数学建模国赛B题优秀获奖论文资料下载.pdf
- 文档编号:5971673
- 上传时间:2023-05-05
- 格式:PDF
- 页数:30
- 大小:1,007.66KB
数学建模国赛B题优秀获奖论文资料下载.pdf
《数学建模国赛B题优秀获奖论文资料下载.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学建模国赛B题优秀获奖论文资料下载.pdf(30页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
针对问题一,从工作效率和工作质量两方面出发,选择了病床使用率,病床周转次数,入院、手术、出院等待满意度这影响病床安排效益的五大指标,构造了一个涵盖这五个主要指标的效益函数,并通过层次分析法确定各指标在效益函数中的影响权重,最终将此效益函数作为综合评价指标。
结合病床安排合理性的优劣等级表可得出结论,医院的病床安排模型属于差的等级。
针对问题二,建立动态控制排队模型来模拟病人住院的情况。
由于FSFC排队规则中效率过低的缺点,我们综合考虑了病人的排队等待时间、各病种患者在总病人数中所占比例和病症的手术时间等因素,给出了一个优先级函数,并根据每位患者优先级的高低来安排入院顺序。
利用Matlab模拟患者就医情况后,用问题一中的评价模型进行了评价,结果为良好。
针对问题三,根据病人门诊人数和等待入院的时间分别服从泊松分布和均匀分布的规律,利用概率论和统计学知识,我们通过给出置信区间的方式估计出了病人的住院时间区间。
针对问题四,在周六、周日不能进行手术的基础上修改问题二中的患者优先级函数,用同样的方法模拟患者就医情况,再利用问题一的评价体系进行了评价,发现此时医院的工作效率降低了,从而确定需要对原有的手术安排时间进行修改,可将白内障的手术时间改到周二和周四。
针对问题五,依据当各类病人构成的排队系统的服务强度相同时,总的系统服务效率达到最佳的排队论思想,建立了服务强度平衡模型,根据每种病情的平均到达率和平均服务率算出平均逗留时间最短的病床比例分配模型。
引入共享床位的概念解决在计算过程中因将病床数取整而可能造成某种病情的床位不足的情况。
关键词:
效益函数动态控制置信区间优先级别服务强度2一、一、问题的重述问题的重述医院就医排队是大家都非常熟悉的现象,它以这样或那样的形式出现在我们面前,例如,患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等,往往需要排队等待接受某种服务。
我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。
该医院眼科门诊每天开放,住院部共有病床79张。
该医院眼科手术主要分四大类:
白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。
白内障手术较简单,而且没有急症。
目前该院是每周一、三做白内障手术,此类病人的术前准备时间只需1、2天。
做两只眼的病人比做一只眼的要多一些,大约占到60%。
如果要做双眼是周一先做一只,周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症,病床有空时立即安排住院,住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂,有各种不同情况,但大致住院以后2-3天内就可以接受手术,主要是术后的观察时间较长。
这类疾病手术时间可根据需要安排,一般不安排在周一、周三。
由于急症数量较少,建模时这些眼科疾病可不考虑急症。
该医院眼科手术条件比较充分,在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制,但考虑到手术医生的安排问题,通常情况下白内障手术与其他眼科手术(急症除外)不安排在同一天做。
当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS(Firstcome,Firstserve)规则安排住院,但等待住院病人队列却越来越长,医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题,以提高对医院资源的有效利用。
问题一:
试分析确定合理的评价指标体系,用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二:
试就该住院部当前的情况,建立合理的病床安排模型,以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。
并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三:
作为病人,自然希望尽早知道自己大约何时能住院。
能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况,在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四:
若该住院部周六、周日不安排手术,请你们重新回答问题二,医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
问题五:
有人从便于管理的角度提出建议,在一般情形下,医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案,试就此方案,建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间(含等待入院及住院时间)最短的病床比例分配模型。
二、二、问题的分析问题的分析医院是一个复杂的系统,患者从到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等,由于医疗设备等条件的限制,往往需要排队等待接受服务。
若患者排队等待时间过长,不仅患者的满意度会下降,而且医务工作者的忙乱容易导致医疗事故从而引起医疗纠纷,这对患者和社会都带来了不良影响。
因此,如何合理科学的安排医护人员及其医疗设备,使患者排队等待时间尽可能减少,以保证服务质量,提高患者满意度,这是现代医院管理者必须面对的课题。
3本文旨在通过分析某眼科各类患者的接受治疗情况,解决五个与病床安排相关的问题。
这些问题由浅及深,分别是确定合理的评价指标体系并评价该眼科现有的病床安排模型的优劣、建立合理的病床安排模型,以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院并用所建指标体系对其评价、由病人门诊时间大致确定其住院时间区间、在周末不安排手术的情况下说明本文所建病床安排模型是否需做调整、在医院采用使各类病人占用病床的比例大致固定的方案时,建立使所有病人在系统内的平均逗留时间(含等待入院及住院时间)最短的病床比例分配模型。
2.12.1问题一:
分析确定合理的评价指标体系分析确定合理的评价指标体系并并评价该评价该眼科眼科的病床安排模型的优的病床安排模型的优劣劣问题一要求分析确定合理的评价指标体系并评价该眼科的病床安排模型的优劣。
评价病床安排的合理性需要考虑许多因素,我们决定从工作效率(医院角度)和工作质量(病人角度)这两个大方面去评价。
查阅资料,最终我们选取了五个指标进行评价,分别是与工作效率有关的病床使用率、病床周转次数,以及和工作质量有关的入院满意度、手术准备满意度和出院满意度。
针对这五个指标我们建立效益函数来进行综合的考量,给出评价。
在确定效益函数中各指标值权重时,考虑到层次分析法是一种能有效解决比较、判断、评价和决策问题的实用方法,因此选用层次分析法确定各个指标在效益函数中权重。
将值带入效益函数,再参照优劣等级表,即可对模型进行评价。
2.22.2问题二:
建立合理的病床安排模型并对模型做出评价建立合理的病床安排模型并对模型做出评价问题二要求建立合理的病床安排模型,以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院,并对所建模型利用问题一中的指标体最终系作出评价。
考虑到FCFS病床安排规则使不同病种病人排队时的工作效率和工作质量过低,我们决定根据每一个病人的优先级来确认其入院时间,建立动态控制的排队模型来模拟病人排队入院的情况。
确定不同病种患者的入院优先级是建立动态控制排队模型的关键,考虑到病人的住院优先级由患者到达的先后顺序、病人所属类型的优先级别、医院的手术安排等因素综合确定,我们可给出每个采样日内各位患者的优先级的函数表达式。
在Matlab软件,设计算法,利用附表中的第一部分数据及各患者的优先级别,我们可对新模型下的系统床位安排过程进行仿真,对每一个前来就诊的患者,我们可以确定其在新模型下的出入院时间。
最后把数据带入一中效益函数,进行模型评价。
2.32.3问题三:
由病人门诊时间确定住院时间区间由病人门诊时间确定住院时间区间问题三要求根据已有住院病人及等待住院病人的统计情况,建立模型,在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
从随机理论上来说,单位时间到达门诊人数符合Poisson分布,而不同病人入院以后,从统计数据来看,从门诊到住院的等待时间相对均匀,如果把时间看成随机变量,那么该随机变量概率分布近似可以认为是一种均匀分布。
对住院病人的住院时间进行估计时要分不同病种进行考虑,但各病种的病人等待时间的均值是服从正态分布的,因此,可以对其正态化以后的统计量进行给定置信度的置信区间估计。
这样每类病人都可以得到其等待时间的区间估计,再结合每位病人的具体门诊时间,即可给出与之对应的入院时间区间。
42.42.4问题四:
在周末不安排手术情况下说明问题二中手术安排时间是否需做调整在周末不安排手术情况下说明问题二中手术安排时间是否需做调整问题四要求在该住院部周六、周日不安排手术的情况下重新回答问题二。
由统计数据可以知道,在周六与周日安排手术的情况下,除外伤以外,其它四类病人的手术时间一般都安排在入院观察后的2-3天进行。
现在由于周六周日不能安排手术,则第二问中所确定的一周中的不同时期适宜入院的病种也要随之改变,以避免出现病人住院很长时间却没有接受手术的情况。
修改问题二的模型中在确定优先级时与之有关的参数,再运用与第二问中相同的基于优先级的排队模型来模拟当周六、周六不能进行手术时的,病人的住院出院相关情况。
根据效益函数,算出当前条件下的最终效益值。
与第二问中的情况进行比较,从而判断是否需要重新安排手术时间。
2.52.5问题五:
建立使所有病人在系统内的平均逗留时间最短的病床比例分配模型建立使所有病人在系统内的平均逗留时间最短的病床比例分配模型问题五要求在医院病床安排采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案时,建立模型,使得所有病人在系统内的平均逗留时间(含等待入院及住院时间)最短。
经过分析,病人在系统内的平均逗留时间最短就是要求医院的病床安排可以使医院的服务效率达到最优。
依据病种的不同将排队的病人分成多条队列,建立一个多服务台排队模型。
依据当各类病人构成的排队系统的服务强度相同时,总的系统服务效率达到最佳这个基本思想来确定病床分配比例。
所以计算各病种的排队服务强度,令其相等,这样便可给出床位的分配比例。
若算出的床位期望分配数存在小数,可对其按四舍五入取整,取整后可能造成分配给某些病种的床位数少于期望数的情况,所以我们引入共享床位的概念,通过不同病种间共享床位的方式来避免这种情况发生。
三、模型假设与符号说明三、模型假设与符号说明3.13.1条件假设条件假设1.1.入院排队病人不会因等待时间的长短离开医院,即排队系统容量无穷大;
2.2.在任何排队规则中,外伤病人以优先级最高分配入院;
3.3.在研究时间范围内医院的医疗水平不变;
4.4.对于问题二,假设医院预留给外伤患者的床位是足够的;
5.5.除外伤外其他眼科的急症数量较少,建模时不予考虑。
3.23.2符号说明符号说明符号符号符号解释符号解释y效益函数1x病床使用率2x病床周转次数3x手术等待满意度5续续符号说明符号说明:
4x入院等待满意度5x出院等待满意度CI一致性指标RI随机一致性指标CR一致性比率()ijft优先级函数i平均到达率i平均服务率i平均服务强度注:
其它未说明符号在文中具体说明注:
其它未说明符号在文中具体说明四、模型准备四、模型准备4.1病人等待入院时间数据概率分布检验病人等待入院时间数据概率分布检验第三问中要求从病人的门诊时间确定病人入院的大致区间,从其求解方法而言,应该满足一下要求:
(1)从随机理论上来说,单位时间到达门诊人数符合Poisson分布,而不同病人入院以后,其接受服务时间是相当固定的常数。
(2)从统计数据来看,从门诊到住院的等待时间相对均匀,如果把该随机时间看成随机变量,那么该随机变量分布近似可以认为是一种均匀分布。
我们把病人从确诊到入院的这段时间称为患者入院等待时间,所以我们有必要对每天到达门诊的患者人数及其入院等待时间数据作分析。
所以,根据已统计数据,利用SPSS统计软件1,我们对每天到达门诊人数和各类病种患者的入院等待时间数据的概率分布检验结果如下:
表表4-1每天就诊患者人数的泊松检验表每天就诊患者人数的泊松检验表患者人数患者人数N50Poisson参数参数a,b均值均值6.9800最极端差别最极端差别绝对值绝对值0.150正正0.150负负-0.1236续续表表4-1:
Kolmogorov-SmirnovZ1.060渐近显著性渐近显著性(双侧双侧)0.211MonteCarlo显著性显著性(双侧)(双侧)显著性显著性0.079c95%置置信区间信区间下限下限0.073上限上限0.084一般情况下,K-S泊松分布检验显著性大于0.05即可认为随机变量服从泊松分布,有表4-1可知,在置信度0.95的情况下,显著性为0.079,所以我们有理由相信每天患者前来该眼科就诊的人数是服从泊松分布的。
表表4-2患者入院等待时间的均匀分布检验表患者入院等待时间的均匀分布检验表白内障白内障单眼单眼白内障白内障双眼双眼视网膜视网膜疾病疾病青光眼青光眼疾病疾病外伤外伤N72821013955均匀参数均匀参数a,b极小值极小值10.0010.0010.001.00c1.00c极大值极大值16.0015.0015.001.001.00最极端差别最极端差别绝对值绝对值0.3330.2610.27255正正0.3330.1920.2720.272负负-0.208-0.261-0.169-0.169Kolmogorov-SmirnovZ2.8283.7552.6271.697渐近显著性渐近显著性(双侧双侧)0.0000.0000.0000.006MonteCarlo显著性(双显著性(双侧)侧)显著性显著性0.000d0.000d0.004d0.004d95%置置信区间信区间下限下限0.0000.0030.0030.003上限上限0.0000.0050.0050.005一般认为K-S均匀分布检验显著性有小于0.05,随机数据的概率分布可看做服从均匀分布,由上表知,在置信度0.95的情况下,五种疾病患者的入院等待时间的显著性都是接近于0的,所以,我们由足够理由认为,各类疾病患者的入院等待时间数据服从均匀分布。
五、模型的建立与求解五、模型的建立与求解5.15.1问题一:
分析确定合理的评价指标体系分析确定合理的评价指标体系并并评价该评价该眼科眼科的病床安排模型的优的病床安排模型的优劣劣问题一要求确定合理的评价指标体系,并用其评价该问题的病床安排模型的优劣。
合理的病床安排模型是应该站在医院和患者两个角度进行评价的,从医院角度而言,病床的安排要以追求高效率为目标;
从患者角度而言,病床安排的合理性取决于病人的感受,即病床的安排要以追求患者满意度最高为目的。
参阅文献资料2,可得影响医院病床工作效率和患者满意度的主要指标,以各指标间的线性回归函数作为效益函数。
又因为层次分析法是一种能有效解决比较、判断、评价和决策问题的实用方法,所以,本文根据这些指标在解决问题时所处的不同地位,建立层次分析模型,确定各指标权重,进而可用效益函数这一综合指标评价该院眼科的病床安排模型是否合理。
75.1.15.1.1基于基于效益函数效益函数的评价模型的评价模型效益函数是指实际问题中我们渴望实现的目标与其主要影响因素间的现行函数关系。
本问中,我们渴望实现眼科病床安排的最大合理化,即效益函数最大化,那么,通过相关资料,可以确定影响该效益的主要指标有哪些,根据这些指标对效益的影响程度,我们对其设定权重,这样便确定了效益函数表达式,此效益函数值可以模型评价的综合评价指标。
11模型的建立模型的建立本问要求建立考量医院病床安排合理与否的指标体系,我们从医院和患者两个角度出发,考虑这个问题。
参阅资料知,从医院的角度来说病床安排的合理性主要取决于病床的使用效率,病床使用效率通过病床使用率、病床周转次数、这两个指标来衡量。
从病人的角度来说,病床安排的合理性取决于病人的感受即入院等待满意度、入院满意度和出院满意度这三个指标,。
综合考虑这两个方面。
以上述5个指标构成指标体系,建立关于这5个指标的线性回归函数,在此称为效益函数y:
1122334455yxxxxx
(1)式中,12345、分别表示五个指标对效益函数的影响权重。
1x、2x、3x、4x、5x分别代表病床的使用效率、病床使用效率、入院等待满意度、入院满意度和出院满意度这五个评价指标,其中五个指标的的计算公式如下:
(1)病床使用率1x:
11niiCxCn
(2)
(2)病床周转次数2x:
12niiNxCn(3)式
(2)和(3)中,iC表示每个采样日内病人占床数;
iN表示每个采样日内的出院人数;
C表示每天开放病床数,由题意可知79C;
n表示数据采样的天数。
(3)手术等待满意度3x:
1111,11,ikkikkiikktTtTatT(4)3ixa(5)在本问题中我们用1,2,3,4,5k分别表示白内障单眼、白内障双眼、视网膜疾病、青光眼和外伤手术五类疾病。
等待满意度取决于病人从住院到第一次手术的时间,设第k类病人手术最少等待时间为1kT,若第i个病人的手术等待时间正好为ikT,则设手术等待满意度为1;
若病人的等待时间超过上述时间越长。
那么病人就越不满意,在极端情况下,人院满意度为0。
最终的满意度指标我们用每位患者的满意度取算术平均值来刻画。
同理,我们可得患者的入院满意度和出院满8意度如下,其中2kT、3kT分别表示第k类病人从门诊到入院的最少等待时间和从住院到出院的最少等待时间。
(4)入院满意度4x:
2221,11,ikkikkiikktTtTbtT(6)4ixb(7)(5)出院满意度5x:
3331,11,ikkikkiikktTtTctT(8)5ixc(9)那么具体的评价中,我们可用效益函数的数值大小和所给评价等级进行进行比较,若y值越大说明床位安排模型越合理。
22模型的求解模型的求解在上述建立的效益函数中,确定权系数i是求效益函数的关键,因为层次分析法3是在深入分析实际问题的基础上,将有关的各个因素按照不同属性自上而下的分解为若干层次。
同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上一层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用,而同一层的各因素之间尽量相互独立,最上层为目标层,通常只有一个因素,最下层通常为方案或对象层,中间可以有一个或几个层次,通常为准则层或指标层。
所以,在确定了影响因素及其层次关系之后,我们可以采用层次分析法中构造成对比较矩阵的办法来确定i的值,这里,我们建立如下层次结构图:
效益函数效益函数工作工作效率效率病病床床使使用用效效率率工作工作质量质量病病床床周周转转次次数数手手术术等等待待满满意意度度入入院院等等待待满满意意度度出出院院等等待待满满意意度度目标层目标层准则层准则层对象层对象层图图5-1病床安排效益层次结构图病床安排效益层次结构图利用l9尺度法2构造因素间的成对比较矩阵如下:
9第二层对第一层:
13=1/31A(10)第三层对第二层:
112=1/21B(11)211/51/251321/31B(12)根据已构造矩阵,我们利用Matlab软件求解三个矩阵的特征向量,特征向量归一化处理后作为权向量,权向量刻画了下层因素对上层对应因素的影响程度。
因为成对比较矩阵的构造受到了主观因素的影响,常常导致矩阵不是一致阵,但为了能使用它们的对应于特征值的特征向量经过归一化后能作为被比较因素的权向量,其不一致程度应在容许范围内,所以在Matlab软件中,我们继续对已构造的三个矩阵分别进行一致性检验。
我们利用一致性指标CI,随机一致性指标RI和一致性比率CR对矩阵做一致性检验,其中1nCIn(13)CICRRI(14)式中,n表示所检验矩阵的阶数;
表示此n阶矩阵的最大特征根;
RI的选取和矩阵阶数有关,一般情况下,二阶矩阵的RI值取0,三阶矩阵的RI值取0.85。
实际建议时,当满足0.1CR,即可认为被检验矩阵的的不一致程度是在容许范围内的。
由第二层的的成对比较阵A计算出权向量
(2)w,最大特征根,和一致性比率CR,结果列入下表:
表表5-1第二层第二层矩阵矩阵计算结果计算结果检验矩阵检验矩阵最大特征根最大特征根权向量权向量
(2)w一致性比率一致性比率CRA2T0.950.250因为00.1CR,说明构造的第二层对第一层的成对比较矩阵通过了一致性检验。
其权向量
(2)T0.950.25w中的第一项0.95可以作为工作效率对效益函数的影响权系数,第二项0.25可以作为工作质量对效益函数的影响权系数。
同理,我们由第三层的成对比较矩阵(1,2)kBk计算出权向量(3)kw,最大特征根k和一致性比率kCR。
结果列如下表:
10表表5-2第三层第三层矩阵矩阵计算结果计算结果检验矩阵检验矩阵1B2B(3)kw0.660.330.1220.6480.229最大特征根最大特征根k23.0037一致比较率一致比较率kCR00.10.00320.1因为kCR的值均小于0.1,说明构造的第三层对第二层的成对比较矩阵也通过了一致性检验。
其中矩阵1B的权向量元素0.66,0.33可分别作为病床使用率和病床周转次数对工作效率影响的权系数;
矩阵2B的权向量元素0.122,0.684,0.229可分别作为患者手术等待满意度、入院满意度和出院满意度对工作质量影响的权系数。
由各准则对目标的权向量
(2)w和各方案层对每一准则的权向量(3)kw,计算各方案对目标的权向量,称之为组合权向量,记为12345。
其中12345,分别表示病床使用率、病床周转次数、手术等待满意度、入院满意度、出院满意度这五个指标对效益函数的权系数。
计算结果如下表所示:
表表5-3权系数计算结果权系数计算结果权系数权系数12345结果结果0.4950.24790.03050.16200.0574由于应用层次分析法时,除了对每个成对比较矩阵进行一致性检验,还要进行组合一致性检验3,检验结果显示,组合一致性比率同样是小于0.1的,说明一致性检验通过,我们可用上述各值做权系数。
由此,我们可给出效益函数的具体表达式如下:
123450.4950.24790.03050.16200.0574yxxxxx(15)模型建立时,我们确定了
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 建模 优秀 获奖 论文