考研数学历年真题 数学 可直接打印纯试题Word格式文档下载.docx
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f(tx)dx,其中t0,s0,则I的值
(A)依赖于s和t(B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t
(3)设常数k0,则级数
(1)n
knn
2
n1(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛
(D)散敛性与k的取值有关
(4)设A为n阶方阵,且A的行列式|A|a0,而A*是A的伴随矩阵,则|A*
|等于(A)a
(B)
1a
(C)an1
(D)an
六、(本题满分10分)
求幂级数
1n1
n
x的收敛域,并求其和函数.n1n2
七、(本题满分10分)求曲面积分
Ix(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy,
其中是由曲线f(x)
z1y3x0
绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于
.
八、(本题满分10分)
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f(x)1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)x.
九、(本题满分8分)问a,b为何值时,现线性方程组
x1x2x3x40
x22x32x41
x2(a3)x32x4b
3x12x2x3ax41
有唯一解,无解,有无穷多解?
并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;
而事件A至多发生一次的概率为____________.
(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.
(3)已知连续随机变量X
的概率密度函数为f(x)
为____________.
十一、(本题满分6分)
设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为x22x1,则X的数学期望为____________,X的方差
fX(
求Z2XY的概率密度函数.
10x10其它,fY(yey0y0y0,
1988年全国硕士研究生入学统一考试
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求幂级数
(x3)nn1n3
的收敛域.
(2)设f(x)ex2
f[(x)]1x且(x)0,求(x)及其定义域.(3)设为曲面x2
y2
z2
1的外侧,计算曲面积分I
x3dydzy3dzdxz3dxdy.
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
(1)若f(t)limt(11
2tx
x
)
则f(t)=_____________.
(2)设f(x)连续且
x31
f(t)dtx,则f(7)=_____________.
(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]上定义为f(x)
x2
1x0
0x1
则的傅里叶(Fourier)级数在x1处收敛于_____________.
(4)设4阶矩阵A[α,γ2,γ3,γ4],B[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式
A4,B1,则行列式AB=_____________.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小
(D)比x高阶的无穷小
(2)设yf(x)是方程y2y4y0的一个解且f(x0)0,f(x0)0,则函数f(x)在点x0处(A)取得极大值
(B)取得极小值(C)某邻域(D)收敛性不能确定
(5)n维向量组α1,α2,,αs(3sn)线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使k1α1k2α2ksαs0(B)α1,α2,,αs中任意两个向量均线性无关
(C)α1,α2,,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)α1,α2,,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
四、(本题满分6分)
设uyf(x)xg(y
),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x
2u2yx
x
y
uxy
五、(本题满分8分)
设函数yy(x)满足微分方程y3y2y2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线yx2
x1在该点处的切线重合,求函数yy(x).
六、(本题满分9分)
设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为kr2
(k0为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿
直线y
B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.
七、(本题满分6分)
1001
已知APBP,其中B
000
5,P
210,求A,A.
0
1211
八、(本题满分8分)
2002
00
已知矩阵A
001与B
0y0
相似.0
x0
1
(1)求x与y.
(2)求一个满足P1
APB的可逆阵P.
九、(本题满分9分)
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f(x)0,证明:
在(a,b)内存在唯一的,使曲线yf(x)与两直线yf(),xa所围平面图形面积S1是曲线yf(x)与两直线yf(),xb所围平面图形面积S2的3倍.
(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于
中出现的概率是____________.
(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于1927,则事件A在一次试验6
5”的概率为____________.
(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知
(x)xu22du,(2.5)0.9938,
则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.
设随机变量X的概率密度函数为fX(x)1(1
x)2,求随机变量Y1fY(y).
1989年全国硕士研究生入学统一考试
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)已知f(3)2,则lim
f(3h)f(3)
h0
2h
=_____________.
(2)设f(x)是连续函数,且f(x)x2
f(t)dt,则f(x)=_____________.
(3)设平面曲线L
为下半圆周y则曲线积分(x2y2
)ds=_____________.
(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.
3001
(5)设矩阵A
140,I
010,则矩阵(A2I)1=_____________.0
30
1
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号(B)(1,1,2)(C)(1,1,2)
(D)(1,1,2)
(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)c1y1c2y2y3
(B)c1y1c2y2(c1c2)y3
(C)c1y1c2y2(1c1c2)y3
(D)c1y1c2y2(1c1c2)y3
(4)设函数f(x)x2
0x1,而S(x)bnsinnx,x,其中
n1
b21
0f(x)sinnxdx,n1,2,3,,则S(1
n2)等于
(A)12(B)14
(C)14(D)12
(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A0,则A中
(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)2
(1)设zf(2xy)g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,求
zxy
(2)设曲线积分c
xy2
dxy(x)dy与路径无关,其中(x)具有连续的导数,且(0)0,计算
(1,1)(0,0)
xy2dxy(x)dy的值.
(3)计算三重积分
(xz)dv,其中
是由曲面z
z所围成的区域.
四、(本题满分6分)将函数f(x)arctan1x1x
展为x的幂级数.
五、(本题满分7分)设f(x)sinx
(xt)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
六、(本题满分7分)
证明方程lnx
xe
在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.
问为何值时,线性方程组
x1x3
4x1x22x326x1x24x323
有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分)
假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明
(1)
1
为A的特征值.
(2)
A
为A的伴随矩阵A*
的特征值.
设半径为R的球面的球心在定球面x2
a2
(a0)上,问当R为何值时,球面
在定球面内部的那
部分的面积最大?
(1)已知随机事件A的概率P(A)0.5,随机事件B的概率P(B)0.6及条件概率P(B|A)0.8,则和事件AB的概率P(AB)=____________.
(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.
(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程xx10有实根的概率是____________.
设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)
而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z2XY3的概率密度函数.2
1990年全国硕士研究生入学统一考试
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)xt2
(1)过点M(1,21)且与直线y3t4垂直的平面方程是_____________.
zt1
(2)设a为非零常数,则xlim(xa
xa
)x=_____________.
(3)设函数f(x)1x10
则f[f(x)]=_____________.
(4)积分
2
的值等于_____________.
dxx
e
dy(5)已知向量组α1(1,2,3,4),α2(2,3,4,5),α3(3,4,5,6),α4(4,5,6,7),
则该向量组的秩是_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号(C)发散
(D)收敛性与a的取值有关
(4)已知f(x)在x0的某个邻域(B)可导,且f(0)0(C)取得极大值
(D)取得极小值
(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是
(A)k1α1k2(α1αβ1β22)2
(B)k1α1k2(α1α2)β1β22(C)k1β2
1α1k2(ββ1β2)
(D)kβ2
1α1k2(β1ββ12)
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
(1)求
ln(1x)0
(2x)2
y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求
(2)设zf(2xzxy
(3)求微分方程y4y4ye2x
的通解(一般解).
求幂级数(2n1)xn的收敛域,并求其和函数.
n0
五、(本题满分8分)求曲面积分
Iyzdzdx2dxdy
S
其中S是球面x2
4外侧在z0的部分.
设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)f(b).证明在(a,b)内至少存在一点,使得f()0.
七、(本题满分6分)设四阶矩阵
110
02
134B
0110
02130011
C210
01
000
2
且矩阵A满足关系式
A(EC1B)CE
1其中E为四阶单位矩阵,C表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.
22求一个正交变换化二次型fx124x24x34x1x24x1x38x2x3成标准型.
九、(本题满分8分)
质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受
变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点O之间的距离,其方向垂直于线段
OP且与y轴正向的夹角小于.求变力F对质点P所作的功
.2
(1)已知随机变量X的概率密度函数
f(x)
则X的概率分布函数F(x)=____________.12ex,x
(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=____________.
(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即P{Xk}
变量Z3X2的数学期望E(Z)=____________.
设二维随机变量(X,Y)在区域D:
0x1,yx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z2X1的方差D(Z).2ke2k!
k0,1,2,,则随机
1991年全国硕士研究生入学统一考试
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设
x1t22yycost
则
ddx
=_____________.
(2)由方程xyzzz(x,y)在点(1,0,1)处的全微分dz=_____________.
(3)已知两条直线的方程是lx131z1:
y20
z1
;
l2:
x22
y1
.则过l1且平行于l2的平面方程是
_____________.
1(4)已知当x0时,(1ax2)3
1与cosx1是等价无穷小,则常数a=_____________.
5200(5)设4阶方阵A
100
0012,则A的逆阵A1=_____________.0
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号(B)仅有水平渐近线
(C)仅有铅直渐近线
(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线
(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)2
f(t
)dtln2,则f(x)等于(A)exln2(B)e2xln2(C)exln2
(D)e2xln2
(3)已知级数
(1)
an2,a2n15,则级数an等于
(A)3(B)7
(C)8(D)9
(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则
(xycosxsiny)dxdy等于
D
(A)2cosxsinydxdy
(B)2Dxydxdy
D1
(C)4(xycosxsiny)dxdy
(D)0
(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE,其中E是n阶单位阵,则必有(A)ACBE(B)CBAE
(C)BACE(D)BCAE
(1)求xlim0
2.
(2)设n是曲面2x23y2z2
6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数u
z
在点P处沿方
n
的方向导数.
(3)
(x
2z)dv,其中是由曲线
y2z绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z4所围城的立体.
x0
过点O(0,0)和A(,0)的曲线族yasinx(a0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分
(1y3)dx(2xy)dy的值最小.
将函数f(x)2x(1x1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数
1的和.
设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)八、(本题满分6分)
设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于1.
向
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)若随机变量X服从均值为2、方差为2的正态分布,且P{2X4}0.3,则P{X0}=____________.
随机地向半圆0ya为正常数)其它
1992年全国硕士研究生入学统一考试
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设函数yy(x)由方程e
xy
cos(xy)0确定,则
dydx
(2)函数uln(x2
z2)在点M(1,2,2)处的梯度graduM
(3)设f(x)
x2
x0
0x
则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛于_____________.
(4)微分方程yytanxcosx的通解为y=_____________.
aa
1b11b2a1bn(5)设A
a2b1
a2b1a2b
n
其中ai0,bi
0,(i1,2,,n).则矩阵A的秩r(A)=_____________.
anb1
anb2
ab
nn
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号(B)等于0
(C)为
(D)不存在但不为
(2)级数
(1)n(1cosa
)(常数a0)
(A)发散
(B)条件收敛
(C)绝对收敛
(D)收敛性与a有关
(3)在曲线xt,yt2
zt3
的所有切线中,与平面x2yz4平行的切线(A)只有1条
(B)只有2条(C)至少有3条
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