第5章z域分析资料下载.pdf
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2015年11月2日DMU.BGX5为有理数00/2,)2
(2)(kjkeXd)(21)(njjeeXnxd)(2210njed)(00njenje0虚指数序列并不是绝对可和的,但当允许频域出现冲激脉冲时,其DTFT存在)/2(0为有理数当推广:
kkkn)2()2()cos(00DTFT0kkkjn)2()2()sin(00DTFT0其它典型序列的DTFT变换式2015年11月2日6DMU.BGX,1)(DTFTnckcckgnSac,)2()(2DTFTkjkenu)2(11)(DTFTkk)2(21DTFTmjemnDTFT)(2.离散时间傅里叶变换与连续时间信号傅里叶变换的关系连续时间信号进行理想抽样,满足抽样定理,抽样间隔为Ts2015年11月2日DMU.BGX7,)()()()()(nssnssnTtnTxnTttxtxnnTjskssssenTxkXTX)()
(1)(sssffTnTxnx2),()(令)()()
(1)(jnjnkssseXenxkXTX记为snTttxnx)()(ksssTsjTkTXTXeXs21)()(-数字数字(归一化归一化)角角频频率率离散时间序列的频谱是理想抽样信号的频谱经频率归一化后的结果由抽样定理,模拟信号最高允许频率为s/2,因此数字频率最高为离散时间信号的频谱是连续的,且以2为周期重复)()(CTFTXtx理想抽样信号的频谱与序列的频谱示意图2015年11月2日DMU.BGX8DTFTn)(nxt)(txt)(txs)(Xt)()(ttpTsT)(Ps)(sCTFTCTFTCTFT)(jXssT1sms2sss2)1(2sssT2sT)(jeXsT12403000例:
已知模拟信号2015年11月2日DMU.BGX9,8100sin)(ttx则连续周期)s(02.050/1T若抽样频率),Hz(2001sf)s(005.0/111ssfT1)()(1snTttxnx8100sin1snT82sinn序列周期45.021N则抽样间隔若抽样频率),Hz(1002sf)s(01.0/122ssfT2)()(2snTttxnx8100sinsnT8sinn序列周期222N则抽样间隔n)(1nx13412011)(tx2n)(2nx112011)(tx若抽样频率?
)Hz(502sf3.DTFT的性质2015年11月2日10周期连续性周期连续性,2,1,0,)()()2(kenxeXnnkjj设)()(DTFTjeXnxDMU.BGX线性线性ijiiiiieXCnxC)()(DTFT例:
1),()1()(anuanuaanxnnn)(DTFT)1(DTFT)(nuanuaeXnnjjjjaeaeae11122cos211aaa1)1(DTFTnnjnneanua1nnjneajjaeae1时移性2015年11月2日DMU.BGX11mjjeeXmnx)()(DTFT例:
2DTFT5)5.0sin()5.2sin()(jenR)5.0sin()5.2sin()2(DTFT5nRn)()(51nRnx0123451n)2()(52nRnx1233112)(1jeX250)(1205454)(2jeX250)(2204.04.04.08.0频移性2015年11月2日DMU.BGX12)()()(DTFT00jnjeXenx例:
DTFTDTFT)()(1nSanxccn01234)(1jeX0221c)()()()1()(1DTFT11jjnneXnxenx)()1()(12nxnxnn01234DTFTDTFT)(2jeX0221c对称性2015年11月2日DMU.BGX13)()(*DTFT*jeXnx)()(DTFTjeXnx)()(ReDTFTjeeXnx)()(ImDTFTjoeXnxj)(Re)(DTFTjeeXnx)(Im)(DTFTjoeXjnx当x(n)是实序列)()(*nxnx)()(*jjeXeX当x(n)是实偶序列)()()(*nxnxnx当x(n)是实奇序列)()()(*nxnxnxDTFTDTFTDTFTDTFT)()()(*jjjeXeXeX)()()(*jjjeXeXeXDTFTDTFT频域微分性2015年11月2日DMU.BGX14例:
例:
d)(d)(DTFTjeXjnnxjnaenua11)(DTFT11)(DTFTjnaeddjnuna2)1(jjaeae卷积定理)()()()(21DTFT21jjeXeXnxnx)()(21)()(21DTFT21jjeXeXnxnxParseval定理deXnxjn22)(21)(|X(ej)|2称为序列x(n)的能量密度谱函数例:
序列如图所示,2015年11月2日DMU.BGX15)(nxn2111201234567834)()10jeX0)(nnjenx6-d)()2jeX)0(2x-2d)()3jeXnnx2)(2-2dd)(d)4jeXnnnx2)(2316284nnx)(0-d)(nnjjeeX5.2LTI离散系统的频域分析2015年11月2日DMU.BGX161.离散系统的频率响应LTI)(nhnjenjzsenhny)()(mmnjemh)()(njjeeH)(mmjnjemhe)(njjeeH)(本征信号-本征值nnjjenheH)()()1)()(HjjeeH(系统幅频响应和相频响应)DTFTDTFT)(jeHd)(21)(njjeeXnxjjeeX)(jjjeeXeH)()(信号分解信号响应d)()(21)(njjjzseeXeHny)()()(jjjzseXeHeYDTFTDTFT)()()()2jjzsjeXeYeH)()()()()()(HXYjjjjjzseeXeHeeY)()()(nxnhnyzsDTFTDTFT频率响应频率响应频率响应仅与系统本身有关频率响应仅与系统本身有关频率响应表示系统对各频率分量加权频率响应表示系统对各频率分量加权2.正弦稳态响应2015年11月2日DMU.BGX17正余弦激励信号通过LTI系统时,其输出信号的频率不变,幅度和相位由本征值控制,是系统的稳态响应njjnjjseeHeeHny0000)(21)(21)()cos(0n)(cos)(000HjneHLTInje0njjeeH00)()(jeH2/)cos()(000njnjeennxh(n)是实函数)()()()(HHjjeHeHnjjnjjjeeeeeHHH00000)()()(21)(cos)(000HjneH若)cos()(0kkknccnx)(cos)()()(00kHkkjkjsneHceHcnyk若3.数字滤波器2015年11月2日DMU.BGX18数字滤波器的最高频率为理想数字滤波器是非因果系统,不能物理实现)(jeH0C2)(jeH0C2)(jeH0L2H)(jeH0L2H理想数字滤波器的幅频特性理想低通理想高通理想带通理想带阻10p|H(ej)|s21-1通带过渡带阻带p:
通带边界频率s:
阻带边界频率1:
通带容限2:
阻带容限实际低通数字滤波器4.系统差分方程与频率响应激励为因果信号,响应的起始状态为零2015年11月2日DMU.BGX19MmmNkkmnxbknya00)()(MmjjmmNkjjkkeXebeYea00)()(DTFTDTFTNkjkkMmjmmjjjeaebeXeYeH00)()()(0101aeaeabebebjjNNjjMM频率响应与差分方程可相互转换频率响应与差分方程可相互转换例:
已知LTI因果系统2015年11月2日DMU.BGX201),()1()(anxnaynyjjjjaeeXeYeH11)()()(cos1sinarctan2)cos(211aajeaa,10a当)(jeHa11a1120)(H20低通滤波器,01a当高通滤波器)(jeHa11a1120)(H20nnx)1
(2)(当)cos(1112)(naanys),cos(2n稳态响应aeHaeHjj11)(,11)(0DTFTDTFT)()(nuanhn5.3Z变换的定义与收敛域2015年11月2日DMU.BGX211.Z变换的定义jezzRezImzj1j1jz平面或1zjezjezz双边z变换nnznxnxzX)()()(Z)()(ZTzXnx记为单边z变换0)()(nnznxzX-正变换CnzzzXzXnxd)(j21)()(11Z-反变换z变换是DTFT在z复平面的扩展(原函数)(像函数)2.Z变换的收敛域(ROC)对于任意有界序列,能使存在的z值范围称为收敛域2015年11月2日DMU.BGX22nnznx)(级数收敛充要条件:
即ROC与序列形态和z值有关例:
nnnznuazX)()(101)(nnaz111az,azzaznnznx)(banuanubnxnuanxnuanxnnnn),()1()(),1()(),()(32112)(nnnzazXzaza111,azzaz11)(nnza013)(nnnnnnzazazX,azzbzzbzajImz0-aaRezjImz0-aRezajImzRez-bb0-aa(X1)(X2)(X3)三类序列的收敛域0z零点ap极点0z零点ap极点2z,0z21ba零点ba21p,p极点Z变换的收敛域(续)z变换ROC的特性:
右边(因果)序列的收敛域为某一圆外区域(可能不含)左边(反因果)序列的收敛域为某一圆内区域(可能不含0)双边序列的收敛域为因果与反因果序列收敛域的公共(圆环)区域,或者不存在有限长序列的收敛域为有限z平面(0|z|)仅当收敛域确定时,原函数与像函数才一一对应收敛域内不能有z变换式的极点,但可以有零点(零极点的定义与标识与Laplace变换相同)2015年11月2日DMU.BGX23例:
)2()(54nRnxnnznxzX)()(4421012zzzzz21211zzzz收敛域为z平面上除原点和无穷大以外的全部区域,即0|z|3.Z变换与DTFT的关系当收敛域包含单位圆,则DTFT存在2015年11月2日DMU.BGX24jezjzXeX|)()(例:
azazzazzX,11)(11),()(anuanxnjImz0Reza1因为|a|1,因为单位圆不在收敛域中,所以DTFT不存在4.Z变换与Laplace变换的关系S域域Z域域=0|z|=10|z|10|z|1=0=0/Ts/Ts(2k)/Ts(2k+)/Ts0nnzmnnxmnnx)()(Znmnmmnznxz)()(nzmnmnxzd)()1(d)()1(zmnnmnxzzmmXzd)()1(当m=0,0,d)()(ZTnXnnxz例:
zznnud111)(2ZTzzd1111,1lnzzzz7.序列有限项累加和2015年11月2日DMU.BGX33RzXnxROC),()(ZT1ROC),
(1)(ZTzRzXzzkxnk证:
nnnknkzkxkx)()(Znnkzknx0)(0)(knnzknx0)(kkzzX111)(zzX另:
)()(nkkxny设1)()1(nkkxny则)()1()(nxnyny)()()(1ZTzXzYzzY)(11)()(1zXzkxzYnkZ8.序列时域扩展2015年11月2日DMU.BGX34RzXnxROC),()(ZT,0,)(kinikkinknxny为整数若kkRzXzYROC),()(则证:
nnzknxny)(Zmkmzmx)()(kzX例:
)(22ZTzXnx9.序列时域卷积2015年11月2日DMU.BGX35,ROC),()(11ZT1RzXnx22ZT2ROC),()(RzXnx2121ZT21ROC),()()()(RRzXzXnxnx10.序列时域相乘CZTzXXnxnxd)()(j21)()(112121例:
)()(ZT1azazznuanxnbzbzznubnxn,)()(ZT2)()()(21nxnxny)()()(21ZTzXzXzYbzzazzbzbzazazba1)()
(1)(11nubabanynn11.初值定理2015年11月2日DMU.BGX36因果序列的z变换RzXnunxROC),()()(ZTnnznxzX)()(21)2()1()0(zxzxx初值),(lim)0(zXxz由于0,0)(nnx所以例:
azazzzXnuanxn,)()()(ZTazzxzlim)0
(1)0()(lim)1(xzXzxz1limazzzzaazazzlim)1()0()(lim)2(212azxxzXzxz10)()(lim)(mnnmzznxzXzmx12.终值定理2015年11月2日DMU.BGX37序列是因果序列,且X(z)的极点在单位圆内,若在单位圆上,只允许z=1处有一阶极点,此时序列的终值存在)()1(lim)(lim)(1zXznxxzn证:
)()1()()1()()()()1(zXzznxnxnunxnunxnnz因果序列nnznxnxzXz1)()1()()1(mnmnzmxmx1)()1(lim已假设因果序列,X(z)的极点在单位圆内,若在z=1处有极点只允许为一阶,故因子(z-1)将抵消这一极点,因此(z-1)X(z)在1|z|上收敛mnmnzzzmxmxzXz111)()1(limlim)()1(lim)()1()1()2()0()1(0)0(limnxnxxxxxxn)1(limnxn)(limnxn5.5反Z变换2015年11月2日DMU.BGX38nnznxzX)()(,)()(11nnmmznxzzXCnnmCmzznxzzzXd)(d)(11nCnmzznxd)(1mnmnzzCnm0j2d1mnnxzzzXCm),(j2d)(1CnzzzXzXnxd)(j21)()(11Z在X(z)zm-1的收敛域内,环绕原点沿逆时针方向作闭合围线(C)积分根据柯西积分反z变换求法有留数法、幂级数展开法和部分分式法三种RROC1.围线积分(留数)法2015年11月2日DMU.BGX39RzzzXzXnxCnROC,d)(j21)()(11ZROC为|z|R1,X(z)zn-1的极点zi在|z|=R1的圆内,x(n)为因果序列0)(sRe00)(z1nzzXnnxiiCzzn内极点ROC为|z|R2,极点zi在|z|=R2的圆外,x(n)为反因果序列000)(sRe)(z1nnzzXnxiiCzzn外极点ROC为圆环R1|z|N)()()(2210zDzGzBzBzBBzXnmnm)()()()()(1111111211zzDzEpzApzApzAzzXkkkkizzXpzziApzkiii,2,1,)()(dd)!
1(111111NiiikkpzzAApzzApzzApzzAzX20111211111)()()(有理真分式单极点单极点例2015年11月2日DMU.BGX452)1
(1)(zzzX,1)1(z当22)1
(1)(zzzzX1)1(423221zAzAzAzA,1)1
(1)(02021zzzzzXzA2)1(1dd022zzzA,11)()1(12123zzzzzXzA21dd124zzzA2)1(1212)(zzzzzzX)()
(2)1()
(2)(ZTnnununnnx,10)2(z当2)1(1212)(zzzzzzX)1()1
(2)1()
(2)(nnununnnx)2()2(nun5.6LTI离散系统的复频域分析2015年11月2日DMU.BGX461.系统函数LTI)(nhnznzsznhny)()(mmnzmh)(nzzH)(mmnzmhz)(nzzH)(本征信号-本征值nnznhzH)()()1ZTZT)(zHCnzzzXnxd)(j21)(1nzzX)(nzzXzH)()(信号分解信号响应CnzszzzXzHnyd)()(j21)
(1)()()(zXzHzYzsZTZT)()()()2zXzYzHzs)()()(nxnhnyzsZTZT系统函数系统函数2.系统函数与系统差分方程2015年11月2日DMU.BGX47MrrNkkrnxbknya00)()(ZTZTMrrrNkzskkzXzbzYza00)()(NkkkMrrrzszazbzXzYzH00)()()(所有起始状态为零所有起始状态为零H(z)分子多项式由系数分子多项式由系数br确定确定H(z)分母多项式由系数分母多项式由系数ak确定确定H(z)的极点即是方程的特征根的极点即是方程的特征根系统函数与系统微分方程可相互转换系统函数与系统微分方程可相互转换例:
因果系统差分方程为)1()()2(1.0)1(7.0)(nxnxnynyny)1)()1.07.01)(121zzXzzzYzs系统函数,1.07.011)()()(211zzzzXzYzHzs因果系统的冲激响应)()(1zHnhz)()5.0(35)2.0(38nunn5.03/52.03/8)5.0)(2.0
(1)(zzzzzzzH3.系统差分方程全响应的z域解激励为因果信号,响应的起始状态不为零,即全响应非因果2015年11月2日DMU.BGX48MrrNkkrnxbknya00)()(MrrrNkknnkkzXzbznyzYza001)()()(ZTZT域零输入响应域零状态响应z010z00)()()(NkkkknnNkkkNkkkMrrrzaznyzazXzazbzY)()(sYsYzizsZ变换将差分方程变为代数方程,求反z变换,即得到输出序列2015年11月2日DMU.BGX49例:
),1()()2(1.0)1(7.0)(nxnxnynyny,7)2(,2)1(yy)()(nunx由前例知,1.07.01.07.011)(22211zzzzzzzzH,1)(zzzX1.07.011.07.0)()()(2222zzzzzzzzzzXzHzYzs2.03/25.03/5)5.0)(2.0()(zzzzzzzYzsZTZT)()2.0(32)5.0(35)(nunynnzsz域零状态z域零输入0)1()2()(1.0)1()(7.0)(221zyzyzYzzyzYzzYzizizi1.07.0)2.07.0(1.07.01)2(1.0)1()1.07.0()(2211zzzzzzyyzzYzi2.05/15.02/1)5.0)(2.0(2.07.0)(zzzzzzzYzi)()2.0(51)5.0(21)(nunynnziZTZT强迫响应自由响应0)()2.0(157)5.0(613)()()(nunynynynnzizsz变换解方程可以一次求出全解,但分别求零输入和零状态响应更简洁些全响应4.互联系统的系统函数级联2015年11月2日DMU.BGX50)(1nh)(nx)(ny)(2nh)(1nh)(nx)(ny)(2nh)()()(21nhnhnh)()()(21zHzHzH)(1zH)(2zH)(1zH)(2zH并联)()()(21nhnhnh)()()(21zHzHzH)(1zH)(2zH反馈)(1nh)(nx)(ny)(2nh)()()()()(12zHzYzHzXzY)()()()()(1121zXzHzYzHzH)()
(1)()(211zHzHzHzH-前向通路增益前向通路增益-闭环增益闭环增益-反馈支路增益反馈支路增益5.系统函数与系统模拟框图2015年11月2日DMU.BGX51三种基本运算方框图的z域表示D)(nx)1(nx1z)(zX)(1zXz单位延迟器单位延迟器(零状态)(零状态))(1nx)(2nx)()(21nxnx加法器加法器)(1zX)(2zX)()(21zXzXa)(nx)(nax数乘器数乘器)(zX)(zaX直接型系统模拟框图的系统函数2015年11月2日DMU.BGX52MrrNkkrnxbknya00)()(NkkkMrrrzazbzH101)(10归一化为a系统函数分子多项系统函数分子多项式对应前向通路式对应前向通路分母多项式对应反分母多项式对应反馈环路馈环路1z1z1z1a2aNa)(zX)(zYMb1b0b如右图框图:
)(zQ1z3.002.05.0)(zX)(zY1z)(02.0)(3.0)()(21zQzzQzzXzQ2102.03.01)()(zzzXzQ)(5.0)()(1zQzzQzY)(02.03.015.01211zXzzz02.03.05.002.03.015.01)()()(22211zzzzzzzzXzYzH)1(5.0)()2(02.0)1(3.0)(nxnxnynyny系统方程、系统函数与模系统方程、系统函数与模拟框图之间可以相互转换拟框图之间可以相互转换级联型与并联型系统模拟框图的系统函数系统函数分解为一阶或二阶分式相乘或相加2015年11月2日DMU.BGX53NkkkMrrrzazbzH101)(NkkMrrzpzz1111)1()1(NkskzH1)(NkpkzH1)(,)1(or)1()1()(111zpAzpzzzHkkkksk其中)1()(1zpBzHkkpk级联型)(1zHs)(2zHs)(zHsN)(zX)(zY并联型)(1zHp)(2sHp)(sHpN)(zX)(sYMrrNkkrnxbknya00)()(常常系数差分方程,其系数差分方程,其系统函数的系统函数的零极点若零极点若为复数则必成共轭对,为复数则必成共轭对,此时两个一阶系
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