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2.1.3对中国人口增长的长期(100年内)发展趋势作出预测
问题一中的模型过于理想化,因此只适合作短期的预测。
模型二中虽然考虑到了自然条件等对人口增长的影响,但是,由于它是以总的人口数为整体来考虑的,并没有考虑到年龄结构、性别比例等因素对人口增长的影响,因此,用它来作中期的的预测是足够的,但如果用它来作长期的预测是不可能的。
针对上述情况,考虑到出生率、死亡率、年龄结构、性别比例和区域差异方面对人口增长的影响,我们建立了微分方程模型队人口增长的长期发展趋势作出预测。
考虑到年龄结构、性别比例等因素对人口增长的影响,本模型用插值拟和的方法拟和出了人口增长在各中因素影响下的曲线,最后,利用微分方程求出人口数量随时间的变化量。
前两个模型是以全国人口为对象来研究的,而这个模型分别以市、镇、乡作为研究对象,分别求出它们的人口数随时间的变化量,最后,再把市、镇、乡的人口数随时间的变化量加起来即得到全国人口数随时间的变化量。
2.2需要解决的问题
考虑到模型的复杂性,我们忽略了迁入和迁出对人口增长的影响,但这也造成了模型的不准确,因为市、镇、乡的年龄结构、性别比例等会随着迁入和迁出而改变。
又由于不知道国家的计划生育的强度随时间的变化,同时也为了模型的简单我们忽略了计划生育强度对出生率的影响。
二模型的假设
1附录2中的人口数据(《中国人口统计年鉴》中的部分数据)真实、可靠;
2预测全国人口增长时,短期、中期、长期的年限分别为20年、40年、100年;
3模型一中,由于是对中国人口增长的短期内做出预测,因此,忽略任何可能的因素的影响。
4所用时间都以年为计量单位;
5模型一中,假定2005年全国人口总数为单位1;
6假设2005年为第0年,2005年的人口与本年比较,记增加人口数为0,以后依次类推;
7模型三中,假设影响中国人口增长的因素为:
出生率与死亡率、年龄结构、性别比例、区域差别,忽略其他因素对人口增长的影响;
8模型三中,在考虑死亡率方面,0岁为刚出生的人;
年龄在1—64之间的为非老年人,65岁以上的为老年人
9模型三中,在考虑出生率方面,设定年龄在15—49岁之间的妇女为育龄妇女;
10模型三中,育龄妇女每次所生孩子个数为1;
11模型三中,怀孕妇女在其怀孕期间,死亡率为零;
12模型二中,假设影响中国人口增长的因素为自然资源的限制和环境所能容纳的最大人口数。
说明:
模型假设中没有指明在那个模型中的,一律认为是针对所有的模型。
三符号说明
x0:
表示2005年全国人口总数;
x(t):
表示t时刻全国人口总数;
△x(t):
表示2005年后第t年人口增长总量;
r:
表示模型一中的年增长率;
r(x):
表示人口数量为x时,人口的增长率;
r0:
表示人口很少时的增长率,即固有增长率;
xm:
表示人口容量,即自然环境和环境条件所能容纳的最大人口数量
t:
表示为2005后第t年,取值为1,2,3…
y1(t):
表示市人口年增长率,h1(t):
表示t时刻市人口增长数;
y2(t):
表示镇人口的年增长率,h2(t):
表示t时刻镇人口增长数;
y3(t):
表示乡人口年增长,h3(t):
n1(t):
表示市妇女年怀孕率;
n2(t):
表示镇妇女年怀孕率;
n3(t):
表示乡妇女年怀孕率;
b1:
表示市育龄妇女的年生男率;
g1:
表示市育龄妇女的年生女率;
b2:
表示镇育龄妇女的年生男率;
g2:
表示镇育龄妇女的年生女率;
b3:
表示乡育龄妇女的年生男率;
g3:
表示乡育龄妇女的年生女率;
s1(t):
表示市0岁男孩年死亡率,m1(t):
表示市0岁女孩年死亡率;
s2(t):
表示镇0岁男孩年死亡率,m2(t):
表示镇0岁女孩年死亡率;
s3(t):
表示乡0岁男孩年死亡率,m3(t):
表示乡0岁女孩年死亡率;
p1(t):
表示市非老年人年死亡率,q1(t):
表示市老年人年死亡率;
p2(t):
表示镇非老年人年死亡率,q2(t):
表示镇老年人年死亡率;
p3(t):
表示乡非老年人年死亡率,q3(t):
表示乡老年人年死亡率;
四模型的建立与求解
1中短期人口预测模型
1.1模型一指数增长模型
设t时刻的人口总数为x(t),当考察一个国家或一个较大地区的人口是,x(t)是一个很大的整数。
为了利用微积分这个数学工具,将x(t)视为连续的,可微函数。
计初始时刻(t=0)的人口为x0,假设人口增长率为常数r,即单位时间内x(t)的增量等于r乘以x(t),考虑t到t+△t时间内人口增长的数量,显然有:
x(t+△t)-x(t)=rx(t)△t
(1)
令△t→0,得到x(t)满足微分方程
=rx,x(0)=x0
(2)
由这个方程可以解出
x(t)=x0ert
(3)
r>
0时上述式子表示人口将按指数规律随时间无限增长,
参数r的取值为2005年人口自然增长率为5.89‰(见参考文献[5]),则取r=5.89‰;
X0的取值:
x0为2005年的全国总人口数,而假设中我们设定2005年的全国人口总数为单位1,则在中短期内每年的人口数都与2005年的进行比较。
利用Matlab绘图,得出指数增长模型的图形如下:
图1年人口增长曲线
由上图可知:
在其后的20年内,全国人口的总数量变化不是很大,20年后的人口才是2005年的1.3倍左右。
1.2模型二阻滞增长模型
阻滞作用主要体现在对人口增长率r的影响上,使得r随人口数量x的增加而下降,若将r表示为x的函数r(x),则它应是减函数,于是模型一中的方程
(2)写作:
(4)
对
的一个简单的设定是,设
为
的线性函数,即
(r>
0,s>
0)(5)
当x=xm时人口数量不再增长,即增长率r(xm)=0,代入(5)式得s=
,于是(5)式为:
(6)
(6)式的另一种解释是,增长率r(x)与人口尚未实现部分的比例
∕
成正比,比例系数为固有增长率
将(6)代入方程(4)得:
,
(7)
方程(7)式右端的因子
体现了人口自身的增长趋势,因子
则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。
显然x越大,前一因子越大,后一因子越小,人口的增长是两个因子共同作用的结果。
此模型虽然能很好地预测人口的中期增长趋势,但是由于没有以往各年的人口数,所以我们并没有解出这个模型,这是我们的缺陷。
2长期人口预测模型
模型三:
微分方程模型
为了使模型易于被理解,我们在建立模型时,忽略了人口的迁入及迁出;
则全国人口增长总量=市人口变化总量+镇人口变化总量+乡人口变化总量;
而各类地区每年的人口增长率=该市(或镇或乡)育龄妇女生育率×
[该市(或镇或乡)育龄妇女的生男率×
(1—男性年龄为0岁时的死亡率)+该市(或镇或乡)育龄妇女的生女率×
(1—女性年龄为0岁时的死亡率)]—此年其他年龄段的死亡率;
2.1对各区妇女生育率的分析
表1年育龄妇女率
年份
2001
2002
2003
2004
2005
市区育龄妇女率
0.35
镇区育龄妇女率
乡区育龄妇女率
此数据是根据附录2所提供的2001年到2005年期间各年市区(或镇或乡)15岁至49岁女性百分率的累加和;
由假设可知在此期间的妇女为育龄妇女。
由上表可知:
各年各区育龄妇女率为:
0.35,因此,我们把这个值作为以后各年的各区的育龄妇女生育率。
表2各区育龄妇女年生育率(见附录2)
市育龄妇女生育率(‰)
镇育龄妇女生育率(‰)
乡育龄妇女生育率(‰)
1995
37.271
43.651
54.505
1996
56.61
45.9
57.83
1997
37.77
40.69
55.79
1998
36.22
81.73
53.63
1999
35.1
42
50.9
2000
/
31.03
37.11
46.3
26.68
34.87
45.17
26.7
35.9
44.3
29.13
35.91
43.56
26.3
32.61
39.92
名词解释:
生育率为该类年龄段妇女生育子女的千分比(‰)
各区各年妇女的生育率=该区该年育龄妇女率(0.35)×
该区该年育龄妇女生育率,得出下表:
表3各区妇女年生育率
市妇女生育率(‰)
镇妇女生育率(‰)
乡妇女生育率(‰)
0.1304
0.1528
0.1981
0.1606
0.1322
0.1424
0.1268
0.2861
0.1228
0.1470
0.1086
0.1299
0.0934
0.1220
0.1256
0.1020
0.1257
0.092
0.1141
图2各区妇女生育率
‘+’曲线为市育龄妇女年生育率曲线,’﹡’曲线为镇育龄妇女年生育率曲线,’o’曲线为乡育龄妇女年生于率曲线;
(程序见附录)
对图2作如下分析
1)拟和度分析
有图2知:
1998年的市妇女生育率严重偏离了曲线,因此,这就造成了曲线拟和的不准确,乡和镇的拟和曲线基本吻合。
2)造成1998年的市妇女生育率严重偏离了曲线的原因是多方面的,也许是因为统计有错,也许是由于人为因素,也有可能是因为其他方面的影响。
3图2反映现象
从图中可以看出市镇乡三区的妇女生育率基本上都呈下降趋势,特别是农村,下降幅度最明显。
4)对图2出现上述现象原因的分析
对农村来说:
近几年我国农村的受教育的人数越来越多,人们的思想观念都有所改变,独生子女家庭占的比重越来越大。
另一方面的原因是很多年轻人现在都提倡晚婚晚育,这也是造成各区妇女生育率下降的重要原因。
5)拟合出的曲线关于时间t的关系表达式:
(8)
2.2对各区男(女)婴死亡率的分析
表4是男女出生比例(见附录2)
市男女出生比例(女100计)
镇男女出生比例(女100计)
乡男女出生比例(女100计)
1994
114.52
124.33
116.15
111.92
115.62
117.75
111.68
117.7
108.81
125.9
118.85
110.68
108.73
119.98
110.27
118.4
122.03
113
116.3
119.3
109.28
116.02
117.59
111.37
123.12
122.11
112.06
110.97
120.9
114.44
126.9
122.21
113.92
117.21
121.21
由于上表所给各区的1994年—2005年的生男率变化不大,因此为了简化模型,我们分别求出了各区生男率的平均值并把此平均值作为以后各年的各区的生男率。
因此,市区(或镇或乡)育龄妇女的生男率=1994年至2005年期间该区男孩出生比例的平均值,并得出下表:
表5各区育龄妇女的生男(女)率
市
镇
乡
生男率
0.527875
0.540817
0.5447
生女率
0.472125
0.459183
0.4553
2.2.1各区0岁男婴及女婴的死亡率
根据附录2中所提供数据,其算法实现如下
则某年某区域类型的0岁男(女)的死亡率=此年此区0岁男(女)性比率×
该年该区0岁男(女)性的死亡率,见表6
表6各区0岁男(女)年死亡率
市区
镇区
乡区
0岁男婴死亡率(×
10-5)
0岁女婴死亡率(×
2.7824
2.1840
4.1005
5.4340
15.1353
19.3430
4.7344
4.8867
2.6712
5.9432
15.1956
15.0594
1.3000
2.6316
4.7300
7.9632
13.3254
11.0055
2.0069
0.2460
1.5222
1.9320
10.7856
10.8885
2.9348
2.4320
5.0960
5.1792
9.0805
10.0170
根据表6数据拟合出:
各区域类型每年的0岁男(女)型死亡率与时间t的曲线,并得出其关系表达式;
各曲线如下
图30岁男婴年死亡率
图3中各曲线的含义:
‘+’曲线为市区0岁男婴死亡率的曲线,’﹡’曲线为镇区0岁男婴的死亡曲线,’o’曲线为乡区0岁男婴死亡曲线(程序见附录)
对图3作如下分析
从曲线中可以看出,对乡的拟和比较接近真实情况,而对市和镇的拟和有明显的误差,因此,这些误差也将带到模型中,造成模型的不准确,但误差是不可避免的。
2)图中反映的现象
2.1)从曲线中还可以看出
乡村的男婴死亡率可以说是逐年下降,镇的男婴死亡率虽然有变化但是基本上保持不变,与乡村和镇相比,城市的男婴死亡率变化最大,基本上没什么规律。
2.2)对出现上述现象原因的分析
近几年来,国家对农村投入了较大的精力,与过去相比,农村的医疗条件和生活水平有了很大的提高,婴儿的死亡率也比以前减少了。
3)从图中还可以看
尽管男婴的死亡率呈下降趋势,但是从总体上来看农村的男婴死亡率还是要比 城市和镇高出很多。
城市与镇的男婴死亡率差不多,但是总体来看镇还是比城市高。
4)对出现上述现象原因的分析
虽然近几年农村的生活条件有所提高,医疗水平与以前相比有很大的提高但是 还是不能与城市和镇相比,医疗条件有待进一步提高,同时也是由于受到经济条件的制约。
5)对解决上述现象的建议
希望国家在以后的建设中多关注一下农村的医疗建设,中国是一个农业大国,农村人口占了国家人口的大多数,只有农村生活质量高了国家才能更好的进步。
6)拟合出其关于t的关系表达式为:
(9)
图4女婴死亡率
‘+’曲线为市区0岁女婴死亡率的曲线,’﹡’曲线为镇区0岁女婴的死
曲线,’o’曲线为乡区0岁男婴死亡曲线(程序见附录)
对图4作如下分析
1)拟和度分析
从上图可以看出三条曲线都基本能反映各自所代表区域的女婴里亡率,其中农村的拟和度最好,城镇的最差。
2)上图所反映现象
2.1)从上图可以看出农村的女婴死亡率下降最快,而且幅度最大,城市和镇的女婴死亡率基本上不变。
2.1.1)出现上述现象的原因
同男婴
2.2)从图中开可以看出,尽管女婴的死亡率都呈下降趋势,但是从总体上来看农村的女婴死亡率还是要比城市和镇高出很多。
城市与镇的女婴死亡率差不多,但是总体来看镇还是比城市高。
2.2.1.)对出现上述现象原因的分析:
3)对解决上述现象的建议
4)拟合出其关于时间t的关系表达式分别为:
(10)
2.3对老年人(非老年人)死亡率的分析
每年城市或镇或乡)非老年人死亡率=该区此年龄段男性比例×
该区此年龄段男性死亡比例+该区此年龄段女性比例×
该区此年龄段女性死亡比例
老年人的死亡率的算法与非老年人死亡率算法等同;
由附录2提供数据及上述公式,计算出2001年至2005年每年不同区域两个不同年龄段的死亡率,结果如下表所示:
表7各个年龄段的年死亡率
非老年人死亡率(×
老年人死亡率
(×
164.9214
313.0505
177.1070
280.3858
242.7948
384.7786
146.3888
306.8241
172.7549
317.3565
262.3000
426.4678
151.9081
351.7625
168.6480
394.1351
243.1105
422.8158
158.5216
294.0596
166.4232
352.1853
257.4393
442.9023
144.5250
299.5862
203.4057
315.8946
251.8999
459.9131
根据上述数据用Matlab绘图分别绘出各区域非老年人死亡率,老年人死亡率与时间t的关系曲线,从而拟合出其与时间t的关系表达式;
其曲线图如下
图5非老年人年死亡率曲线
‘+’曲线为市非老年人的年死亡率曲线,’﹡’曲线为镇非老年人的年死亡
曲线,’o’曲线为乡非老年人年死亡率曲线(程序见附录)
对图5作如下分析
由图5可以看出三曲线基本上能反映各自所代表区域的非老年人的年死亡率随时间的变化情况,拟和度很好,但是,镇2005年的非老年人的年死亡率有明显的误差。
22上图所反映的现象
2)从上图可以看出农村的非老年人死亡率基本不变但是有小幅度的升高,城市的非老年人的死亡率有稍微的下降趋势,镇的非老年人死亡率除了2005年外也有稍微的下降趋势。
2.1)对出现上述现象的原因分析
农村:
农村的医疗条件比较差,同时与城市和镇相比农村更容易受到自然灾害的影响,而且,昂贵的药费常常令农民望而却步。
另外,农村人的工作条件比较差这也是造成农村非老年人死亡率升高的又一个原因。
3)还可以看出农村的非老年人死亡率与城市和镇相比要高出很多。
3.1)对出现上述现象的原因分析
同老年人原因
4)针对上述现象提出的建议
希望国家可以提高农村的医疗条件同时改善农民的工作条件,同时
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