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1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.
2.解决集合的运算时,一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算;
当集合是用不等式形式表示时,可运用数轴求解.
3.判断命题真假的方法
(1)等价转化法:
当一个命题的真假不好判断时,可转化为判断它的逆否命题的真假.
(2)特值法:
当判定一个全称命题为假或一个特称(存在性)命题为真时,可代入特值进行验证.
注意:
判断有关不等式的充分条件和必要条件问题时,记住“小范围”⇒“大范围”.
[练经典考题]
一、选择题
1.设全集为R,集合A={x∈R|x2<
4},B={x|-1<
x≤4},则A∩(∁RB)=( )
A.(-1,2)B.(-2,-1)
C.(-2,-1]D.(-2,2)
解析:
选C 由x2<
4,得-2<
x<
2,所以A={x|-2<
2}.∁RB={x|x≤-1或x>4},所以A∩(∁RB)={x|-2<
x≤-1}.
2.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={2,3},集合B={1,3},则(∁UA)∩(∁UB)的子集有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
选D ∁UA={1,4,5},∁UB={2,4,5},则(∁UA)∩(∁UB)={4,5},所以其子集有4个.
3.已知集合A={x|log2x<
1},B={x|0<
c},若A∪B=B,则c的取值范围是( )
A.(0,1]B.[1,+∞)
C.(0,2]D.[2,+∞)
选D A={x|log2x<
1}={x|0<
2}.因为A∪B=B,所以A⊆B,所以c≥2.
4.已知命题p:
a,b,c成等比数列,命题q:
b=,那么命题p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
选D a,b,c成等比数列,则有b2=ac,b=±
,所以p不是q的充分条件.当a=b=c=0时,有b=成立,但此时a,b,c不成等比数列,所以p不是q的必要条件.所以p是q的既不充分也不必要条件.
5.命题“存在x0∈R,x+x0+1≤0”的否定是( )
A.不存在x0∈R,x+x0+1≤0
B.存在x0∈R,x+x0+1>
C.对任意的x∈R,x3+x+1>
D.对任意的x∈R,x3+x+1≤0
选C “存在x0∈R,x+x0+1≤0”的否定是“对任意的x∈R,x3+x+1>
0”.
6.设集合A={x|x=,k∈N},B={x|x≤5,x∈Q},则A∩B=( )
A.{1,2,5}B.{1,2,4,5}
C.{1,4,5}D.{1,2,4}
选B 当k=0时,x=1;
当k=1时,x=2;
当k=5时,x=4;
当k=8时,x=5.所以A∩B={1,2,4,5}.
7.已知集合M=
,N={y|y=3x2+1,x∈R},则M∩N=( )
A.∅B.{x|x≥1}
C.{x|x>
1}D.{x|x≥1或x<
0}
选C 由≥0得∴x>
1或x≤0,∴M={x|x>
1或x≤0},又∵N={y|y≥1},∴M∩N={x|x>
1}.
8.命题“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题是( )
A.若a,b都是偶数,则a+b不是偶数
B.若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数
C.若a,b都不是偶数,则a+b不是偶数
D.若a,b不都是偶数,则a+b是偶数
选B 因为“都是”的否定是“不都是”,所以“若a,b都是偶数,则a+b是偶数”的否命题是“若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数”.
9.已知命题p:
函数y=e|x-1|的图象关于直线x=1对称,命题q:
函数y=cos的图象关于点对称,则下列命题中的真命题为( )
A.p∧qB.p∧(綈q)
C.(綈p)∧qD.(綈p)∨(綈q)
选A 易知函数y=e|x-1|的图象关于直线x=1对称是真命题;
将x=代入y=cos中,得y=0,故函数y=cos的图象关于点对称是真命题.p和q都为真,所以p∧q为真命题.
10.已知命题p:
当a>
1时,函数y=log(x2+2x+a)的定义域为R;
命题q:
“a=3”是“直线ax+2y=0与直线2x-3y=3垂直”的充要条件,则以下结论正确的是( )
A.p或q为真命题
B.p且q为假命题
C.p且綈q为真命题
D.綈p或q为假命题
选A 当a>
1时,一元二次方程x2+2x+a=0的判别式Δ=4-4a<
0,则x2+2x+a>
0对任意x∈R恒成立,故函数y=log(x2+2x+a)的定义域为R.故命题p是真命题;
直线ax+2y=0与直线2x-3y=3垂直等价于a×
2+2×
(-3)=0,解得a=3,故“a=3”是“直线ax+2y=0与直线2x-3y=3垂直”的充要条件,故命题q是真命题.所以p或q为真命题,p且q为真命题,p且綈q为假命题,綈p或q为真命题.
11.设集合A={x|x2+2x-3>
0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>
0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.(1,+∞)
选B A={x|x2+2x-3>
0}={x|x>
1或x<
-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的图象的对称轴为x=a>
0,f(0)=-1<
0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f
(2)≤0且f(3)>
0,即所以即≤a<.
12.下列命题中正确的是( )
A.命题“∀x∈R,x2-x≤0”的否定是“∃x0∈R,x-x0≥0”
B.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0”
C.∃m∈R,使f(x)=(m-1)·
xm2-4m+3是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减
D.命题“若cosx=cosy,则x=y”的逆否命题为真命题
选C A中命题的否定是“∃x0∈R,x-x0>
0”,所以A错误;
B中“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0”,所以B错误;
C中m=2时成立;
D中“若cosx=cosy,则x=y+2kπ或x=-y+2kπ,k∈Z”,所以D错误.
二、填空题
13.已知集合A={x|y=},B={y|y=3x+1},则A∩B=________.
A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(1,+∞),所以A∩B=[3,+∞).
答案:
[3,+∞)
14.已知命题p:
∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:
∃x0∈R,x+2ax0+2-a=0,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是________.
由x2-a≥0,得a≤x2,x∈[1,2],所以a≤1.要使q成立,则有Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2.因为命题“p且q”是真命题,则p,q同时为真,即即a≤-2或a=1.
(-∞,-2]∪{1}
15.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合构成“全食”,当两个集合有公共元素,但互不为对方子集时称这两个集合构成“偏食”.对于集合A=,B={x|ax2=1,a≥0},若A与B构成“全食”或构成“偏食”,则a的取值集合为________.
因为B={x|ax2=1,a≥0},所以若a=0,则B为空集,满足B⊆A,此时A与B构成“全食”.若a>
0,则B={x|ax2=1,a≥0}=,由题意知=1或=,解得a=1或a=4.此时A与B构成“偏食”.故a的取值集合为{0,1,4}.
{0,1,4}
16.若f(x)是R上的增函数,且f(-1)=-4,f
(2)=2,设P={x|f(x+t)+1<
3},Q={x|f(x)<
-4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数t的取值范围是________.
P={x|f(x+t)+1<
3}={x|f(x+t)<
2}={x|f(x+t)<
f
(2)},Q={x|f(x)<
-4}={x|f(x)<
f(-1)},因为函数f(x)是R上的增函数,所以P={x|x+t<
2}={x|x<
2-t},Q={x|x<
-1},要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则有2-t<
-1,即t>
3.
(3,+∞)
函数的图象、性质及应用
1.指数与对数式的运算公式
am·
an=am+n;
(am)n=amn;
loga(MN)=logaM+logaN;
loga=logaM-logaN;
logaMn=nlogaM;
alogaN=N;
logaN=(a>
0且a≠1,b>
0且b≠1,M>
0,N>
0).
2.函数的零点与方程根的关系
3.零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·
f(b)<
0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
1.函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f(x),g(x)同为增(减)函数时,函数f(x)+g(x)为增(减)函数.
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称,f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.
(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数;
奇函数的和、差是奇函数,积、商是偶函数;
奇函数与偶函数的积、商是奇函数.
2.函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.
(2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.
(3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a≠0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.
3.函数图象的对称性
(1)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称.
(2)若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.
(3)若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.
4.利用指数函数与对数函数的性质比较大小
(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较;
底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.
(2)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,可以引入中间量或结合图象进行比较.
1.已知函数f(x)=则f[f
(2)]=( )
A.B.C.2D.4
选A 因为f
(2)=-,所以f[f
(2)]=f(-)=4=.
2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=B.y=cosx
C.y=3xD.y=ln|x|
选D 利用排除法求解.函数y=,y=3x都是非奇非偶函数,排除A和C;
函数y=cosx,x∈(0,+∞)不单调,排除B;
函数y=ln|x|是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,故选D.
3.设a,b∈R,若函数f(x)=(x∈R)是奇函数,则a+b=( )
A.-1B.0C.1D.2
选B 因为函数f(x)=(x∈R)是奇函数,所以f(0)==0,得a=-1,又因为f
(1)+f(-1)=0,所以+=0,解得b=1,经检验,符合题意.故a+b=0.
4.已知定义域为R的函数f(x)的图象关于原点对称.当x>
0时,f(x)=lnx,则f(-e)=( )
A.-eB.e
C.1D.-1
选D 由于函数f(x)的图象关于原点对称,故f(x)为奇函数,故f(-e)=-f(e)=
-lne=-1.
5.已知函数f(x)=4-x2,y=g(x)是定义在R上的奇函数,当x>
0时,g(x)=log2x,则函数f(x)·
g(x)的大致图象为( )
选D 因为函数f(x)=4-x2为偶函数,y=g(x)是定义在R上的奇函数,所以函数f(x)·
g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,所以排除A,B.当x>
2时,g(x)=log2x>
0,f(x)=4-x2<
0,所以此时f(x)·
g(x)<
0,排除C.
6.已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间是( )
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
选B 因为f′(x)=,所以g(x)=f(x)-f′(x)=lnx-.因为g
(1)=ln1-1=-1<
0,g
(2)=ln2->
0,所以函数g(x)的零点所在的区间为(1,2).
7.函数f(x)=(x+1)lnx-1的零点有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
8.若当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<
|f(x)|≤1,则函数y=loga的图象大致为( )
选B 因为当x∈R时,函数f(x)=a|x|始终满足0<
f|x|≤1,所以0<
a<
1,则当x>
0时,函数y=loga=-logax,显然此时函数单调递增.
9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意x∈R都有f(x+4)=f(x)+f
(2),则f(2014)=( )
A.0B.3C.4D.6
选A 依题意得f(-2+4)=f(-2)+f
(2)=f
(2),即2f
(2)=f
(2),f
(2)=0,f(x+4)=f(x),故f(x)是以4为周期的周期函数,2014=4×
503+2,因此f(2014)=f
(2)=0.
10.奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),当x∈(0,1)时,f(x)=3x+,则f(log354)=( )
A.-2B.-C.D.2
选A ∵f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是以4为周期的周期函数.又∵f(log354)=f=f=f=-f,易知0<
log3<
1,∴f=3log3+=+=2,∴f(log354)=-2.
11.设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及y2=log2x+2的图象交于B,C两点,点A(m,n)位于函数y2的图象上.若△ABC为正三角形,则m·
2n=( )
A.8B.12
C.12D.15
选B 由题意可得BC=2,则正三角形的边长为2,设直线BC:
x=t,则t=m+,log2t=log2m+1,t=2m,则t=m+=2m,解得m=.又n=log2m+2,2n-2=m,2n=4m,所以m·
2n=4m2=4×
()2=12.
12.函数f(x)=cosπx与函数g(x)=|log2|x-1||的图象所有交点的横坐标之和为( )
A.2B.4C.6D.8
选B 将两个函数的图象同时向左平移1个单位,得到函数y=f(x+1)=cosπ(x+1)=cos(πx+π)=-cosπx,y=g(x+1)=|log2|x||的图象,则此时两个新函数均为偶函数.在同一坐标系下分别作出函数y=f(x+1)=-cosπx和y=g(x+1)=|log2|x||的图象如图,可知有四个交点,两两关于y轴对称,所以此时所有交点的横坐标之和为0,所以函数f(x)=cosπx与函数g(x)=|log2|x-1||的图象所有交点的横坐标之和为4.
13.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,则满足f(2x-1)<
f的x的取值范围是________.
因为f(x)为偶函数,所以f(2x-1)=f(|2x-1|),所以f(2x-1)<
f⇔f(|2x-1|)<
f,又f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以|2x-1|>
,解得x<
,或x>
,所以x的取值范围为∪.
∪
14.已知函数f(x)=lnx+3x-8的零点x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a+b=________.
由于函数f(x)=lnx+3x-8,故函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又a,b∈N*,f
(2)=ln2+6-8=ln2-2<
0.f(3)=ln3+9-8=ln3+1>
0,且b-a=1,∴x0∈[2,3],即a=2,b=3,∴a+b=5.
5
15.已知函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),有如下结论:
①∀x∈(-1,1),f(-x)=f(x);
②∀x∈(-1,1),f(-x)=-f(x);
③∀x∈(-1,1),f(x)为增函数;
④若f(a)=ln2,则a=.
其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)
f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln,f(-x)+f(x)=ln+ln=ln1=0,∴f(-x)=-f(x),①错误,②正确;
f(x)=ln=ln-1+,利用复合函数的单调性可知f(x)为增函数,③正确;
∵f(a)=ln=ln2,∴=2,∴a=,④正确.
②③④
16.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,有f(x+1)=-f(x),且当x∈[0,1)时,f(x)=log2(x+1),给出下列命题:
①f(2013)+f(-2014)的值为0;
②函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数;
③直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点;
④函数f(x)的值域为(-1,1).
其中正确的命题序号有________.
结合函数图象逐个判断.当x∈[1,2)时,x-1∈[0,1),f(x)=-f(x-1)=-log2x,且x≥0时,f(x)=f(x+2),又f(x)是R上的偶函数,作出函数f(x)的部分图象如图,由图可知,②错误,③④都正确;
f(2013)=f
(1)=-f(0)=0,f(2014)=f(0)=0,所以f(2013)+f(-2014)=0,①正确,故正确的命题序号是①③④.
①③④
导数的运算及简单应用
[记概念公式]
1.求导公式
(1)(sinx)′=cosx;
(2)(cosx)′=-sinx;
(3)(lnx)′=;
(logax)′=;
(4)(ex)′=ex;
(ax)′=axlna.
2.导数的四则运算法则
(1)[u(x)±
v(x)]′=u′(x)±
v′(x).
(2)[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).
(3)′=(v(x)≠0).
3.导数与极值
函数f(x)在x0处的导数f′(x0)=0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值;
函数f(x)在x0处的导数f′(x0)=0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值.
“切点”的应用规律
(1)若题目中没有给出“切点”,就必须先设出切点.
(2)切点的三种情况:
切点在切线上;
切点在曲线上;
切点处的导数值等于切线的斜率.
1.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′
(2)+lnx,则f′
(2)的值等于( )
A.2B.-2C.D.-
选D ∵f(x)=x2+3xf′
(2)+lnx,∴f′(x)=2x+3f′
(2)+,所以f′
(2)=2×
2+3f′
(2)+,解得f′
(2)=-.
2.已知函数f(x)=2-2lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程是( )
A.2x+y-2=0B.2x-y-2=0
C.x+y-2=0D.y=0
选B 函数f(x)=2-2lnx,f
(1)=0,f′(x)=2-.曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线的斜率为f′
(1)=2.从而曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.
3.若曲线f(x)=x3+x2+mx的所有切线中,只有一条与直线x+y-3=0垂直,则实数m的值等于( )
A.0B.2C.0或2D.3
选B f′(x)=x2+2x+m,直线x+y-3=0的斜率为-1,由题意知关于x的方程x2+2x+m=1,即(x+1)2=2-m有且仅有一解,所以m=2.
4.dx=( )
A.2ln3+4B.2ln3C.4D.ln3
选A dx=[2ln(x+1)+x2]=2ln3+4.
5.已知函数f(x)的导函数f′(x)=a(x+b)2+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是( )
选D 由导函数图象可知,当x<
0时,f′(x)<
0,函数f(x)单调递减,排除A,B.当0<
x1时,f′(x)>
0,函数f(x)单调递增,因此,当x=0时,f(x)取得极小值,排除C.
6.函数f(x)=(a>
0)的单调递增区间是( )
A.(-∞,-1)B.(-1,1)
C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
选B 函数f(x)的定义域为R,f′(x)==.由于a>
0,要使f′(x)>
0,只需(1-x)(1+x)>
0,解得x∈(-1,1).
7.函数f(x)的图象如图所示,f′(x)是f(x)的导函数,则下列数值排列正确的是( )
A.0<
f′
(1)<
f′
(2)<
f
(2)-f
(1)
B.0<
f
(2)-f
(1)<
f′
(1)
C.0<
D.0<
f′
(2)
选B 由已知函数的图象可知函数f(x)是增函数,但增加的速度越来越慢,结合导数的几何意义可知f′
(1)>
>
f′
(2)>
0.
8.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
选C f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex,由题意当x∈[-1,1]时,f′(x)≤0恒
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