频率0181581011()()16jknXkxne8016n024742021()()8jknXkxne02420208n性质解:
比较不同采样频率得到的频谱性质解:
比较再和原信号频谱比最高5非周期信号非周期信号DTFTDTFT离散时间傅氏变换想一想想想对于非周期的序列呢?
回忆一下前面连续时间信号的处理方式离散时间傅氏变换想一想想想对于非周期的序列呢?
这里类似,同样将非周期看作周期无穷大的周期序列期序列N011()()?
NjknXkN000()()?
jknnXkxneN离散时间傅氏变换想一想想想非周期序列NN01001()lim()?
NjknNnXkxneN02/Nd00kkTT0122dN0()0Xk22N0()离散时间傅氏变换想一想想想非周期序列N模仿此前,采用频谱密度函数的定义1N0100()lim()lim()NjknNNnXNXkxne0/2/2lim()NjknNnNxne()()jnXxnen离散时间傅氏变换另一方面另方面非周期序列NN0100()lim()NjknNkxnXke1()()limNjnXxne11lim()NjnXed0()limNkxneN0lim()2NkXed1li?
Nhtbt0lim?
Nkwhatabout离散时间傅氏变换另一方面另方面非周期序列NN0100()lim()?
NjknNkxnXke01kN:
01kN1200limNNk0:
02k0:
02k离散时间傅氏变换另一方面另方面非周期序列NN0100()lim()?
NjknNkxnXke21201()()2jnxnXed离散时间傅氏变换可得可得离散时间傅里叶变换对()()jnXxne1()()nXxne201()()2jnxnXed()()DTFTxnX()()离散时间傅氏变换例1例1已知离散非周期序列12()0MnMMxtother求其频谱并作图0other其频谱并作图离散时间傅氏变换解:
直接根据计算定义式()()MjnjnXxneennMsin(1/2)Msin(/2)sin(1/2)()MX()sin(/2)X0()0()()0XX()()0X离散时间傅氏变换解:
直接根据计算定义式()()MjnjnXxneennMsin(1/2)Msin(/2)重要关系重要关系联系重要关系重要关系DTFT与DFS与CTFT再看看分别是啥DTFT离散傅里叶级数离散时间傅里叶变换离散傅里叶级数DFSCTFT连续信号傅里叶变换联系重要关系重要关系DTFT与DFS与CTFT再看看分别是啥DTFT离散傅里叶级数离散时间傅里叶变换离散傅里叶级数DFSCTFT连续信号傅里叶变换联系重要关系重要关系DTFT与DFS与CTFTDTFT是“变换”针对非周期NDTFT针对非周期是DFS当周期N趋于的特殊情况趋于的特殊情况DFS共同点:
时域上是离散的;
频域上都以为周期来循环2联系重要关系重要关系DTFT与DFS与CTFTNDTFTDFS共同点:
频域上都以为周期来循环2联系重要关系重要关系DTFT与DFS与CTFT不同点:
离散时间周期信号NDTFT离散时间周期信号的DFS频谱是离散的,具有谐波性适于计算机计算具有谐波性,适于计算机计算DFS联系重要关系重要关系DTFT与DFS与CTFT不同点:
离散时间非周期NDTFT离散时间非周期信号DTFT频谱是连续的,不具有谐波性不适于电脑计算不具有谐波性,不适于电脑计算DFS联系重要关系重要关系DTFT与DFS与CTFT回过头DTFT离散傅里叶级数离散时间傅里叶变换离散傅里叶级数DFSCTFT连续信号傅里叶变换联系重要关系重要关系DTFT与DFS与CTFT回过头相同点:
DTFT相同点频域上频谱均连续()&
()XX()&
()XX不同点:
是周期性的()X采样定理CTFT是周期性的且是求和式()X小结小结小结回忆回忆主要内容知道什么是离散、序列等等的专业名词及相关概念概念掌握离散信号或序列的几种常用表达方式图形集合公式图形、集合、公式熟悉几个常见的离散序列,特别搞清楚数字频率的概念和特性了解一下离散系统的特性结束结束
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