四年级下数学思维训练教程尖子生Word文档下载推荐.docx
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“#”的意义是先求出2×
a和3×
b,再求出2×
a与3×
b的和。
“*”的意义显然是求a、b的平均数。
因为3*5=(3+5)÷
2=4,所以,(3*5)#7=4#7=2×
4+3×
7=29。
例3 规定:
a&b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-1),其中a、b表示自然数。
(1)求1&100的值;
(2)已知x&10=75,求x。
(1)a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b-1)
=1+(1+1)+(1+2)+…+(1+100-1)
=1+2+3+…+100
=(1+100)×
100÷
2
=101×
=5050。
(2)x+(x+1)+(x+2)+…+(x+10-1)=75
10x+(1+2+…+9)=75
10x+45=75
10x=75-45
10x=30
x=30÷
10
x=3
例4 羊和狼在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊和狼,我们规定一种运算,用符号△表示:
羊△羊=羊;
羊△狼=狼;
狼△羊=狼;
狼△狼=狼。
以上运算的意思是:
羊和羊在一起还是羊;
狼和狼在一起还是狼;
但是狼和羊在一起就只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼,所以我们规定另一种运算,用符号☆表示:
羊★羊=羊;
羊★狼=羊;
狼★羊=羊;
狼★狼=狼。
这个运算的意思是:
但是由于羊能战胜狼,当狼和羊在一起时,它便被羊赶走而几只剩下羊了。
对羊或狼,可以用上面规定的运算作混合运算,混合运算的法则是从左到右,括号先算。
运算的结果或者是羊,或者是狼。
那么求下式的结果:
羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)。
羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)
=羊△羊★羊△狼
=羊★羊△狼
=羊△狼
=狼
练 习 一
1.设a、b都表示数,规定:
a△b表示a的4倍减去b的3倍,即a△b=4×
a-3×
试计算:
(1)5△6;
6△5。
2.a、b是自然数,规定a*b=a×
5+b÷
3,求8*9。
3.设a▼b=8×
a-18÷
b,求7▼9=?
4.规定a☆b=(a+3)×
(b-5),求5☆(6☆7)的值。
5.设a▽b=a×
b+a-b,试求5▽8。
6.如果规定a※b=13×
a-b÷
8,那么17※24的最后结果是多少?
7.设a、b都表示数,规定:
a△b=2×
a+b÷
2。
求
(1)10△6;
(2)7△(4△8)。
8.规定AB=B×
B-A,计算(23)(45)。
9.如果规定a△b=4×
b-1,那么5△7和7△5相等吗?
10.对于两个数x、y,x☉y表示y×
A-x×
2,并且已知82☉65=31。
计算:
(1)29☉57;
(2)38☉(14☉23)。
11.如果3◇4=3+4+5+6=18,6◇5=6+7+8+9+10=40。
计算2000◇6。
12.如果“+、-、×
、÷
、()”的意义与通常相同,而式子中的数字却不是原来的数字,试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式?
(1)8×
7=8;
(2)7×
7×
7=6;
(3)(7+8+3)×
9=39;
(4)3×
3=3。
第二讲 图形问题
(一)
例1 有大、小两个正方形,它们的周长相差16厘米,面积相差80平方厘米,那么小正方形的面积是多少平方厘米?
把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图,因为它们的边长相差16÷
4=4(厘米),所以图中正方形B的面积是4×
4=16(平方厘米),又因为阴影部分的面积是(80-16)÷
2=32(平方厘米),所以原来的小正方形(正方形A)的边长是32÷
4=8(厘米),面积是8×
8=64(平方厘米)。
A
B
例2 下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形,求图中阴影部分的面积。
解法一:
图形的总面积是40×
40=1600(平方厘米)。
每个小空白正方形的对角线是20厘米,根据“正方形的面积等于对角线的平方除以2”,每个空白小正方形的面积是20×
20÷
2=200(平方厘米),所以图中阴影部分的面积是1600-200×
4=800(平方厘米)。
解法二:
仔细观察发现,图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等,所以,阴影部分的面积是40×
40÷
2=800(平方厘米)。
例3 如图,阴影部分是一个长方形,它的四周是四个正方形,如果这四个正方形的周长的和是240厘米,面积的和是1000平方厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?
图中两个小正方形相同,两个大正方形也相同,所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是1000÷
2=500(平方厘米)。
一个小正方形和一个大正方形的边长的和是240÷
2÷
4=30(厘米)。
在原图的右上角补上一个同样的长方形,得到一个新的正方形如图
这个新正方形的面积是30×
30=900(平方厘米),所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是(900-500)÷
2=200(平方厘米)。
例4 如图,矩形ABCD被分成六个正方形,其中最小的正方形的面积等于1,矩形ABCD的是多少?
A B
D C
如果设右下角正方形的边长为a,那么,左下角正方形的边长就是a+1,左上角正方形的边长就是a+1+1,右上角正方形的边长就是a+1+1+1。
因为CD=AB,所以a+a+(a+1)=(a+1+1)+(a+1+1+1),即3×
a+1=2×
a+5,于是a=4。
从而,CD=a+a+(a+1)=13,AD=(a+1)+(a+1+1)=11。
因此,矩形ABCD的面积是13×
11=143。
练 习 二
1.已知甲是正方形,乙是长方形,图形的周长是多少厘米?
甲
3 乙
158
2.把所有周长为22,且4条边的长度都是整数的长方形的面积加起来,和是多少?
3.一个正方形,如果一组对边各增加10厘米,另一组对边各减少6厘米,那么,所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。
原来正方形的面积是多少平方厘米?
4.下图中阴影部分A和阴影部分B的面积,哪个大?
A
B
5.一块长方形玻璃,长截去5分米,宽截去3分米,剩下的部分是正方形。
已知截去的面积是71平方分米,那么剩下的正方形的面积是多少平方分米?
6.四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后,周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米,原来每个正方形的周长是多少厘米?
如果把这四个小正方形拼成的一个长方形,那么这个长方形的周长是多少?
7.如图,已知大、小两个正方形的边长之和是20厘米,并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米,大正方形的面积是多少平方厘米?
8.有一块如图所示的纸板,把它剪成三块后再拼成一个正方形,应该怎样剪拼,请画图表示。
2
2
3
9.如图,一个大长方形被分成了4个小长方形,图中数字是它们的面积,阴影部分的面积是多少?
19
57 45
10.将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形,再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形,依此规律继续下去得到下图。
那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍?
11.在一个正方形水池四周,环绕着一条宽2米的路,这条路的面积是120平方米,那么水池的面积是多少平方米?
12.如图所示,阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形,我们需要用14边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。
现在有一个面积为124平方分米,且长和宽都是整数分米的长方形,那么至少需要多少边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来?
第三讲 枚举与计数
例1 数列A:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,……。
把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开,得到新的数列:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2,……。
(1)数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数?
(2)数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字?
这个数字是什么?
(3)到数列B中的第100个数为止,数字3共出现多少次?
解:
(1)数列A中,1到9共有9个数字;
10到99共有180个数字;
100有3个数字。
所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第9+180+3=192个数。
(2)数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9,100-9=91,而91=2×
46-1,说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的第一位数,这个数是9+46=55,它的第一位(十位)数字是5。
(3)数列A中,55以前的数含有数字3的依次是3,13,23,30,31,32,33,……,39,43,53,所以数字3共出现16次。
答:
(略)。
例2 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
所有这些两位数的和是多少?
当十位数字是1时,满足题意的两位数有8个;
当十位数字是2时,满足题意的两位数有7个;
……
当十位数字是8时,满足题意的两位数有1个;
共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(个)。
这些两位数的十位数字的和是8×
1+7×
2+6×
3+5×
4+4×
5+3×
6+2×
7+1×
8=120,个位数字的和是9×
8+8×
7+7×
6+6×
5+5×
3+3×
2+2×
1=240,所以这些两位数的和是10×
120+240=1440。
个位数字大于十位数字的两位数共有36个,所有这些两位数的和是1440。
例3 有10个小朋友围坐在一圈做游戏,从其中选出两个不相邻的小朋友,有多少种不同的选法?
与某一小朋友不相邻的小朋友有7个,所以不相邻的小朋友有7×
10=70(对),每对小朋友都重复算了一次,所以共有70÷
2=35(种)选法。
有35种不同的选法。
例4 在校级运动会上,运动员A、B、C分别获得100米短跑的第一、第二、第三。
在区级运动会上,他们也是100米短跑的前三名。
(1)如果在区级运动会上,他们当中有一人的排名与校级运动会的排名相同,那么排名情况有多少种可能?
(2)如果在区级运动会上,他们的排名都与校级运动会的排名不同,那么排名情况有多少种可能?
(1)设A的排名不变,那么B排第三,C排第二,只有这1种情况。
同理B、C的排名不变,也各有1种情况。
因此,共有3种情况。
(2)如果排名情况都改变,A可能排第二或第三:
当A排第二时,B排第三,C排第一,有1种情况;
当A排第三时,B排第一,C排第二,也有1种情况。
因此,排名均不同的可能性有2种。
答:
练 习 三
1.三个连续自然数,后面两个数的积与前面两个数的积的差是114,那么这三个数中最小的是多少?
2.由数字卡片5、7、2、0、1各一能组成多少个不同的三位数?
把这些数按照从小到大的顺序排列,第14个数是多少?
3.一个三位数,三个数字各不相同且不为0,如果三个数字之和为10,这样的三位数有个?
4.一个两位数的十位数字比个位数字大5。
现将十位和个位上的数字对调,所得的两位数比原来小多少?
5.编排一本书的页码共用了870个阿拉伯数字,这本书一共有多少页?
6.新华小学学生的总人数是一个三位数,平均每班有36人。
统计员提供的学生总人数比实际总人数少180人。
原来在他记录时粗心地将三位数的百位和十位上的数字对调了。
学生的总人数最多是多少人?
最少是多少人。
7.一圈小朋友玩报数拍手游戏,从1开始顺序报数,规定:
报7的倍数时要拍一次手,报带7的数时要拍两次手,报既带7又是7的倍数时要拍三次手。
则报到100时共拍了多少次手?
8。
一只口袋里有5个小球,另一只口袋里有4个小球,所有这些小球的颜色各不相同。
(1)从两只口袋里任意取出一个小球,有多少种不同的情况?
(2)从两只口袋里分别取出一个小球,有多少种不同的情况?
9.某地区有50个县城,每个县城都有3条公路通向别的县城,这些县城之间共有多少条公路?
10.如图,从B逐步往下走到A,有多少条不同的路线?
B
A
11.如图,小丽从家到学校可以有多少种不同的走法?
小丽家
学校
12.小明的爸爸买了6电影票(如下图),想和小家一块去看电影。
但因临时有事不能和小同时出发,小明只好撕下3连在一起的票给小家送去。
那么有多少种不同的撕法?
第四讲 推理与判断
例1 小东、小兰、小英读书的学校分别是一中、二中、三中,他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动,但是谁爱好哪项运动,在哪个学校读书还不清楚。
只知道:
(1)小东不在一中;
(2)小兰不在二中;
(3)爱好排球的不在三中;
(4)爱好游泳的在一中;
(5)爱好游泳的不是小兰。
那么谁在一中?
谁在二中?
小兰爱好什么?
由(4)爱好游泳的在一中,由
(1)这个人不是小东,由(5)这个人不是小兰,所以这个人是小英,即小英在一中。
同时得知,小兰也不在一中,小兰只能在三中,进而得知小东在二中。
由(3)爱好排球的在一中或二中,可是一中的小英已经爱好了游泳,所以爱好排球的是在二中的小东。
还剩下小兰就只能爱好篮球了。
例2 小华同学做了三道习题,小明、小丽、小刚看完后分别说:
“小华做对了第一题”,“小华第二题没有做对”,“小华第一题没有做对”。
老师看完三道题后发现:
小华只做对了一道题,而且小明、小丽、小刚三人中只有一人说对了。
请判断小华做对的是哪道题?
假设小华做对了第一题,那么小明和小丽就都说对了,与题意不符;
假设小华做对了第二题,那么小明和小丽就都说错了,只有小刚说对了,与题意相符;
假如小华做对了第三题,那么小丽和小刚就都说对了,也与题意不符。
所以小华做对了第二题。
例3 标有A、B、C、D、E、F、G、H记号的8盏灯,顺次排成一行,每盏灯装有一个开关。
现在B、E、G开着,其余5盏灯关着,小明从灯A开始,循环逐个拉动8盏灯的开关,拉了2004次后,关着的灯是哪几盏?
因为2004÷
8商250余4,从A开始拉动开关250次后,由于250的双数,所以B、E、G仍然开着,其余5盏灯A、C、D、F、H都灭着。
而对前面的4盏灯A、B、C、D又各拉动一次以后,A、C、D变成开着的,B又灭了,所以最后关着的灯是B、F、H。
例4 购物单上某商品的单价是49.36元╱千克,总价是 7.28元,方框中的数看不清了。
则购买此商品的数量至少是多少千克?
写成竖式进行推导。
先考虑个位数:
493.6 493.6
×
…… 3×
……8
1480839488
…………
……7.28……7.28
进一步考虑十位数:
493.6 493.6 493.6 493.6
×
……23 ×
……73 ×
……48 ×
……98
14808 14808 39488 39488
9872 34552 1974 44424
…… …… ……4837.28
……7.28 ……7.28 ……7.28
所以至少购买98千克。
练 习 四
1.甲、乙、丙、丁四人围坐在方桌的四边。
乙说:
我的对面是“南”;
丙说:
我在乙的左边;
丁说:
我的对面不是乙。
甲坐在哪边?
2.甲、乙、丙、丁、戊参加歌咏比赛,获得前五名。
他们的得分情况如下:
(1)丙比乙低,但比戊高;
(2)甲比丁高,但比戊低;
(3)乙比戊高。
这次歌咏比赛的第一名是谁?
3.甲、乙、丙三人中一位是工人,一位是农民,一位是教师。
已知丙比教师的年龄大,甲与农民不同岁,农民比乙的年龄小。
那么谁是教师?
4.甲、乙、丙三人中只有一人会开汽车。
甲说:
“我会开。
”乙说:
“我不会开。
”丙说:
“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是谁?
5.△、○、□代表三个数,并且
○+○=△+△+△
△+△+△=□+□+□+□
○+△+□+□=800
那么△、□、○各代表多少?
6.下图中的“?
”应填多少?
23 13 ?
5 8 3 5 3 2545
7.1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名。
赛后他们接受小记者的采访。
1号说:
“3号在我前面冲向终点。
”另一个得第三名的运动员说:
“1号不是第四名。
”小裁判员说:
“他们的与他们的名次都不相同。
”则第一名是几号?
第二名是几号?
第三名是几号?
8.将99棋子放在两种型号的盒子中,每个大盒子中装12粒,每个小盒子中装5粒。
已知盒子数大于10个,那么有多少个大盒子?
多少个小盒子?
9.会议室某排有15个座位,小宇去时部分座位已有人就座,他无论坐在何处都要与已坐的人相邻。
那么,在小宇就座之前,这一排至少已坐了多少人?
10.某次数字竞赛有20道题,初始分为60分。
规定:
答对一题给5分,不答扣1分,答错一题扣3分。
最后得分是奇数还是偶数?
11.“希”、“望”、“杯”、“赛”各代表不同的数字,请根据下面的算式判断这四个汉字分别代表的是哪个数字?
希 望
希 望 杯
+ 希 望 杯 赛
2 0 0 5
12.下面是一个六位数乘一个一位数的算式,不同的汉字表示不同的数,相同的汉字表示相同的数,这个六位数是多少?
小学希望杯赛
×
赛
999999
第五讲 解决问题
(一)
例1 祖父与父亲的年龄之差是子年龄的6倍,而子与父亲的年龄之和比祖父的年龄小30岁,子今年多少岁?
当用子与父亲的年龄之和与祖父相比时,祖父的年龄比这个和多出来的部分只有子的6-1=5倍。
所以子今年30÷
5=6(岁)。
子今年6岁。
例2 幼儿园分饼干,如果每人分3块,余14块;
如果每人分4块,还有3个小朋友没分到。
一共有多少个小朋友?
有多少块饼干?
改变分法后,从余15块到缺4×
3=12(块),一共要多分14+12=26(块),这是因为每人多分4-3=1(块)的缘故,所以一共有26÷
1=26(个)小朋友,有3×
26+14=92(块)饼干。
一共有26个小朋友,92块饼干。
例3 运输公司为客户装运1600只瓷盘,每只运费1元,如果损坏一只,不但得不到运费,还要照价格的一半赔偿。
若运到目的地后运输公司损坏了5只瓷盘,并得到1540元。
则瓷盘价格为每只多少元?
如果瓷盘没有损坏,运输公司将得到1×
1600=1600(元),实际少得了1600-1540=60(元)。
损坏一只瓷盘运输公司少得60÷
5=12(元),其中有运费损失1元和瓷盘价格的一半,所以瓷盘的价格是(12-1)×
2=22(元)。
每只瓷盘22元。
例4 怀特海是英国数理逻辑学家,曾执教于剑桥大学和哈佛大学。
下面是他给他的学生出的一道题:
A、B、C三人各有硬币若干枚。
A将自己的硬币分给B、C,使他们的硬币各增长了一倍;
之后,B将自己的硬币分给A、C,使他们的硬币各增长了一倍;
最后,C将自己的硬币分给A、B,使他们的硬币各增长了一倍。
这样,三人的硬币都是8枚。
请问他们原来各有硬币多少枚?
用倒推法。
第三次调整后:
A有8枚,B有8枚,C有8枚;
第二次调整后:
A有8÷
2=4(枚),B有8÷
2=4(枚),C有8+4+4=16(枚);
第一次调整后:
A有4÷
2=2(枚),C有16÷
2=8(枚),B有4+2+8=14(枚);
原来:
B有14÷
2=7(枚),C有8÷
2=4(枚),A有2+7+4=13(枚)。
原来A有13枚、B有7枚、C有4枚。
练 习 五
1.有甲、乙两队少先队员去春游,甲队人数是乙人数的2倍。
从甲队调出10人到乙队后,甲队仍比乙队多5人。
甲队原来有多少人?
2.在第二届“希望杯”全国数学邀请赛中,有一位同学在第一试答了24道题,其中,答对的题数是答错的题数的2倍;
第二试答了20道题,结果,两次一共答对的题数是答错的题数的3倍。
则这位同学在第二试答对了多少道题?
3.菜市场运来6筐萝卜,分别装着24千克、33千克、35千克、37千克、38千克、41千克的萝卜。
营业员小王承包了其中3筐,小承包了另外2筐。
已知小王承包的萝卜质量是小的2倍,剩下的没有被承包的萝卜有多少千克?
4.小光和小明,共有48枚纪念邮票和20枚特种邮票。
已知,小光的纪念邮票是小明的5倍,小明的特种邮票是小光的3倍。
小光的邮票比小明多多少?
5.幼儿园老师给几组小朋友分苹果,每组分7个,少3个;
每组分6个,则多4个。
苹果有多少个?
小朋友共几组?
6.某校组织学生去春游,晚上住宿时,如果在预订的房间里每间住5个人,还有4个人无
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