数学公式大全总结.docx
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数学公式大全总结.docx
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数学公式大全总结
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)
2、射影定理(欧几里得定理)
3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:
1的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足不L,则AH=2OL
9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,
11、欧拉定理:
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上
12、库立奇*大上定理:
(圆内接四边形的九点圆)
圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式:
$r=sqrt{[(s-a)(s-b)(s-c)]/s}$s为三角形周长的一半
14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理:
(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P,则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$
16、斯图尔特定理:
P将三角形ABC的边BC内分成m:
n,则有$nxxAB^2+mxxAC^2=(m+n)AP^2+(mn)/(m+n)BC^2$
17、波罗摩及多定理:
圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD
18、阿波罗尼斯定理:
到两定点A、B的距离之比为定比m:
n(值不为1)的点P,位于将线段AB分成m:
n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上
19、托勒密定理:
设四边形ABCD内接于圆,则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$,推广对于一般的四边形ABCD,则有$ABxxCD+ADxxBC>=ACxxBD$
20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,则△DEF是正三角形,
21、爱尔可斯定理1:
若△ABC和三角形△都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
22、爱尔可斯定理2:
若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形,则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。
23、梅涅劳斯定理:
设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有
$(BP)/(PC)xx(CQ)/(QA)xx(AR)/(RB)=1$
24、梅涅劳斯定理的逆定理:
(略)
25、梅涅劳斯定理的应用定理1:
设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R,、∠B的平分线交边CA于Q,则P、Q、R三点共线。
26、梅涅劳斯定理的应用定理2:
过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线
27、塞瓦定理:
设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线,分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R,则$(BP)/(PC)xx(CQ)/(QA)xx(AR)/RB()=1$.
28、塞瓦定理的应用定理:
设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中心M
29、塞瓦定理的逆定理:
(略)
30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1:
三角形的三条中线交于一点
31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2:
设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点。
32、西摩松定理:
从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线,(这条直线叫西摩松线)
33、西摩松定理的逆定理:
(略)
34、史坦纳定理:
设△ABC的垂心为H,其外接圆的任意点P,这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。
35、史坦纳定理的应用定理:
△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。
这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。
36、波朗杰、腾下定理:
设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R,则P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点的充要条件是:
弧AP+弧BQ+弧CR$=_$0(mod2Π).
37、波朗杰、腾下定理推论1:
设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点,若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点,则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点
38、波朗杰、腾下定理推论2:
在推论1中,三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。
39、波朗杰、腾下定理推论3:
考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线,如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦,则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点
40、波朗杰、腾下定理推论4:
从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线,设垂足分别是D、E、F,且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N,则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上,这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。
41、关于西摩松线的定理1:
△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直,其交点在九点圆上。
42、关于西摩松线的定理2(安宁定理):
在一个圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线交于一点。
43、卡诺定理:
通过△ABC的外接圆的一点P,引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF,与三边的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线。
44、奥倍尔定理:
通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线,设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N,在△ABC的外接圆取一点P,则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线
45、清宫定理:
设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点,P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时,QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线
46、他拿定理:
设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点,点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时,如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F,则D、E、F三点共线。
(反点:
P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点,如果$OC^2=OQxxOP$则称P、Q两点关于圆O互为反点)
47、朗古来定理:
在同一圆同上有$A_1B_1C_1D_1$4点,以其中任三点作三角形,在圆周取一点P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线,再从P向这4条西摩松线引垂线,则四个垂足在同一条直线上。
48、从三角形各边的中点,向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线,这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心。
49、一个圆周上有n个点,从其中任意n-1个点的重心,向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。
50、康托尔定理1:
一个圆周上有n个点,从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。
51、康托尔定理2:
一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点,则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。
这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。
52、康托尔定理3:
一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点,则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。
这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。
53、康托尔定理4:
一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点,则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。
这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。
54、费尔巴赫定理:
三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。
55、莫利定理:
将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形。
这个三角形常被称作莫利正三角形。
56、牛顿定理1:
四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三点共线。
这条直线叫做这个四边形的牛顿线。
57、牛顿定理2:
圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线。
58、笛沙格定理1:
平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。
59、笛沙格定理2:
相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF,设它们的对应顶点(A和D、B和E、C和F)的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线。
60、布利安松定理:
连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F,则这三线共点。
60、巴斯加定理:
圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延长线的)交点共线
?
这个是几何的,那个什么欧拉线有点难,我也在找,你要是找到了犬的麻烦发到6900300@啊,谢谢了,
貌似数学联赛专攻一个类型的题就行了,几何太恐怖了。
5
其他回答
(1)
数学☆王国?
初级团?
合作回答者:
1人?
2011-04-23
全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试
全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:
1.平面几何
几个重要定理:
梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点:
旁心、费马点,欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换:
对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。
2.代数
周期函数,带绝对值的函数。
三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。
递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代,简单的函数方程*
3.?
初等数论
同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。
4.组合问题
圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。
组合计数,组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注:
有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。
追问:
具体公式,拜托了能有例题更好了。
发到邮箱里
回答:
二、填空题
6.已知a=?
-1,则2a3+7a2-2a-12?
的值等于?
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.
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解:
0
?
由已知得(a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是
2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.
7.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t=?
?
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.
解:
15
设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得
,?
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①
,?
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②?
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③
由①②,得,所以,x=30.?
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故(分).
(第8题8.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是?
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(第8题)?
解:
如图,延长BC交x轴于点F;连接OB,AFCE,DF,且相交于点N.
由已知得点M(2,3)是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,
过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.
于是,直线即为所求的直线.
设直线的函数表达式为,则
解得,故所求直线的函数表达式为.
(第9题)9.如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D.若CD=CF,则?
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.?
?
解:
见题图,设.
因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以.
又因为FC=DC=AB,所以即?
?
?
?
,
解得,或(舍去).
又Rt△∽Rt△,所以,?
即=.
10.对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i-1.若?
的最小值?
满足?
,则正整数的最小值为?
?
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.
解:
?
?
?
?
?
?
因为为的倍数,所以的最小值满足
,
其中表示的最小公倍数.
由于
,
因此满足的正整数的最小值为.
?
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11.如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF.?
求证:
(第12A题).
(第12B题)?
?
?
?
?
?
?
?
(第11题)?
?
?
?
(第12B题)证明:
如图,连接ED,FD.因为BE和CF都是直径,所以
ED⊥BC,?
?
FD⊥BC,
因此D,E,F三点共线.?
?
…………(5分)
连接AE,AF,则
(第11题),
所以,△ABC∽△AEF.?
?
?
…………(10分)
作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得
,
从而?
?
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,?
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所以?
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.?
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?
…………(20分)
?
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?
12.如图,抛物线?
(a?
0)与双曲线?
相交于点A,B.?
已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标原点).
(1)求实数a,b,k的值;
(2)过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
(第12题)解:
(1)因为点A(1,4)在双曲线上,
所以k=4.故双曲线的函数表达式为.
设点B(t,),,AB所在直线的函数表达式为,则有
?
?
?
解得,.
于是,直线AB与y轴的交点坐标为,故
,整理得,
解得,或t=(舍去).所以点B的坐标为(,).
因为点A,B都在抛物线(a0)上,所以?
解得?
?
…………(10分)
(2)如图,因为AC∥x轴,所以C(,4),于是CO=4.又BO=2,所以.
(第12题)设抛物线(a0)与x轴负半轴相交于点D,则点D的坐标为(,0).
因为∠COD=∠BOD=,所以∠COB=.
(i)将△绕点O顺时针旋转,得到△.这时,点(,2)是CO的中点,点的坐标为(4,).
延长到点,使得=,这时点(8,)是符合条件的点.
(ii)作△关于x轴的对称图形△,得到点(1,);延长到点,使得=,这时点E2(2,)是符合条件的点.
所以,点的坐标是(8,),或(2,).?
?
?
?
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?
?
?
…………(20分)
?
?
?
13.求满足?
的所有素数p和正整数m.
?
?
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?
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?
?
.解:
由题设得,
所以,由于p是素数,故,或.?
……(5分)
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?
?
(1)若,令,k是正整数,于是,
,
故,从而.
所以解得?
?
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…………(10分)
(2)若,令,k是正整数.
当时,有,
,
故,从而,或2.
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?
由于是奇数,所以,从而.
?
?
?
于是
这不可能.
当时,,;当,,无正整数解;当时,,无正整数解.
综上所述,所求素数p=5,正整数m=9.?
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…………(20分)
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14.从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
?
解:
首先,如下61个数:
11,,,…,(即1991)满足题设条件.?
?
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…………(5分)
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另一方面,设是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数,因为
,?
?
,
所以?
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.
因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数.?
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…………(10分)
设,i=1,2,3,…,n.
由,得,
所以,,即≥11.?
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…………(15分)
≤,
故≤60.所以,n≤61.
综上所述,n的最大值为61.?
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…………(20分)
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希望对你有帮助
1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)
2、射影定理(欧几里得定理)
3、三角形的三条中线交于一点,并且,各中线被这个点分成2:
1的两部分
4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点
5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点
8、设三角形ABC的外心为O,垂心为H,从O向BC边引垂线,设垂足不L,则AH=2OL
9、三角形的外心,垂心,重心在同一条直线上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中,三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足,以及垂心与各顶点连线的中点,这九个点在同一个圆上,
11、欧拉定理:
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上
12、库立奇*大上定理:
(圆内接四边形的九点圆)
圆周上有四点,过其中任三点作三角形,这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上,我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点,内切圆的半径公式:
$r=sqrt{[(s-a)(s-b)(s-c)]/s}$s为三角形周长的一半
14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点
15、中线定理:
(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P,则有$AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)$
16、斯图尔特定理:
P将三角形ABC的边BC内分成m:
n,则有$nxxAB^2+mxxAC^2=(m+n)AP^2+(mn)/(m+n)BC^2$
17、波罗摩及多定理:
圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时,连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD
18、阿波罗尼斯定理:
到两定点A、B的距离之比为定比m:
n(值不为1)的点P,位于将线段AB分成m:
n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上
19、托勒密定理:
设四边形ABCD内接于圆,则有$ABxxCD+ADxxBC=ACxxBD$,推广对于一般的四边形ABCD,则有$ABxxCD+ADxxBC>=ACxxBD$
20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边,分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB,则△DEF是正三角形,
21、爱尔可斯定理1:
若△ABC和三角形△都是正三角形,则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。
22、爱尔可斯定理2:
若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形,则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。
23、梅涅劳斯定理:
设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有
$(BP)/(PC)xx(CQ)/(QA)xx(AR)/(RB)=1$
24、梅涅劳斯定理的逆定理:
(略)
25、梅涅劳斯定理的应用定理1:
设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R,、∠B的平分线交边CA于Q,则P、Q、R三点共线。
26、梅涅劳斯定理的应用定理2:
过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线,分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线
27、塞瓦定理:
设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线,分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R,则$(BP)/(PC)xx(CQ)/(QA)xx(AR)/RB()=1$.
28、塞瓦定理的应用定理:
设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中心M
29、塞瓦定理的逆定理:
(略)
30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1:
三角形的三条中线交于一点
31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2:
设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点。
32、西摩松定理:
从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线,(这条直线叫西摩松线)
33、西摩松定理的逆定理:
(略)
34、史坦纳定理:
设△ABC的垂心为H,其外接圆的任意点P,这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。
35、史坦纳定理的应用定理:
△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条(与西摩松线平行的)直线上。
这条直线被叫做点P关
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